郑碧芳，张洪生，杨小岩,2

(1.上海海事大学 海洋科学与工程学院，上海 201306；2.上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

直墙前矩形月池水波振荡研究分析

郑碧芳1，张洪生1，杨小岩1,2

(1.上海海事大学 海洋科学与工程学院，上海 201306；2.上海交通大学 船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

月池内流体存在活塞和晃荡两类振荡现象。基于线性势流理论，推导了波浪斜向入射下，直墙前矩形月池辐射和绕射问题的解析解。通过分离变量法和特征函数展开法求解了速度势函数，根据边界条件来确定速度势函数中的未知系数，由速度势函数计算斜向波与矩形月池相互作用的水动力系数和波浪激励力，对它们的变化规律进行了分析讨论，研究了底部开口大小、波浪入射角度对矩形月池水动力特性的影响以及直墙远近对波浪力的影响。结果表明，月池底部开口大小对流体水平作用的影响较小，而对流体垂直作用的影响较大；波浪入射角度的变化对矩形月池横荡和横摇运动时的水动力特性有一定的影响；在一定条件下，直墙的存在会使得月池在水平方向所受到的波浪力比开敞水域中的要大。

矩形月池；直墙；辐射；绕射；解析解；水动力特性

Abstract：Two types of oscillation piston and sloshing,always exist in the fluid of moon pool.In the ocean,the wave is often obliquely incident.Based on the linear potential theory,an analytical solution is presented for the radiation and diffraction of a rectangular structure with a moon pool in front of a vertical wall in oblique seas.The expressions for the potentials are obtained by the method of separation of variables and the eigenfunction expansion,and the unknown coefficients are determined by the boundary conditions.The hydrodynamic coefficients and wave excitation forces are investigated,and the effects of the width of opening,the angle of incidence and the distance between the vertical wall and the structure on the hydrodynamic characteristics of the rectangular structure with a moon pool are studied mainly.The analytical solution indicates that the opening has little effect on the horizontal force but a large effect on the vertical force.And the angle of incidence has some impacts on the sway and roll motion of the floating body.The horizontal force on the structure in the presence of a wall is larger than those in the absence of the vertical wall due to the reflection of the vertical wall.

Keywords：rectangular structure with a moon pool; vertical wall; radiation; diffraction; analytical solution; hydrodynamic characteristic

船舶与海洋工程中经常应用矩形月池结构，所以研究矩形月池与波浪的相互作用是一个很重要的水动力问题。关于波浪对开敞水域中结构物的作用，学者们已进行了一定的研究。黄磊等[1]研究了具有矩形月池的钻井船在微幅横荡简谐运动激励下的辐射问题，讨论了月池参数对船舶水动力系数的影响；ZHENG等[2]采用分离变量法分析了自由表面上的无限长矩形浮体的波浪辐射和绕射问题；ZHOU等[3]研究了矩形月池的波浪辐射和绕射问题；MOLIN[4]研究了月池中的活塞和晃荡现象；TEUNG和SEAH[5]采用特征函数展开的方法调查了月池中的共振现象，重点研究了共振频率附近水动力参数的变化情况；康庄和姚熊亮[6]研究了月池内流体的活塞振荡特性；戴伟[7]研究了均匀流条件下月池的水动力特性；AALBERS[8]研究了波浪作用下月池内的共振问题，并分析了月池对船舶垂荡运动的影响；FALTINSON等[9]研究了流体在由两个矩形船体形成的月池中的二维活塞运动。鉴于实际海洋中波浪多为斜向入射，一些学者研究了斜向波入射条件下，波浪与浮式结构物的相互作用问题。ZHENG等[10-11]研究了波浪斜向入射下，矩形浮体以及淹没在有限水深的矩形结构的波浪辐射和绕射问题；YANG和ZHANG[12]研究了波浪斜向入射下，矩形月池的波浪辐射和绕射问题；EVANS和MORRIS[13]研究了波浪斜向入射条件下，位于深水处的垂直固定板的波浪反射和透射问题，文献[14-18]研究了斜向波与柱体结构物相互作用的问题。

