李 琪，王再兴，王耀稼，艾二鑫

(西安石油大学 石油工程学院，陕西 西安 710065)



偏心环空中Robertson-Stiff流体的波动压力计算模型

李 琪，王再兴，王耀稼，艾二鑫

(西安石油大学 石油工程学院，陕西 西安 710065)

用窄槽流动模型模拟流体在偏心环空中的流动，结合流体流动的控制方程和Robertson-Stiff流体的流变方程，建立了稳态层流条件下的波动压力计算模型。利用自适应的辛普森积分法对其进行了数值求解，并对波动压力的影响因素进行了分析。结果表明，建立的Robertson-Stiff流体在偏心环空中的波动压力计算模型预测结果准确，采用的数值求解方法精度高，与已有的偏心环空波动压力计算模型结果对比误差在10%以内；在井眼环空处于完全偏心的情况下，波动压力梯度降低为同心环空的50%左右；当流性指数和管柱井眼尺寸比较大时，要对起下钻的速度严格限制。

波动压力；Robertson-Stiff流体；偏心环空；窄槽流动模型；辛普森积分法

李琪，王再兴，王耀稼，等.偏心环空中Robertson-Stiff流体的波动压力计算模型[J].西安石油大学学报(自然科学版)，2016，31(3)：86-91,121.

LI Qi,WANG Zaixing,WANG Yaojia，et al.Computational model of fluctuating pressure of Robertson-Stiff fluid in eccentric annulus[J].Journal of Xi'an Shiyou University (Natural Science Edition),2016,31(3):86-91,121.

引　言

随着小井眼钻井和套管钻井等新技术的出现，井筒压力的精确计算正在受到人们的重视。多年来，现场使用的波动压力预测模型是针对同心环空建立的。而在水平井和定向井中，由于重力因素的存在，会导致管柱在环空中处于偏心的位置，即井眼环空处于偏心状态。忽视偏心因素对波动压力的影响会导致过低估计起下钻速度，增加非生产时间和作业费用[1-3]。

针对牛顿流体、幂律流体、卡森流体和赫-巴流体在偏心环空中的流动，国内外学者们已经建立了相应的波动压力预测模型[4-7]。1976年Robertson和Stiff等[8-9]人提出了描述钻井液性能的Robertson-Stiff流变模式(R-S流变模式，相应的钻井液称为R-S流体)作为三参数流变模式，在较宽剪切速率范围内能比传统模式更为准确地描述钻井液的流变特性。而针对R-S流体在偏心环空中流动的波动压力计算研究较少。本文推导出了稳态层流条件下R-S流体在偏心环空中流动的波动压力计算公式，利用自适应的辛普森积分法对其进行了数值求解，并编制了相应的计算程序以方便现场使用。

1　偏心环空中流体流动的物理模型

1.1流体微元受力分析

在建立物理模型时，作出如下5点假设：

(1)井眼为规则的、直径已知的圆形井眼；

(2)管柱在环空中处于偏心位置，即认为井眼环空处于偏心的状态；

(3)钻井液在环空中的流动为等温、层流，且不考虑钻井液的压缩性；

(4)流场中的参数不随时间变化，即流动为稳定流动；

(5)将流体在偏心环空中的流动简化为在高度不等的窄槽中的流动。

偏心环空过流断面的简化模型如图1所示。其中：r2为井眼内径，m；r1为运动管柱的外径，m；e为偏心距，m；θ为偏心角，(°)；h为环空间隙，m；y为从环空中心算起的距离，m。

不同θ角处h大小为

(1)

图1　偏心环空过流断面示意图Fig.1　Schematic diagram of eccentric annulus flow section

不同偏心角处的环空间隙不同，将偏心环空的流动区域展开，可成为具有不等高度的流动槽，如图2所示。在环空中不同偏心角处沿流动方向任取流体微元进行受力分析，如图3所示。其中：τ是各液层之间的切应力，Pa；α为井斜角，(°)；F1、F2、F3、F4分别为微元体所受外力，Pa；L为微元体长度，m；u为环空中流体的流速，m/s。

图2　窄槽模型示意图Fig.2　Schematic diagram of narrow slot model

图3　环空中流体单元受力分析Fig.3　Stress analysis diagram of fluid element in annulus

稳定流动时，流体微元所受合外力为零，切应力τ与波动压力梯度Δps/L之间的关系为[3]

(2)

式(2)为窄槽流动模型轴向均匀流的控制方程，Δps/L代表波动压力梯度，Pa/m。

1.2管柱运动引起的环空流量

管柱运动过程中，由于钻井液的黏附性会导致钻井液随着管柱运动而流动。考虑下放管柱、关泵、闭管工况时，钻井液在环空中的最大平均流速[10]

(3)

管柱运动引起的环空流量

(4)

2　波动压力求解

R-S流体的流变方程为

(5)

式中：τ0=ACB，为屈服应力，Pa；A为R-S流体的稠度系数，Pa·sB；B为R-S流体的流性指数，无因次；C为速度梯度修正值，s-1，du/dy为剪切速率，m/s。

(6)

