陈晓丹，周颂平

(浙江理工大学理学院，杭州310018)



实意义下分组有界变差条件对柯西并项准则的推广

陈晓丹，周颂平

(浙江理工大学理学院，杭州310018)

对数项级数及积分的柯西收敛准则的单调性和非负性进行推广。主要针对分组有界变差(GBV)条件的非负性作进一步研究，利用GBV性质及巧妙的分割方法给出最终适用条件的数列的柯西并项准则；同时，将系数数列的GBV条件推广到函数的GBV条件，最终给出分组有界变差函数GBVF的柯西并项准则。

数列；积分；分组有界变差；柯西并项准则

0　引　言

基于前人的研究成果，本文取消了GBV的非负性并采用巧妙的分割方法，将实意义下的分组有界变差数列之和转化为熟知的非负条件下的分组有界变差数列之和，得到实意义GBV条件下的数列及积分的柯西并项准则。

1　定　义

(1)

全文用M来代表(1)条件中出现的常数，M1、M2等表示正常数，在不同的地方可能代表不同的值。

2　定理及证明

证明： 对任意n/2≤k≤n，由式(1)可知：

≤(M+1)|ak|,

其中M是式(1)中的正常数。对k进行从n/2到n的累加，可以得到：

因此，

引理1证毕。

给定一实数列{an}，令n1=1，对所有k≥2，记：

nk=min{n>nk-1:anank-1<0},

当n充分大时，若数列{an}保号，则自然数列{nk}的子列只有有限多个元素，这是平凡的情形，已经有结论成立[4]。不失一般性，可以假定{nk}是无限自然数子列。由以上的定义，易知数列{an}在每个集合

Sk:={nk,nk+1,…,nk+1-1}

(2)

中的符号是一致的。

记

(3)

U=U(M0)={Sk:|Sk|>M0nk,k=1,2,…}，

其中|Sk|表示Sk元素中的个数。并记：

U+=∪ {Sk∈U:ank>0},

U-=∪ {Sk∈U:ank<0}.

同样，定义

同时，记aμj,k，使其满足：

λn+1-λn=O(λn-λn-1),n=1,2,…

(4)

由引理1与(2)，对任意固定的k，易知:

即：

(5)

又因为：

结合(5)易知：

将k=1到N累计加起来，不难得出：

因此，

(6)

对n=n0+1,…,n1，由Abel变换，可得：

由条件(4)，易知 λn=O(λn-1)。此时，可以选择一个自然数N0使得2N0-1λn-1≤λn<2N0λn-1，故：

对于任意 1≤j≤N0，由条件(1)，有：

≤M1|a2j-1λn-1|,

因此：

=∶M2|aλn-1|.

同理，得到：

|aλn|≤M1M2|aλn-1|.

故可知：

M3(λn-1-λn-2)|aλn-1|,n=n0+1,…,n1.

同样，可以得到：

左右两边进行求和，

对U-有相同的结论。因此，由条件(6)，易获得：

定理1获证。

定理1得知，在GBV条件下，可以避免计算数列中复杂变号的“小区间”，因为它可以被“大区间”的值所控制，因此该定理有若干潜在的应用价值。下面给出一个例子。

分段定义：

由此，只需令：

该定理的证明类似于文献[4]中定理2的证明，并采用本文定理1的分割方法，本文省略。

3　结　语

本文在取消GBV非负性条件下，采用巧妙的分割方法，将复杂变号的“小区间”为“大区间”的值所控制，从而将变号条件下定理的研究转化为熟悉的“大区间”条件下定理的研究，并将柯西并项准则推广至积分的情形。由文献[4]可知，分组有界变差条件是柯西并项准则适用的最终条件。因此，本文给出了最终适用范围的实意义分组有界变差条件下的柯西并项准则。

[2] LE R J, ZHOU S P. A new condition for the uniform convergence of certain trigonometric series[J]. Acta Mathematica Hungarica, 2005, 108(1-2): 161-169.

[3] 周颂平. 三角级数研究中的单调性条件: 发展和应用[M]. 北京: 科学出版社, 2012: 9-20.

[4] 乐瑞君, 解烈军. 分组有界变差条件对级数若干经典定理的推广[J]. 数学实践与认识,2013, 42(23): 282-286.

[5] FENG L, TOTIK V, ZHOU S P. Trigonometric series with a generalized monotonicity condition[J]. Acta Math Sinia Eng Ser, 2014, 30(8): 1289-1296.

(责任编辑： 康锋)

A Remark on Generalization of Cauchy’s Condensation Criterion under Group Bounded Variation Condition in Real Sense

CHENXiaodan,ZHOUSongping

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

It is to generalize the monotonicity and positivity of Cauchy’s convergence criterion for numerical series and integral. It aims to do further research on the positivity of group bounded variation (GBV) and to offer the Cauchy’s condensation criterion for series.Moreover, its gives the final applicable conditions by using GBV property and ingenious segmentation method. Meanwhile, the GBV conditions is generalized from coefficient series to function so as to finally offer the Cauchy’s condensation criterion for group bounded variation function.

series; integral; group bounded variation; Cauchy’s condensation criterion

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.03.025

2015-06-29

陈晓丹(1989-)，女，江苏泰州人，硕士研究生，主要从事逼近论的构造性分析方面的研究。

O173.1

A

1673- 3851 (2016) 02- 0309- 04 引用页码： 030801