董晓江，杨治林

(西安科技大学 理学院，陕西 西安 710054)



顺层边坡岩体结构的后屈曲分岔特性*

董晓江，杨治林

(西安科技大学 理学院，陕西 西安 710054)

在已有利用初始后屈曲理论和尖点突变理论对顺层边坡岩体结构进行性态分析的基础上，结合顺层边坡岩体结构弯曲变形及溃屈破坏的特点，运用几何非线性大变形理论对顺层边坡岩体结构的后屈曲非稳定性态进行研究，给出了顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏的判据。同时求出了顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏时的屈曲模态幅值，并给出了工程实例。研究表明：可以运用几何非线性大变形理论来求解顺层边坡岩体结构的溃屈破坏极限长度，进而求出其发生溃屈破坏时的模态幅值；此模态幅值代表了结构体系在屈曲状态下模态幅值的最小值或跨越分岔集发生溃屈破坏的模态幅值的最大值，具有临界模态幅值的二重性的基本特征；由于沿边坡方向重力分力的影响，倾斜层状边坡发生溃屈破坏的位置会下移，在确定溃屈破断的位置时，可以运用二分法的思想。

顺层边坡；几何非线性大变形理论；溃屈破坏极限长度；模态幅值；二分法

0　引　言

工程实际中遇到的边坡，以顺倾向层状岩质边坡的稳定性为最差，因此在工程建设中必须对其非稳定性态进行分析[1]。

顺倾向层状岩质边坡的破坏通常沿着层间软弱夹层或层间接触面发生，主要表现形式为岩层溃屈破坏或整体剪切滑动[2-3]。工程实际遇到的大多数顺层边坡岩体结构的宽度和长度远大于厚度，如果岩层厚度很小，沿着边坡方向的下滑力小于岩层层间摩擦力，岩层一般不会发生失稳破坏。当岩层厚度较大时，其从基本状态到后屈曲状态经历的过程一般是弯曲变形、失稳破坏、弯曲变形和裂缝持续发展、岩层溃屈破坏或整体剪切滑动至彻底丧失承载力。

对工程实际遇到的顺层边坡岩体结构进行力学简化发现，其变形破坏过程往往具有以岩梁或岩板发生破坏的特征。岩板或岩梁的屈曲并不意味着其承载能力的全部丧失，仅仅是结构体系的稳定性态发生改变的分岔特征[3]。这表明岩层失稳后仍具有一定的承载力，说明岩层的后屈曲性态是稳定的。随着岩体结构上部滑动段的不断下滑，脱离底层岩层的弯曲变形不断发展，岩体结构的后屈曲状态将演变为2种结果：①坡脚维持锁固状态，上部岩层不断下滑，岩体结构脱离底层的长度不断减小，当岩层脱离底层的长度在溃屈破坏极限长度以内时，岩体结构将发生溃屈破坏；②随着上部滑动段的不断下滑，坡脚附近的剪力不断增大，坡脚不断张裂扩展。其间坡脚锁固段的有效长度不断减小，当最终锁固段被突然剪断时，边坡整体滑动破坏。文中着重对第一种可能出现的结果进行研究。

应该认识到，工程实际中遇到的各类边坡岩体结构都是存在缺陷的非完善系统。这种缺陷对结构体系的影响体现在结构体系发生屈曲的临界载荷与分岔点处的载荷不相等。对于理想结构则不存在这一情况，理想结构的屈曲载荷是由分岔点决定的。因此考虑实际缺陷对于探讨层状边坡的溃屈破坏与剪切滑动破坏具有很重要的实际意义。

文中在顺层边坡屈曲性态分析和研究分岔点附近邻域的基础上，利用几何非线性大变形理论，以一种新颖的方法求解了顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏的极限长度，进而提出了顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏的判据。同时将顺层边坡的模态幅值与溃屈破坏极限长度进行比较，对顺层边坡溃屈破坏时的屈曲性态进行分析。

1　顺层边坡岩体结构的模态幅值

1.1边坡岩体的变形模态及临界载荷

图1　边坡岩体结构后屈曲状态下的力学模型Fig.1　Mechanical model under the post-buckling state for side slope with bedding rock mass

对工程实际中的边坡岩体结构，其力学模型可简化为图1所示。AD为下部锁固段，还未产生滑动，但有向下滑动的的趋势。AB为弯曲段，l为岩层脱离底层的实际长度，亦可以理解为弯曲段岩层的跨度。BC为上部下滑段，已与底部岩层产生相对滑动。

取符合岩层边界条件的变形模态(即边坡沿y方向的位移表达式)为

(1)

式中ξ=x/l，am为边坡岩体的变形模态幅值。由文献[4]可知满足图1所示边界条件的顺层边坡岩体结构的临界载荷为

(2)

