苗恩铭　刘　义　杨思炫　陈维康

合肥工业大学，合肥，230009



无偏估计拆分算法在数控加工中心主轴热误差建模中的应用

苗恩铭刘义杨思炫陈维康

合肥工业大学，合肥，230009

针对多元线性回归无偏估计算法在处理具有多重共线性的机床热误差数据建模中出现的模型参数估计失真问题，提出了一种用于处理共线性数据的无偏估计拆分算法。该算法将建模过程分成多个步骤完成，每步只对一个自变量进行回归，从而达到弱化自变量共线性的目的。以Leaderway-V450型数控加工中心为实验对象，根据在不同季度内测量的多批次空转实验数据，将无偏估计拆分算法与传统多元线性回归的模型精度和稳健性进行了验证。研究结果显示，无偏估计拆分模型的预测精度和稳健性远优于经典多元线性回归模型，尤其对于跨季度数据预测，该算法优势更大。

数控机床；热误差；多元线性回归；无偏估计拆分算法；稳健性

0　引言

数控机床热误差对零件的加工精度影响显著[1]，研究表明，热误差占机床总误差的40%～70%[2-3]。因此，针对数控机床热误差补偿技术的研究在提升机床精度的研究中具有重要的意义[4]。

数控机床热误差补偿技术中，通过应用设计和制造技术改进机床结构的硬件补偿方法，不仅成本高，而且效果并不十分理想，故常采用软件热误差补偿方法对机床热误差进行补偿，即通过对数控机床有限温度点进行采样，由建立的热误差补偿模型预测出热误差值，利用数控系统的原点偏移功能原理，对机床提前给予补偿[5]。因此，在数控机床软件热误差补偿技术中，核心的问题是建立能够准确反映机床温升同热误差之间的热误差模型，该模型的准确性会直接影响热误差补偿精度和稳健性[6]。目前机床热误差建模常采用的方法是多元线性回归算法，该方法简单快捷，且属于无偏估计方法，故其模型具备较高的拟合精度[7]。但在数控机床热误差建模中，由于机床温度场的时变性和非线性，各温度传感器之间不可避免地存在不同程度的共线性问题[8]，而共线性会对回归分析产生严重影响，若直接将其用于数控机床热误差建模，会有损模型预测效果和稳健性[9]。

为提高机床热误差补偿模型的预测精度和稳健性，本文对多元回归无偏估计进行了演化，提出一种无偏估计拆分(split unbiased estimation，SUE)算法。该算法将建模过程分多步完成，每步只对一个自变量进行回归分析，从而达到弱化自变量共线性、提高模型稳健性的目的。笔者根据Leaderway-V450型数控机床在不同季度内的多批次热误差空转数据，对无偏估计拆分算法和多元回归算法进行了精度和稳健性比对，验证了无偏估计拆分算法在数控机床热误差建模中的高效性，为数控机床热误差补偿建模的工程应用提供了参考依据。

1　热误差建模算法

1.1多元线性回归算法

多元线性回归模型是一种用统计方法寻求多输入单输出关系的模型[7]。其主要思想是基于最小二乘原理，计算出自变量和因变量的最佳相关参数进而建立模型。机床热误差的多元线性回归模型是以多个关键温度敏感点处的温度值增量为自变量、热变形量为因变量建立的。设数控机床温度敏感点有k个，测量数据有n个，其通用表达式为

i=1,2,…,n

1.2无偏估计拆分算法

由于基于最小二乘原理的多元回归无偏估计算法受自变量共线性影响严重，若直接将其用于处理具有共线性的问题，会有损热误差模型精度[9]，因此，本文对无偏估计算法进行了演化，提出一种用于抑制变量间共线性的无偏估计拆分算法。

假设原模型为Y=β0+β1x1+…+βkxk。其中，自变量x1，x2，…，xk对因变量Y的影响权重依次降低，且模型自变量之间存在共线性问题。

(4)最终根据k个自变量的回归系数估计值和模型常数项，得到数控机床热误差无偏估计拆分预测模型：

由上述步骤可以清楚知道，无偏估计拆分算法把回归系数估计过程分成了多步完成，每步只对一个变量进行回归分析，故该算法能够有效地避免自变量间的共线性问题。

2　热误差测量实验

本文以Leaderway-V450型数控机床为实验对象。由于该机床的X向和Y向为近似对称结构，相比于Z向，其热变形量较小,故为减少实验工作量和简化数据处理方式，本文仅对机床主轴Z向热变形进行建模及预测。