直墙的存在会影响波动特性，而且结构物上的波浪力也将发生变化。部分学者采用解析法研究了波浪与直墙前结构物的作用问题。HSU 和 WU[19]采用分离变量法研究了直墙前二维矩形浮标的垂荡问题，发现水动力系数的一系列峰值会随浮标与直墙间距离的变化而有规律地出现；ZHENG 等[20]进一步研究了直墙前二维矩形浮标的三个自由度的辐射问题，重点研究了吃水、浮标与直墙间距离等对水动力系数的影响；滕斌和宁德志[21-22]应用映像原理，将直墙前单个圆柱体对波浪的绕射问题变换为双柱对双向波浪的绕射问题，利用特征函数展开法，建立了直墙前圆柱体波浪绕射的解析求解过程；还采用同样的方法研究了正交直墙前圆柱的振荡问题；ZHANG和ZHOU[23]研究了直墙前矩形月池的波浪辐射和绕射问题，并分析了开口位置和直墙的存在对月池水动力特性的影响。

本文推导了有限水深中、波浪斜向入射条件下直墙前无限长矩形月池的辐射和绕射问题的解析解。首先，给出入射波速度势函数的表达式，把整个水域划分为若干个合适的子区域；然后，根据边界条件，应用分离变量法和特征函数展开法求解各子区域的速度势函数；最后，分析讨论底部开口大小、波浪入射角度以及直墙远近对矩形月池水动力系数和波浪激励力的影响。

图1 直墙前矩形月池示意Fig.1 The sketch of a rectangular structure with a moon pool in front of a vertical wall

1 数学模型

一个宽度为2b，吃水为h1的无限长的矩形结构物漂浮在深度为h的水中，右侧D处有一在y方向上无限长的直墙。在矩形结构物的底部中心处有一个宽度为2a的开口。在未受扰动的静水面上建立如图1所示的笛卡尔坐标系O-xyz。z轴坐标向上为正，x轴方向向右。假定矩形月池在y轴方向上无限长且入射波与x轴形成一个夹角θ(0°<θ<90°)。

假定流体无粘、不可压缩且运动无旋，入射波和结构物的振幅很小，总的速度势Φ可以表示为[12]：

(1)

(2)

和边界条件：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：ν=ω2/g，g是重力加速度，Sb是月池的湿表面，δjl为Kronecker 函数，其定义为：

(7)

频散关系为：

ω2=gkthkh

(8)

φ(0)可表示为：

(9)

物面边界条件展开为[3]：

(10)

2 求解过程

2.1速度势函数的表达式

用特征函数展开法求解上述边值问题的解析解，把整个水域划分为图1所示的七个子区域，分别是I (b≤x≤b+D,-h≤z≤0)、II (a≤x≤b,-h≤z≤-h1)、III (-a≤x≤a,-h≤z≤0)、IV (-b≤x≤-a,-h≤z≤-h1)、V (-≤x≤-b,-h≤z≤0)、VI (a≤x≤b,-h1≤z≤0)和VII (-b≤x≤-a,-h1≤z≤0)。七个子区域内的辐射速度势和绕射速度势分别记为：和

根据分离变量法和各区域之间的速度和压力连续边界条件，每个子区域的速度势函数可以表示为：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

其中：

(20)

(21)

(22)

βn=(n-1)π/(h-h1)n=1,2,3,...

(23)

(24)

α1=-ik1,k1th(k1h1)=ω2/gn=1
αnth(αnh1)=-ω2/gn=2,3,…

(25)

(26)

k0=ksinθ

(27)

(28)

(29)

其中：

(30)

(31)

2.2未知系数的求解

在x=±b和x=±a断面，运用速度连续和压力连续条件，可以得到：

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

根据文献[3]，将含有未知数的速度势函数表达式代入式(32)～(43)中，利用三角函数的正交性，可将以上边值问题转换为一个无穷维线性方程组进行求解。为得到未知系数，需把所有的无穷序列进行截断处理，取无穷级数的前N项，即产生一个12N阶的线性方程组。通过高斯消元法求解方程组，即可得到速度势函数的表达式。