1.2边坡岩体的模态幅值方程

在单一方向受荷，并且边坡层状岩体可以处理成只在起拱部分上下两侧有约束而其余两侧自由时，可以采用平面应变条件下的岩层梁代替岩层板来分析[5]。图1所示的顺层边坡岩体结构力学模型，其从原始基本状态到后屈曲状态的演变过程中，其位能增量泛函不断发生变化。对顺层边坡岩体结构的性态进行分析时，应当将位能增量泛函(w)中的任一项都视为与载荷因子λ有关的项[4]。

对于一级近似，仅在位能泛函的二次变分中考虑与载荷因子λ有关的项是满足要求的[4，6-7]。考虑位能增量泛函的余项∏0(w,am)影响时的屈曲模态可表示为关于变形模态幅值am的简单代数函数[8]

(3)

边坡岩体结构的平衡稳定模态幅值方程为[8]

(4)

式中D1=2l4(1-μ2)(λ1Pk-P)/π4EI；D2=2l6qcosα(1-μ2)/π6EI.式(4)表达了模态幅值am与分岔点载荷P，临界载荷Pk及顺层边坡岩体结构脱离底层的长度l间的关系。

2　顺层边坡岩体结构的后屈曲性态

2.1边坡岩体的分岔点载荷与屈曲模态幅值

在前期的发展过程中，可以认为顺层边坡的弯曲变形的发展以及坡脚的开裂都是连续的，但顺层边坡岩体结构溃屈破坏或整体剪切滑动的发生总是在相对很短的时间内完成，可以看作是一种突变，可用尖点突变模型来研究顺层边坡岩体结构的非稳定性态。

由式(4)得到以am为状态变量，以D1，D2为控制变量的尖点突变模型分岔集方程为[8]

(5)

(6)

式(6)以载荷的形式给出了结构体系分岔点附近的邻域，同时也表明P≥λ1Pk是岩体结构稳定性发生改变，产生突变的必要条件[4]。式(6)既表示了平衡构形附近的邻域，也是坡脚开裂的判据[9]。

就稳定性问题的力学模型来讲，可按结构有无横向分力作用将结构区分为缺陷结构或非完善结构。式(6)等式右端也可理解为缺陷结构远离理想化完善结构的临界载荷之值[10]。在图1所示边坡岩体结构的边界条件下，非零解载荷参数的最小值为λ1=1.代入式(6)，并与式(2)联立，可得顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏时的分岔点载荷为

(7)

式(7)表示了初始缺陷对于结构体系的影响，即对于存在缺陷的实际结构，其临界载荷与分岔点处的载荷是不一致的，必须在临界载荷上增加一载荷增量，才能得到分岔点载荷。同时也表现在对于存在初始缺陷的非完善系统，结构的实际屈曲载荷(分岔点处的载荷)偏离了理论临界值。而在求解过程中，只有考虑了边坡岩体结构的这种缺陷，才能得出真正意义上的溃屈破坏极限长度和模态幅值。

联立(5)(6)，得到顺层边坡岩体结构的平衡稳定模态幅值为

(8)

式(8)是在结构体系跨越分岔集的前提下得到的，代表了结构体系在屈曲状态下模态幅值的最小值或跨越分岔集发生溃屈破坏的最大值。

2.2边坡岩体的溃屈破坏极限长度

根据岩体结构的渐进性破坏机理[11]，顺层边坡岩体结构初始屈曲后，随着上部滑动段的下滑，岩层脱离底层的长度不断减小，屈曲模态幅值不断增大，岩层处于分岔后的大变形溃屈状态。将大变形溃屈状态下的岩层板视为岩层梁，在几何非线性大变形理论下，其挠曲线微分方程为

(9)

将P的表达式代入式(9)，可得

(10)

如果顺层边坡的位置是水平的，在其两端施加荷载，由对称性可知边坡的溃屈破断将发生在脱离底层边坡的中点，即x=0.5l处。考虑到实际边坡具有倾角，由于沿边坡方向重力分力的影响，边坡溃屈破断位置会下移，边坡将发生非对称破断，不妨假设脱离底层的边坡溃屈破断发生在x=0.4l处，代入式(10)可得

(11)

联立式(8)、(11)可得到关于l的一元四次方程

al4+bl3+cl2+dl+e=0.

(12)

式中

(13)

对式(12)，可采用迭代法求出顺层边坡岩体结构的溃屈破坏极限长度为

(14)

显然，如果边坡倾角变大，溃屈极限长度会减小。直立状态下边坡岩体的溃屈破坏极限长度达到最小值。将由式(14)求得的l代入式(8)可得边坡溃屈破坏时的屈曲模态幅值am.