2.1实验装置

本实验选择温度传感器DS18B20 (精度等级为0.5，最大分辨能力为0.0625 ℃)测量温度数据；采用电感位移传感器(精度等级为0.1)对Z向热误差进行测量。温度传感器的贴放位置以影响机床主轴Z向热误差的主要热源附近为主，各传感器的安放位置如表1所示。数控加工中心如图1所示，温度传感器和电感位移传感器分布位置如图2所示。

表1　传感器安放位置及作用

图1　Leaderway-V450型数控加工中心

图2　温度传感器和电感位移传感器的安放位置

2.2实验方案

根据上述实验装置，在2015年3月份和5月份，共测量获得了6批次实验数据。在实际测量时，主轴以恒定的转速(2000 r/min、4000 r/min、6000 r/min)转动，机床主轴每隔3 min停转一次，实验持续时间达到4 h以上。其中K1～K6批次数据的具体参数如表2所示，K1～K6批次的热误差曲线如图3所示。

表2　实验数据具体参数

图3　K1～K6批次的热误差曲线图

3　热误差建模及模型稳健性分析

3.1MLR算法建模

采用传统多元回归算法建模时，首先要选择用于建模的温度敏感点。温度敏感点的选择，主要遵循互不相关策略和主因素策略[10]。本文采用模糊聚类结合灰色关联度的方法[11]，计算K1～K6批次的温度敏感点，结果如表3所示。

表3　K1～K6批次的温度敏感点

由表3可知，各批次的温度敏感点并不完全相同，此结论已在文献[12]中被证明。以各批次数据的温度敏感点为建模自变量，采用MLR算法，建立K1～K6批次的MLR模型，结果如下：

其中，ΔTi为温度传感器Ti的温度值增量，yi为Ki批次数据的模型热误差预测值。

3.2SUE算法建模

由于SUE算法能够有效地处理建模自变量间的共线性问题，故采用此算法建立热误差模型时，关于建模自变量的选择，主要考虑主因素策略即可，即选择对热变形量有最大影响权重的温度变量。为保证与MLR建模时自变量数量的一致性，本文采用简单相关系数[13]，以各批次数据中对热变形量的影响权重最大的两个温度变量作为建模自变量。K1～K6批次的计算结果如表4所示。

表4　K1～K6批次的建模自变量

根据SUE算法的建模原理，建立K1～K6批次的SUE模型，结果如下：

3.3MLR和SUE模型的稳健性比对分析

根据上述建立的K1～K6批次的MLR和SUE模型，分别对K1～K6批次进行预测精度分析。本文以模型预测值和实测值的残余标准差(记为S)作为评判模型精度高低的标准。其中，残余标准差值越小，表示模型精度越高[14]。

通过计算，得到MLR模型对不同批次数据的预测精度结果，如表5所示。

表5　MLR模型预测精度结果　μm

注：Mi(i=1,2,…,6)为数据Ki建立的MLR模型。

由表5可知，MLR模型的预测标准差分布在1.03～26.79 μm之间，范围很广，这说明MLR模型的预测精度时高时低，稳健性很差。

另外，通过计算得到SUE模型对不同批次数据的预测精度结果，如表6所示。

表6　SUE模型预测精度结果　μm

注：为便于下文的比较，本文将根据Ki批次数据建立的MLR模型和SUE模型均取名为Mi。

由表6可知，SUE模型的预测标准差分布在1.96～9.74 μm之间，分布范围明显缩小，这说明SUE模型的预测稳健性得到了较大提高。

3.4同季度内的模型预测精度分析

对表5、表6中的MLR模型和SUE模型的预测精度进行进一步分析，得到以3月份数据建模来预测3月份数据、以5月份数据建模来预测5月份数据的模型预测精度均值Mn和离散标准差Sd，结果如表7所示。其中，如以3月份数据建立MLR模型，并预测3月份数据时，共得到9个预测标准差。对这9个预测标准差进行平均化和离散化，即分别得到Mn和Sd。表7中的其他数据同理得到。

