冀　敏　蒋　平

(复旦大学物理系， 上海　200433)



教学研究

定滑轮中的力学原理

冀敏蒋平

(复旦大学物理系， 上海200433)

定滑轮是最简单的机械，但其运行原理却涉及诸多方面; 它内涵丰富，几乎可涵盖非物理专业力学部分的全部教学范围.本文全面分析定滑轮运行涉及的力学原理，包括选取的体系不同动力学方程有不同的表现形式，或同一种表现形式适用不同体系时有不同的解释；着重讨论摩擦力矩是定滑轮的转动动力.为此选择与轮缘接触的任一无穷小绳元，其两端张力合力的法向分量产生绳元和轮缘间的摩擦力.所有绳元对轮缘的摩擦力矩的总和使轮子的角动量变化，而轮缘对绳元的摩擦力则与张力合力的切向分量平衡.静摩擦力起中介作用将定滑轮两边悬挂的重物和地球体系势能变化的一部分转化为轮子的转动动能.文章最后指出随着选取的体系不同重力既可理解为外力也可理解为内力，从而功能原理的具体表现也有所区别.

定滑轮；静摩擦力；功能原理

几乎所有的基础物理教科书都会提到定滑轮.在初中物理教材里是作为改变力的方向的简单机械；而在高校基础物理课里往往作为刚体动力学的典型应用实例[1-4].然而就大多数教材而言，鲜有对定滑轮运行过程中涉及的物理学原理作详细、充分讨论的.定滑轮又称阿特武德机.事实上，阿特武德机的运行涉及质点动力学、刚体绕定轴转动、静摩擦力、功能原理、机械能守恒等诸多方面，几乎可以涵盖非物理专业力学部分的全部教学范围，可谓简单机械蕴含着丰富的力学原理.本文即拟对此作较为详细的讨论.

1　同一动力学过程的不同解释

典型的阿特武德机的构成：一个轮轴固定、质量为M的滑轮，轮缘上跨接一根绳子，其两端分别连接质量各为m1和m2的两个物体，如图1所示.如m1>m2，则在轴承润滑良好的情形下滑轮将逆时针加速旋转，而m1和m2也将各自分别向下、向上加速运动.在略去轮轴摩擦力的前提下，通常列出如下3个动力学方程，即

m1g-T1=m1a

(1)

T2-m2g=m2a

(2)

(3)

图1　阿特武德机构成示意

以上3式中a为两物体加速度的大小;T1、T2为滑轮左、右两边绳子中的张力;R为轮半径;I和β分别为轮子的转动惯量和角加速度.显然以上3式即为两物体以及轮子的动力学方程；而且采用的是隔离法，即独立处理两物体m1、m2和轮子M的运动.式(1)与式(2)属质点动力学牛顿第二定律，而式(3)则为刚体绕定轴转动的动力学方程.关于式(3)，大多数教材的解释或隐含的解释是方程的左边是绳子的张力加在轮子上力矩的代数和，而右边则为轮子绕轮轴转动对轮轴角动量的变化率.其实，这一解释从原理上看并不妥当，因为张力T1和T2并不作用在轮子上而是作用在绳子上.因而T1R和T2R原则上都不是作用在轮子上的力矩，不能使轮子的角动量发生变化.然而式(3)无疑又是正确的，只是必须予以恰当地解释.如果将轮子和跨接其上的绳子(不包括两边的两个物体m1和m2)一起看作同一体系，则式(3)左端即为施加在该体系上的外力矩，应与体系角动量的变化率相等.由于通常作轻绳假设，绳子对转轴的角动量可略去，体系角动量的变化率就是轮子角动量的变化率，也就是如式(3)右边所示.

m1gR-m2gR=I β+Rm1a+Rm2a

(4)

图2　滑轮运转受力分析用图

图3　绳缘受力分解用图

(5)

2　轮、绳间的摩擦力不能忽略

由上面的分析可以看出，作为定滑轮的运行动力，轮缘和绳子间的摩擦力不能略去.有一些中学教学辅导书籍中常以略去这一摩擦力作为滑轮两边绳子中张力相等的理由，并不恰当.因为如将轮缘与绳子间的摩擦力略去，定滑轮便和一光滑的杆子无异，轮子不会转动.这说明滑轮绝不是滑在轮缘上.滑轮之所以叫滑轮是滑在轮轴的轴承处.当轴承的摩擦力矩可略去时，式(3)成立；否则式(3)左方还应加上轴承与轮轴间的摩擦力形成的阻力矩.这就是为什么轮轴常须润滑或采用滚珠轴承的原因.如果加上轮子质量很小因而也可略去这一近似，则在此两个前提下滑轮两边的张力相等.而且，值得注意的是，由于绳子与轮缘间并无相对滑动，摩擦力属静摩擦力，即绳元和轮子间的摩擦力数值应由绳元的力学平衡条件决定，而不应视为最大静摩擦力，即dN和摩擦系数的乘积.这和绞盘的情形不同.对绞盘通常针对绳子将要滑动的临界情形；因此摩擦力取为与正压力及摩擦系数的乘积相等.

3　功能转换

综上可见，定滑轮这一简单机械的运行包含多方面的物理内涵.相信高校基础物理教学如果在力学部分讲授完成之后，以此为典型例子组织学生讨论，一定会取得良好的教学效果.

[1]梁励芬， 蒋平.大学物理简明教程[M].3版. 上海： 复旦大学出版社，2011.

[2]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程 力学卷[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]吴百诗.大学物理(上)[M].西安：西安交通大学出版社，1994.

[4]Resnick R, Halliday D, Krane K S. Physics, Volume 1[M]. Fifth Edition. New York: John Wiley & Sons, INS., 2002: 192, Sample Problem 9-10.

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MECHANICAL PRINCIPLES OF FIXED PULLEY

Ji MinJiang Ping

(Department of Physics,Fudan University, Shanghai 200433)

Perhaps the fixed pulley, also known as Atwood’s machine, consisting of a disk that can rotate about a fixed axis with a string passing over it and two blocks connected to the two ends of the string, is the simplest machine. However its operation involves plenty of mechanical principles, including dynamics of mass point, rotation of rigid body about a fixed axis, dynamical significance of static friction, and the law of energy conservation. This paper comprehensively analyzes the mechanics principle relevant to the fixed pulley, including the different forms of dynamic equation in different selected system, and the different explanations of the same equation form used in different systems. Especially, we focus on the friction torque, which is the turning power of the fixed pulley. Analysis shows it is the friction between the string and the disk rim that causes the disk to rotate, transferring part of the potential energy change of the two blocks into the rotational kinetic energy of the disk. Meanwhile it is shown that the forces of gravity acting on the blocks can be considered either internal forces or external forces, depending on which objects are included in the system considered.

fixed pulley; static friction; energy conservation

2016-01-17

冀敏，女，副教授，主要从事物理教学与研究，科研方向为医学物理.jimin01@fudan.edu.cn

引文格式: 冀敏，蒋平. 定滑轮中的力学原理[J]. 物理与工程，2016，26(3)：9-11.