对于任一边坡工程，在获知其材料的物理力学参数的情况下，均可求解其溃屈破坏极限长度l和模态幅值am.由文献[12]，可知顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏的非对称破断位置为

(15)

式中ζ=kl/πam，k=tanα将求得的l和am代入式(15)可得边坡溃屈破坏的非对称破断位置，并与x=0.4l比较，对此情况，可采用二分法的思想求解边坡溃屈破坏的位置。

2.3边坡岩体结构的非稳定性态分析

顺层边坡岩体结构的破坏形式主要表现为溃屈破坏和整体剪切滑动。设边坡岩体脱离底层的实际长度为l，边坡屈曲后，只有在脱离底层的极限长度内才会发生溃屈破坏。当确定了边坡岩体结构的溃屈破坏极限长度及非对称破断位置时，由式(8)可求出边坡岩体发生溃屈破坏时破断位置的模态幅值。

随着边坡上部滑动段的下滑和弯曲段弯曲变形的加剧，岩体中应力经过重新调整，坡脚附近的最大切应力显著增大，坡脚处岩层将沿着早期发育的结构面开裂并扩展，致使边坡脱离底层的长度由于坡脚的开裂而增大，此时结构的模态幅值反而会减小。对由于坡脚不断开裂引起的边坡岩体剪切滑动破坏，这里不做进一步讨论。

3　工程算例

雅砻江霸王山某处为顺层边坡，边坡与水平地面之间的夹角α=40°，岩层的主要物理力学性能参数为：弹性模量为E=8 152 MPa，泊松比μ=0.25，岩层厚度h=10 m，岩层重度γ=27 kN/m3，夹层下的巨厚岩层不会产生深层滑动，该边坡曾发生过溃屈破坏。此层状岩体单位宽度上的均布荷载为q=γh=270 kN/m2.

关于顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏的极限长度l的方程为

式中

=-1.08×1013N·m4.

由此可得该顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏的极限长度

之前取溃屈破断发生在x=4l处，现在破断位置x∈(0.4l,0.43l)，不妨取破断位置为x=0.42l，代入式(10)，得

(16)

将上式与式(8)联立，得到关于溃屈破坏极限长度l的方程

式中

=-1.18×1013N·m4.

由此可知，边坡发生溃屈破坏的位置x∈(0.42l,0.428l)，不妨取溃屈破断位置为x=0.424l，如此迭代，当x=η时迭代终止。

最终求出溃屈破坏发生在x=0.423l处，极限长度l*=926.4 m，模态幅值am=565.7 m.

这意味着，只要该山边坡岩体脱离底层的长度小于926.4 m，边坡岩体就将发生溃屈破坏。过去曾有一种观点认为：只要顺层边坡坡脚处的岩层不被切断，就不会发生破坏，但在中国西南地区见到了许多顺层边坡坡脚并未被切断，照样发生大型滑坡的例子[13]。其破坏从本质上讲是强度问题，即由于发生溃屈破断处岩层的最大拉应力超过其抗拉强度，导致破断。雅砻江霸王山边坡便属此类。

4　结　论

1)顺层边坡岩体结构的溃屈破坏及剪切滑动的发生时间相比于前期弯曲变形的发展时间来说很短，可以将其看做一个突变。可运用尖点突变理论对顺层边坡岩体结构的非稳定性态进行分析；

2)带倾角的顺层边坡岩体结构，由于边坡岩体重力的影响，其发生溃屈破坏时岩层破断位置并非脱离底层岩层的中点。这种非对称性对确定边坡岩体结构的溃屈破坏极限长度有很大影响；

3)对于不同的工程实际边坡，其非对称破断位置是不一样的，是由边坡岩体的组成材料、倾角、赋存状况等因素共同决定的。但是考虑到重力沿边坡方向分力的影响，非对称破断位置会下移，可根据文中公式采取二分法的思想进行迭代，求出边坡实际的破断位置；

4)顺层边坡岩体结构溃屈破坏的模态幅值与其脱离底层的长度及非对称破断位置存在着某种确定的关系。顺层边坡岩体结构发生溃屈破坏之前弯曲变形的发展是连续的。

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The post-buckling bifurcation characteristics for side slope with stratified rock mass

DONG Xiao-jiang，YANG Zhi-lin

(CollegeofSciences，Xi’anUniversityofScienceandTechnology，Xi’an710054，China)

Combining the bending and buckling failure characteristics of the side slope with bedding rock mass，the post-buckling unstable behavior is studied by using geometric nonlinear large deformation theory on the basis of previous research using the initial post-buckling theory and the cusp catastrophe theory.Not only the criteria for buckling failure of rock mass bedding slope is proposed，but the post-buckling mode amplitude for side slope with bedding rock mass is solved.An application example is given at the same time.The results indicate that the geometric nonlinear large deformation theory can be used to solve the limited length of buckling failure to obtain the mode amplitude which represents the minimum mode amplitude of the structural system under the buckling state or the maximum mode amplitude when the structural system spans the bifurcation set and buckling failure occurs；due to the influence of gravity force component along the direction of the slope，the position where the buckling failure occurred will move down.The dichotomy iterative ideological can be used when determining the asymmetric breaking position.

bedding slope；geometric nonlinear large deformation theory；limited length of buckling failure；mode amplitude；dichotomy

10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2016.0312

1672-9315(2016)03-0369-06

2016-01-26责任编辑：高佳>

董晓江(1991-)，男，河南安阳人，硕士，E-mail：939688359@qq.com

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