式中：r0为流核的半径，m。

环空中的平均流速

(7)

(8)

以图1中偏心角θ处的间隙为准，取微小增量dθ，则dθ所对应的弧长ds可以表示为

ds=(h+2r1)dθ。

(9)

井眼偏心环空中面积微元内通过的流量为

治疗前两组患者PRL水平下降情况无显著差异,P>0.05,但在治疗后30天、60天、90天研究组显著优于对照组,差异有统计学意义,P<0.05,见表1。

(10)

则环空中的流量为

(11)

其中，Q1和Q2的表达式分别为

式中：p和q分别为

联立式(4)和式(11)，化简整理可得R-S流体偏心环空中流动的波动压力梯度计算公式为

(12)

由于式(12)中的被积函数p、q比较复杂，很难求出原函数，因此采用自适应的辛普森积分法求解。自适应的辛普森积分法是一种不均匀区间的积分方法，它能自动地在被积函数变化剧烈的地方增加节点，而在被积函数变化平缓的地方减少节点，不管被积函数多复杂，它都能快速地得到高精度的结果。运用自适应辛普森积分法对式(12)进行数值积分，化简整理之后即可求出波动压力梯度。

对R-S流体的流变方程式(5)分析可得：当B和C的取值分别为B=1，C=0；B≠1，C=0和B=1，C≠0时，式(5)相应地化简为牛顿流体、幂律流体和宾汉流体的流变方程，对应的式(12)分别化简为牛顿流体、幂律流体和宾汉流体的波动压力计算公式。即该模型对于牛顿流体、幂律流体等现场常用的钻井液流变模式都是适用的。

3　模型验证

3.1同心环空下的模型验证

井眼环空处于同心状态时，e=0，h为常数，将相关的变量带入式(12)后化简可得同心环空中波动压力梯度计算式为

(13)

式(13)就是前人提出的同心环空R-S流体波动压力梯度计算公式[10]，因此该模型对于同心环空波动压力的计算是适用的。

3.2偏心环空下的模型验证

为了对偏心环空中波动压力计算模型的合理性进行验证，选取了5组钻井液[12]在不同偏心度ε和管柱井眼尺寸比k(选用2号钻井液)的条件下，将本文基于R-S流变模式的波动压力计算模型结果与文献[7]中基于赫-巴流变模式的简化模型计算结果、文献[13]中Haciislamoglu等[13]人和文献[14]中Patel等[14]人基于幂律流变模式提出的模型(Haciislamoglu模型和Patel模型)计算结果分别进行了对比(图4—图6)。分别用R-S、幂律和赫-巴流变模式描述钻井液性能时，流变参数以及相关指数R2见表1，井眼内径r2为0.155 m。

图4　本文模型与文献[7]模型计算结果对比Fig.4　Comparison of the calculation results using the model in this paper with the model in literature[7]

图5　本文模型与Haciislamoglu模型计算结果对比Fig.5　Comparison of the calculation results using the model in this paper with Haciislamoglu model

图6　本文模型与Patel模型计算结果对比Fig.6　Comparison of the calculation results using the model in this paper with Patel model

钻井液编号R-S流变模式幂律流变模式赫-巴流变模式BACR2nKR2nKτ0R210.684460.389057.854920.999070.544570.512600.997970.740110.121772.474490.9991020.781310.117927.448870.998600.660550.459300.998280.702970.335371.147190.9986330.717090.596418.255890.999930.762350.134890.998760.792330.108070.441510.9996840.828740.0974775.35760.999590.849520.053840.998730.886490.041000.362740.9999550.701910.3714710.39660.999770.671790.458270.997810.723700.312051.477350.99979

注：①幂律流变模式中：n是流性指数，无因次；K是稠度系数，Pa·sn。

②赫-巴流变模式中：n是流性指数，无因次；K是稠度系数，Pa·sn;τ0是动切应力，Pa。

③R2为相关指数，其值越接近于1，说明用该流变模式描述钻井液性能更好，对应的波动压力计算模型精度也就越高。

(1)文献[7]利用Fluent软件模拟赫-巴流体在偏心环空中的流动，对波动压力的数值模拟结果进行拟合，得到波动压力计算的简化模型

(12)

在0<ε<0.97、0.4

(2)Haciislamoglu等人通过数值方法拟合出了幂律流体在偏心环空与同心环空中的压耗之比R的表达式为[13]

(13)

在0.4≤n≤1.0、0≤ε≤0.95、0.3≤k≤0.9的范围内，该模型与数值方法计算的结果误差在5%以内。

Patel等人利用非线性回归法拟合出R的表达式为[14]

R=1-0.101 9εnk-0.467 5-1.615 2ε2n0.085k0.787 5+1.143 4ε3n0.054 7k1.165 5。

(14)

在0.2≤n≤1.0、0≤ε≤0.98、0.2≤k≤0.8的范围内，该模型与数值方法计算的结果误差同样在5%以内。

利用式(13)和式(14)分别求出R，可求出偏心环空中幂律流体的波动压力梯度为

(15)