3 水动力计算

3.1辐射作用力

在得到速度势函数的表达式后，由Bernoulli方程可得到月池湿表面的压强分布，沿月池表面对压强进行积分，可得到月池上的辐射波浪力为：

(44)

式中：ρ是密度，τij是在模态j作单位振幅的运动时所受到的i方向的辐射作用力。

由波浪辐射力可以得到附加质量μij和阻尼系数λij的表达式，可将它们无量纲化为：

(45)

(46)

3.2波浪激励力

矩形月池所受到的波浪激励力可以由入射和绕射速度势求得，垂直分力为：

(47)

水平分力为：

(48)

以及关于(0，0)的倾覆力矩为：

(49)

将波浪激励力(矩)无量纲化为：

fi=Fi/(2ρgη(0)bbδ3i)

(50)

4 分析与讨论

通过计算斜向波与直墙前矩形月池相互作用的水动力系数和波浪激励力，对得到的速度势函数的正确性进行验证，然后定性分析波浪入射角度、底部开口大小对月池水动力特性的影响以及直墙远近对波浪力的影响。

4.1结果验证

4.1.1 收敛性

在速度势函数的计算中，已有学者通过数值试验的方法考察了取不同N值时水动力系数和波浪激励力计算结果的收敛情况。文献[3]分别讨论了N=50和N=100时附加质量、阻尼系数曲线和波浪激励力的变化曲线，发现在这两种情况下得到的曲线吻合良好，可知N取50时即有足够的运算精度。下文中所有的水动力系数和波浪力都是在N=50时计算得到的。

4.1.2 水动力系数的对称性验证

由格林公式知，附加质量和阻尼系数均具有对称性[24]。利用这一特性可对所得速度势函数的正确性进行验证。图2给出了横摇和横荡模态两种组合下求得的附加质量和阻尼系数曲线，由图可知这两种组合下的水动力系数曲线吻合良好。

图2 θ=30°,h/h1=3,b/h1=0.5,a/b=0.5和D/h1=3时，横荡和横摇运动组合下附加质量和阻尼系数的对称性Fig.2 Symmetry of the added mass and damping coefficients between coupled sway and roll motions withθ=30°,h/h1=3,b/h1=0.5,a/b=0.5and D/h1=3

4.2入射角度对水动力特性的影响

考虑入射角θ分别取15°、45°和75°时，入射角度的大小对直墙前矩形月池的水动力系数的影响。在垂荡模态下，不同入射角度引起的附加质量和阻尼系数曲线如图3(a)和3(b)所示。在图3(a)中θ分别取15°、45°和75°时，μ11分别在2kb≈ 0.575、0.617和0.662处取得峰值，图3(a)和3(b)表明在垂荡模态下，不同入射角度引起的附加质量和阻尼系数的变化几乎是相同的。图3(c)～3(d)，3(e)～3(f)表明在横荡和横摇模态下，不同入射角度引起的附加质量和阻尼系数的变化与垂荡模态下的变化有很大不同：入射角度不同附加质量也不相同，且主要表现在2kb> 2.25时；而阻尼系数的区别相对很小，在不同入射角度下曲线基本保持一致，只在峰值处有略微的区别。更具体地说，从图3(c)和3(e)可以看到入射角θ分别取15°、45°和75°时附加质量曲线波动变化很大，不同入射角下其峰值也有很大的差别。所有这些都表明入射角度的不同会对横荡和横摇运动的共振频率产生重要的影响。

图3 h/h1=3,b/h1=0.5,a/b=0.5和D/h1=3时入射波角度对水动力系数的影响Fig.3 Effect of the angle of incidence on hydrodynamic coefficients with h/h1=3,b/h1=0.5,a/b=0.5and D/h1=3