表7　同季度内的MLR和SUE模型的预测精度 μm

由表7中数据得到MLR模型和SUE模型的Mn和Sd的比较结果，如表8所示。其中，SUE—MLR表示SUE模型和MLR模型预测精度(包括Mn和Sd)的差值。其相应值为正，说明SUE模型精度优于MLR模型精度，且该值越大，表明SUE模型和MLR模型精度差异越大。

表8　同季度内的MLR与SUE模型预测精度差　μm

由表8可知，以3月份数据建模预测3月份数据时，SUE模型的Mn低于MLR模型的Mn，差值为1.5 μm，但SUE模型的Sd高于MLR模型的Sd约1 μm。这说明此时的SUE模型的平均预测精度略低于MLR模型，但其稳健性略强于MLR模型。而以5月份数据建模预测5月份数据时，SUE模型的Mn和Sd均高于MLR模型相应值3 μm以上，即SUE模型的平均预测精度和稳健性均优于MLR模型。

3.5不同季度间的模型预测精度分析

根据表5、表6中的MLR模型和SUE模型预测精度，得到以3月份数据建模预测5月份数据、以5月份数据建模预测3月份数据的模型预测精度均值Mn和离散标准差Sd，结果如表9所示。

表9　不同季度间MLR和SUE模型的预测精度 μm

由表9中数据，得到MLR模型和SUE模型的Mn和Sd的比较结果，如表10所示。

表10　不同季度间MLR与SUE模型预测精度差 μm

由表10数据可知，对于不同季度之间的热误差数据的预测，SUE模型的平均预测精度要远远优于MLR模型，且稳健性也都强于MLR模型。与同季度内的模型预测效果相比，SUE算法在跨季度预测时的模型精度提升效果更明显。

4　模型精度及稳健性效果验证

为验证本文算法在实际机床热误差应用中的优势，按照2.1节所述实验装置，在不同季节内，对Leaderway-V450机床主轴空转时的Z向热误差再次进行6批次数据测量。其中，6批次数据的具体参数如表11所示。

根据实验获得的热误差数据，建立其MLR和SUE的热误差模型，并分别对各批次数据进行预测精度分析，得到MLR模型和SUE模型的预测精度均值Mn和离散标准差Sd，结果如表12所示。

表11　实验数据参数

表12　MLR模型和SUE模型预测精度　μm

根据表12中结果，进一步得到MLR模型和SUE模型的Mn和Sd的比较结果，如表13所示。

表13　MLR模型和SUE模型预测精度及稳健性比对 μm

由表13可知，一方面，对于同季度内的热误差预测， SUE和MLR模型的Mn相差在-2～1 μm范围内，而SUE模型的Sd均高于MLR模型的Sd，最大相差约3 μm；另一方面，对于不同季度之间的热误差预测，SUE模型的Mn和Sd均要高于MLR模型的相应值，Mn的差值在2～9 μm范围内，Sd的差值在0～7 μm范围内。因此，对于同季度内的热误差预测，SUE模型和MLR模型平均预测精度接近，而SUE模型的稳健性要优于MLR模型；而对于不同季度之间的热误差预测，SUE模型的平均预测精度和稳健性均胜于MLR模型。这也说明了，对于一年四季条件下的热误差预测，SUE模型具有更好的适应性。

5　结论

在数控机床热误差建模补偿应用中，建立能够准确反映机床关键点温升和热变形之间的热误差模型，是软件热误差补偿的关键。由于机床温度的复杂性，使得贴放在机床上的温度传感器之间具有不同程度的共线性关系。本文针对基于最小二乘原理的多元回归无偏估计方法在处理具有共线性问题中的缺陷，对该方法进行演化，提出了一种无偏估计拆分算法，用于抑制建模自变量间的共线性。

本文对Leaderway-V450型数控加工中心主轴热误差分别建立了多元线性回归模型和无偏估计拆分模型，研究结果显示，无论是对于同季度内还是不同季度之间的热误差数据的预测，无偏估计拆分算法不仅保证了模型的高精度，而且具有更强的稳健性，此优势在不同季度之间的热误差预测中更为明显。本文工作为数控机床热误差补偿技术提供了一种有效的建模方法，丰富了热误差建模理论，为实际工程应用提供了参考。

[1]RameshR，MannanMA，PooAN.ErrorCompensationinMachineTools—aReview，PartII：ThermalErrors[J].InternationalJournalofMachineToolsandManufacture，2000，40(9)：1257-1284.