由图5和图6可知，在偏心度ε和管柱井眼尺寸比k变化时，本文模型计算出的波动压力梯度与Haciislamoglu和Patel模型计算的波动压力梯度误差都在10%之内。产生误差的原因是由于在流变模式拟合时，不同流变模式的相关系数不同。由表1可知，相比于现场常用的幂律模式，R-S模式能更好地描述钻井液性能，因而本文基于R-S流变模式的波动压力计算模型有更高的精度。

4　波动压力的影响因素分析

以表1中3号钻井液为例，井眼内径r2为0.155m，研究不同的管柱运行速度vp下偏心度ε、管柱井眼尺寸比k、流性指数B和速度梯度修正值C与波动压力的关系。

由偏心度ε与波动压力的关系曲线(图7)可知，波动压力随ε增大而降低，当管柱在环空中处于完全偏心(ε=1)的情况下，波动压力梯度降低为同心环空的50%左右。在斜井段和水平井段偏心环空中可以适当提高起下钻速度。

图7　偏心度ε与波动压力的关系曲线Fig.7　Relationship between eccentricity and fluctuating pressure

管柱井眼尺寸比k与波动压力的关系曲线(图8)表明，波动压力随k的增大而增大，在k大于0.7时，波动压力对管柱运行速度的变化很敏感。因此在窄环空间隙作业(如小井眼井起下钻、窄环空间隙下套管作业)中应对管柱运行速度大小严格限制。

图8　管柱井眼尺寸比k与波动压力的关系曲线Fig.8　Relationship between the diameter ratio of string to borehole and fluctuating pressures

从流性指数B与波动压力的关系曲线(图9)可以看出，在B较小时，波动压力随vp的增大变化幅度不明显；在B大于0.6时，波动压力对vp的变化很敏感。

图9　流性指数B与波动压力的关系曲线Fig.9　Relationship between rheological index B and fluctuating pressure

图10　速度梯度修正值C与波动压力的关系曲线Fig.10　Relationship between correction value C of velocity gradient and fluctuating pressure

由速度梯度修正值C与波动压力的关系曲线(图10)可知，在C一定时，波动压力随着vp的增大而增大；随着C的增加，波动压力随着vp的增大变化幅度会减小。由屈服应力的计算公式τ0=ACB可知，C增大时，会导致屈服应力增大，进而会减弱vp对波动压力梯度的影响，这与文献[1]得到的结果是一致的。

5　结　论

(1)在考虑井眼几何特性、实际起下钻工况和流体流变性能的基础上，R-S流变模式能够更好地描述钻井液流变性能，提出的偏心环空中波动压力模型精度更高，考虑因素更加全面。

(2)本文建立的R-S流体在偏心环空中流动的波动压力计算模型合理，与文献中的数值模拟结果吻合度高；对模型进行数值求解所采用的自适应辛普森积分法是适用的，计算结果精度高，与现存的模型相比，误差在10%之内，能够满足现场精度需求。

(3)波动压力随着管柱在环空中偏心度的增加而降低，因此在斜井段和水平井段的偏心环空中可以在安全范围内提高起下钻速度；速度梯度修正值较大时，管柱运行速度对波动压力的影响减弱；在流性指数和管柱井眼尺寸比较高时，要对起下钻的速度大小严格限制。

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责任编辑：贺元旦

Computational Model of Fluctuating Pressure of Robertson-Stiff Fluid in Eccentric Annulus

LI Qi,WANG Zaixing,WANG Yaojia,AI Erxin

(College of Petroleum Engineering,Xi'an Shiyou University,Xi'an 710065，Shaanxi,China)

The flow of fluid in eccentric annulus is simulated using narrow slot flow model,the fluid flow fluctuation pressure model in eccentric annulus under steady laminar flow condition is establish based on the control equations of fluid flow and the rheology equation of Robertson-Stiff fluid.The numerical solution of the fluctuation pressure model is obtained using adaptive Simpson integral method,and the influence factors of the fluctuation pressure are analyzed.It is shown that the computational model of the Robertson-Stiff fluid flow fluctuation pressure in eccentric annulus is accurate,and the adopted numerical method is of high accuracy.Compared with the calculation results of existing models,the prediction error of the model is lower than 10%.The fluctuating pressure gradient in total eccentric annulus is about 50% of that in concentric annulus.The tripping speed should be strictly limited when the flow index and the size ratio of string to hole are relatively large.

fluctuation pressure;Robertson-Stiff fluid;eccentric annulus;narrow slot flow model;Simpson integral method

2015-12-20

国家自然科学基金项目“基于多源信息和智能计算的钻井异常自适应预警方法研究”(编号：51574194)；陕西省科技工业攻关项目“基于多源信息与智能计算的钻井事故自适应预警关键技术研究”(编号：2014K05-02)；西安石油大学优秀硕士学位论文培育项目

李琪(1963-)，男，教授，博士生导师，从事石油钻井信息技术、导向钻井等研究。Email：liqi@xsyu.edu.cn

10.3969/j.issn.1673-064X.2016.03.014

TE21

1673-064X(2016)03-0086-06

A