不同入射角度下垂直分力的实部和虚部曲线分别如图4(a)和4(b)所示。在图4(a)中当入射角θ分别取15°、45°和75°时，峰值的绝对值是0.906、0.660和0.234，依次下降了27.2%和64.5%，由图4(b)可知峰值的绝对值是0.852、0.573和0.155，依次下降了32.7%和72.9%。图4(c)～4(d)，4(e)～4(f)表明入射角度不同时波浪激励力实部和虚部的曲线变化也有很大的不同。图4(c)和4(e)表明，当入射角θ分别取15°、45°和75°时，水平分力和倾覆力矩实部峰值的绝对值在2kb= 0.535时分别是1.891、1.607、1.186和1.527、1.298、0.958，分别依次下降了15.0%、26.2%和15.0%、26.2%。图4(d)和4(f)表明，水平分力和倾覆力矩虚部的第一个峰值所对应的频率分别与它们实部的第一个峰值所对应的频率是一样的；而虚部曲线随着角度的增加则出现很大的差异。

图4 h/h1=3,b/h1=0.5,a/b=0.5和D/h1=3时入射波的角度对波浪激励力的影响Fig.4 Effect of the angle of incidence on wave excitation forces with h/h1=3,b/h1=0.5,a/b=0.5and D/h1=3

图5给出了直墙存在的情况下，矩形月池所受波浪力的垂向分力和水平分力随入射角度的变化规律。从图中可以看出，尽管2kb取不同的值，但垂向波浪力和水平方向的波浪力都随着入射角度的增加而逐渐减小；入射角度在小于45°时对波浪力的影响相对不太明显，但在45°～90°范围内，波浪力随着角度的增加而迅速减小。

图5 h/h1=3，b/h1=0.5，a/b=0.5和D/h1=3时波浪力随入射角度的变化Fig.5 Variation of the wave excitation forces with the angle of incidence in the case of h/h1=3，b/h1=0.5，a/b=0.5and D/h1=3

4.3底部开口大小对水动力特性的影响

对a/b取不同值如0.2、0.4、0.6和0.8时分别进行计算。a/b取不同值时垂荡运动引起的附加质量力和阻尼系数的结果如图6(a)和6(b)所示。由图6(a)可知，当a/b取0.2、0.4、0.6和0.8时，μ11分别在2kb约为0.498、0.535、0.617和0.617处取得峰值。图6(b)表明，虽然开口宽度不同，但垂荡运动引起的阻尼系数的变化几乎是相同的。图6(c)和6(e)表明，当取不同的a/b值时，横荡和横摇模态下的附加质量变化有很大不同，在2kb=3～4之间，曲线出现不同的峰值。图6(d)和6(f)表明，不同开口大小对阻尼系数的影响不大。

图6 θ=30°,h/h1=3,b/h1=0.5和D/h1=3时底部开口宽度对水动力系数的影响Fig.6 Effect of the width of opening on hydrodynamic coefficients with θ=30°,h/h1=3,b/h1=0.5and D/h1=3

a/b取不同值时，垂直分力的实部和虚部曲线分别如图7(a)和7(b)所示。因为这个力是来自水平底部的压力，所以底部开口的宽度对其有很大的影响。由图7(a)可知，当a/b分别为0.2、0.4、0.6和0.8时，Re(f1)对应峰值的绝对值分别是2.864、1.111、0.518和0.138，依次下降了 61.2%、53.3%和73.4%，且从图7(b)可知Im(f1)峰值的绝对值分别是1.684、1.020、0.473和0.127，依次下降了39.4%、53.6%和73.2%。图7(c)～7(d)，7(e)～7(f)表明，水平分力、倾覆力矩的实部曲线在取不同的a/b时基本都是一致的；但虚部由于底部开口大小不同，曲线峰值的大小也明显不同。

图7 θ=30°,h/h1=3,b/h1=0.5和D/h1=3时底部开口宽度对波浪激励力的影响Fig.7 Effect of the width of opening on wave excitation forces with θ=30°,h/h1=3,b/h1=0.5andD/h1=3

4.4直墙远近对波浪力的影响

图8是在波浪正向入射条件下，矩形月池与直墙间取不同距离(即l/h1取不同值)时，作用于月池水平方向波浪力的分布，以及和开敞水域中矩形月池所受波浪力的对比情况。由图可以看到，存在直墙时矩形月池所受的最大波浪力相较于开敞水域中矩形月池所受的最大波浪力增大了两倍左右。由于直墙的存在，结构物上的波浪力随着波数的变化而发生振荡，且矩形月池与直墙间距离较大时，反射作用减小，其所受到的水平方向波浪力的峰值减小。图8(a)和8(b)表明波浪的水平分力曲线在有无直墙时的整体走势大致相同，但在直墙结构存在的情况下，当2kb<1 时，结构所受的波浪水平力曲线出现多个波动。