[2]BryanJB.InternationalStatusofThermalErrorResearch[J].CIRPAnnals—ManufacturingTechnology，1990，39(2):645-656.

[3]AronsonRB.WaragainstThermalExpansion[J].ManufacturingEngineering，1996，116(6)：45-50.

[4]倪军.数控机床误差补偿研究的回顾及展望[J] .中国机械工程，1997，8(1) ：29-33.

NiJun.ReviewandForecastforThermalErrorsCompensationofMachineTools[J] .ChinaMechanicalEngineering，1997，8(1) ：29-33.

[5]任永强，杨建国，罗磊，等.基于外部机床坐标系偏移的热误差实时补偿[J] .中国机械工程，2003， 14(14)：1243-1245.

RenYongqiang，YangJianguo，LuoLei，etal.Real-timeThermalErrorCompensationBasedonShiftofExternalMachineCoordinateSystem[J] .ChinaMechanicalEngineering，2003， 14(14)：1243-1245.

[6]MiaoEnming，GongYayun，NiuPengcheng，etal.RobustnessofThermalErrorCompensationModelingModelsofCNCMachineTools[J].InternationalJournalofManufacturingTechnology，2013，69(9)：2593-2603.

[7]王惠文，孟洁.多元线性回归的预测建模方法[J] .北京航空航天大学学报，2007，33(4)：500-504.

WangHuiwen，MengJie.PredictiveModelingonMultivariateLinearRegression[J].JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronautics，2007，33(4)：500-504.

[8]沈金华.数控机床误差补偿关键技术及其应用[D].上海交通大学，2008.

[9]严忠，岳朝龙，刘竹林.计量经济学[M] .合肥：中国科学技术大学出版社，2005.

[10]范金梅，许黎明，赵晓明，等.机床热误差补偿中温度传感器布置策略的研究[J] .仪器仪表学报，2005，26(8)：83-84.

FanJinmei，XuLiming，ZhaoXiaoming,etal.SensorPlacementStrategyforThermalErrorCompensationonMachineTools[J].ChineseJournalofScientificInstrument，2005，26(8)：83-84.

[11]MiaoEnming，NiuPengcheng，FeiYetai，etal.SelectingTemperature-sensitivePointsandModelingThermalErrorsofMachineTools[J].JournaloftheChineseSocietyofMechanicalEngineers，2014，32(6) ：559-565.

[12]MiaoEnming，LiuYi，LiuHui，etal.StudyontheEffectsofChangesinTemperature-sensitivePointsonThermalErrorCompensationModelforCNCMachineTool[J].InternationalJournalofMachineTools&Manufacture，2015，97：50-59.

[13]刘顺忠.数理统计理论、方法、应用和软件计算[M].武汉：华中科技大学出版社，2005.

[14]费业泰.误差理论与数据处理[M].5版.北京：机械工业出版社，2004.

(编辑卢湘帆)

Applications of Split Unbiased Estimation Algorithm in Thermal Error Modeling of CNC Machining Center

Miao EnmingLiu YiYang SixuanChen Weikang

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Considering the distortion problems of estimated model parameters when dealing with the modeling of multi-collinear thermal error data of CNC machine by the multiple linear regression without offset estimation algorithm, a split unbiased estimation algorithm used for dealing with collinear data was proposed herein. The algorithm divided the modeling process into several steps, and in each step only one independent variable was regressed so as to avoid the collinear problem. In addition, taking Leaderway-V450 machining center as the experimental object, according to batches of idling experimental data which were measured on different seasons, the accuracy and robustness of SUE algorithm were compared with that of MLR algorithm. The results show that, the accuracy and robustness of SUE model is much better than that of MLR model, especially for forecasting these data on different seasons, the advantages of this algorithm is more obvious.

CNC machine tool; thermal error; multiple linear regression(MLR); split unbiased estimation(SUE) algorithm; robustness

2015-11-02

国家自然科学基金资助重大项目(51490660，51490661)；国家自然科学基金资助项目(51175142)

TH161.5

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.16.001

苗恩铭，男，1971年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院教授、博士研究生导师。主要研究方向为精密机械工程、精度理论、数控机床热误差补偿、机械热鲁棒性结构设计理论与应用技术。发表论文50余篇。刘义，男，1994年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院硕士研究生。杨思炫，女，1991年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院硕士研究生。陈维康，男，1993年生。合肥工业大学仪器科学与光电工程学院硕士研究生。