图8 h/h1=3，b/h1=0.5，a/b=0.5时直墙距离对波浪力的影响Fig.8 Effect of the distance between the vertical wall and the structure on wave excitation forces with h/h1=3，b/h1=0.5，a/b=0.5

5 结 语

本文通过分离变量法和特征函数展开法，推导了有限水深中、波浪斜向入射条件下直墙前矩形月池辐射和绕射问题的解析解。利用所推导的解析解，计算了作用在矩形月池上的波浪激励力，且主要研究了波浪入射角度、底部开口宽度对矩形月池水动力特性的影响以及直墙远近对波浪力的影响。研究表明入射角度对阻尼系数以及垂荡运动的附加质量影响不大，但对横荡和横摇运动的附加质量有很大的影响；入射角度对波浪激励力的垂直分力影响不明显，随着入射角度的增加水平分力和倾覆力矩会逐渐变小，因此入射角度对水平分力和倾覆力矩的影响很大。底部开口宽度对阻尼系数的影响不明显，但对附加质量的影响很大，不同的开口宽度引起的附加质量峰值明显不同；由于月池底部开口，月池内外流体的运动可视为整体竖向的运动，因此底部开口宽度对月池的水平力和晃动频率基本没有影响，但对于月池的垂直力和活塞频率有明显的影响。月池所受到的水平波浪力的峰值由于直墙结构的存在而增大，当2kb<1时水平向波浪力出现多个波动。由于本文是基于线性势流理论采用解析方法而进行计算求解的，因此还需对计算结果、尤其是对于入射角大于45°以及a/b小于0.2时的计算结果，通过物理模型实验或者数值解进行进一步的验证。本文得到的矩形月池的水动力系数和波浪力的变化规律可为月池的设计提供重要参考。

[1] 黄磊,刘利琴,唐友刚,等.水平激励下钻井船矩形月池的水动力特性研究[J].天津大学学报：自然科学与工程技术版,2015,48(11)：1 001-1 008.(HUANG Lei,LIU Liqin,TANG Yougang,et al..Hydrodynamic characteristics of rectangular moonpool of drilling unit under horizontal excitation [J].Journal of Tianjin University,2015,48(11)：1 001-1 008.(in Chinese))

[2] ZHENG Y H,YOU Y G,SHEN Y M.On the radiation and diffraction of water waves by a rectangular buoy [J].Ocean Engineering,2004,31(8)：1 063-1 082.

[3] ZHOU H W,WU G X,ZHANG H S.Wave radiation and diffraction by a two-dimensional floating rectangular body with an opening in its bottom [J].Journal of Engineering Mathematics,2013,83(1)：1-22.

[4] MOLIN B.On the piston and sloshing modes in moonpools [J].Journal of Fluid Mechanics,2001,430(1)：27-50.

[5] YEUNG R W,SEAH R K M.On Helmholtz and higher-order resonance of twin floating bodies[J].Journal of Engineering Mathematics,2007,58 (1-4)：251-265.

[6] 康庄,姚熊亮.浪流条件下月池内流体活塞振荡特性实验研究[J].哈尔滨工程大学学报,2008,29(3)：209-216.(KANG Zhuang,YAO Xiongliang.Experimental research on piston oscillating behavior of fluid in a moon pool with wave-flow [J].Journal of Harbin Engineering University,2008,29(3)：209-216.(in Chinese))

[7] 戴伟.均匀流条件下月池水动力特性研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学,2005.(DAI Wei.Hydrodynamic performance research on moon pool under uniform flow condition [D].Harbin：Harbin Engineering University,2005.(in Chinese))

[8] ALBERS A B.The water motions in a moonpool[J].Ocean Engineering,1984,11(6)：557-579.

[9] FALTINSEN O M,ROGNEBAKKE O F,TIMOKHA A N.Two-dimensional resonant piston-like sloshing in a moon pool [J].Journal of Fluid Mechanics,2007,575(9)：359-397.

[10] ZHENG Y H,SHEN Y M,YOU Y G,et al.Wave radiation by a floating rectangular structure in oblique seas [J].Ocean Engineering,2006,33(1)：59-81.

[11] ZHENG Y H,LIU P F,SHEN Y M,et al.On the radiation and diffraction of linear water waves by an infinitely long rectangular structure submerged in oblique seas [J].Ocean Engineering,2007,34(3-4)：436-450.

[12] YANG X Y,ZHANG H S.Wave radiation and diffraction by a floating rectangular structure with an opening at its bottom in oblique seas [J].Journal of Hydrodynamics,ser.B.2015,Accepted.

[13] EVANS D V,MORRIS C A N.The effects of a fixed vertical barrier on obliquely incident surface waves in deep water [J].Journal of Institute of Mathematics and its Applications,1972,9(2)：198-204.

[14] POLITIS C G,PAPALEXANDRIS M V,ATHANASSOULIS G A.A boundary integral equation method for oblique water-wave scattering by cylinders governed by the modied Helmholtz equation [J].Applied Ocean Research,2002,24(4)：215-233.

[15] BOLTON W E,URSELL F.The wave force on an infinitely long circular cylinder in an oblique sea [J].Journal of Fluid Mechanics,1973,57(2)：241-256.

[16] BAI K J.Diffraction of oblique waves by an infinite cylinder [J].Journal of Fluid Mechanics,1975,68(3)：513-535.

[17] LEONARD J W,HUANG M C,HUDSPETH R T.Hydrodynamic interference between floating cylinders in oblique seas [J].Applied Ocean Research,1983,5(3)：158-166.

[18] GARRISON C J.Interaction of oblique waves with an infinite cylinder [J].Applied Ocean Research,1984,6(1)：4-15.

[19] HSU H H,WU Y C.The hydrodynamic coefficients for an oscillating rectangular structure on a free surface with sidewall.Ocean Engineering,1997,24 (2)：177-199.

[20] ZHENG Y H,SHEN Y M,YOU Y G,et al.On the radiation and diffraction of water waves by a rectangular structure with a sidewall[J].Ocean Engineering,2004,31 (17)：2 087-2 104.

[21] 滕斌,宁德志.波浪对直墙前垂直圆柱的绕射[J].海洋工程,2003,21(4)：48-52.(TENG Bin,NING Dezhi.Wave diffraction from a uniform cylinder in front of a vertical wall [J].The Ocean Engineering,2003,21(4)：48-52.(in Chinese))

[22] 宁德志,滕斌.正交直墙前直立圆柱振荡问题的研究[J].中国工程科学,2003,5(5)：84-91.(NING Dezhi,TENG Bin.Study on the oscillation of a uniform cylinder in front of two verticd walls intersecting mormally[J].Engineering Sciences,2003,5 (5)：84-91.(in Chinese))

[23] ZHANG H S,ZHOU H W.Wave radiation and diffraction by a two-dimensional floating body with an opening near a side wall [J].China Ocean Engineering,2013,27(4)：437-450.

[24] MARUO H.The drift of a body floating on waves [J].Journal of Ship Research,1960,4 (03)：1-5.

The oscillation of water waves in a rectangular structure with a moon pool in front of a vertical wall

ZHENG Bifang1，ZHANG Hongsheng1，YANG Xiaoyan1,2

(1.College of Ocean Science and Engineering，Shanghai Maritime University，Shanghai 201306，China; 2.School of Naval Architecture，Ocean and Civil Engineering，Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240，China )

P731.2；O353.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.05.005

张洪生。 E-mail：hszhang@shmtu.edu.cn

1005-9865(2016)05-0040-11

2015-12-08

国家自然科学基金资助项目(51079082)；上海市自然科学基金资助项目(14ZR1419600)；上海市教委一流学科建设项目；2013年上海市研究生教育创新计划实施项目(第二批)

郑碧芳(1992-)，女，山西应县人，硕士研究生，主要从事水波动力学的研究。