张丽



整式乘法和因式分解常见题型

张丽

整式乘法与因式分解是代数式的恒等变形，是中考基础知识的测试中必不可少的一部分内容.现以近年来部分中考题为例，就几种常见类型分别加以说明.

一、考查整式的运算能力

对于整式的乘法，中考中多以考查乘法公式的运用为主，常常与化简求值联系在一起.

例1先化简，再求值：

（x+2）2-（x+1）（x-1），其中x=1.

当x=1时，原式=4×1+5=9.

【点评】本题是整式的乘法与加减法的混合运算，计算时注意完全平方公式与平方差公式不要用错.

二、考查利用因式分解的结果求值

例2已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）·（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=_______.

则a=-7，b=-8，

∴a+3b=-7-24=-31.

故答案为-31.

【点评】本题需要首先提取公因式3x-7，再合并同类项即可得到a、b的值，进而可算出a+3b的值.本题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式.

例3多项式x2+mx+5因式分解得（x+ 5）（x+n），则m=_______，n=_______.

【点评】本题考查了同学们逆向思维的能力.应用多项式的乘法，通过比较各项的系数得出关于m、n的二元一次方程组，从而求出m、n的值.

三、换元法在因式分解中的应用

例4把（x2+7x-5）（x2+7x+3）-33分解因式.

解：注意到两个因式中都含有x2+7x.

方法一：可以设x2+7x=a，则：

方法二：也可以设x2+7x-1=a，则

【点评】在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，以便于观察出如何进行因式分解.

四、利用因式分解解决问题

例5老李师傅在制作零件时，要在半径为Rcm的圆形钢板上钻四个相同的半径为rcm的圆孔，老李师傅测量出R=7.8cm，r=1.1cm时，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积.（结果保留π）

【分析】剩余部分的面积，即为大圆的面积减4个小圆的面积.因为数字为小数，计算起来不方便.先因式分解，后计算，就简单多了.

解：根据题意，S=πR2-4πr2，

当R=7.8，r=1.1时，

答：剩余部分的面积为56πcm2.

例6小明制作了一个房子模型，如图1所示，要把其中的这一面墙涂上颜色（小正方形窗户除外），那么涂色的面积是多少？

图1

【分析】涂色的面积应该是三角形的面积加正方形的面积再减去小正方形的面积.可利用平方差公式对部分式子进行因式分解，从而简化计算.

答：涂色的面积是143.

【点评】如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式.

五、逆向思维在因式分解问题中的应用

例7 试说明257-512能被120整除.

【分析】因为25=52，所以可把257整理成5的幂的形式，再逆用同底数幂的乘法法则变成512·52-512，最后逆用分配律提取公因式，并整理为含有因数120的形式即可.

因此257-512能被120整除.

例8计算：（a+b+2c）2-（a+b-2c）2.

【分析】观察式子的整体结构，若逆用平方差公式，就可以使一些项消去，从而简化运算.

【点评】同学们如果能学会逆向思维解题，不仅可以减少运算量，优化解题过程，提高解题能力，而且能培养思维的灵活性和发散性，使掌握的数学知识得到有效迁移.

六、从图形角度看乘法公式

例9从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图2），然后拼成一个平行四边形（如图3）.那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）.

图2　图3

A.（a-b）2=a2-b2

B.（a+b）2=a2+2ab+b2

C.（a-b）2=a2-2ab+b2

D.（a+b）（a-b）=a2-b2

解：正方形中的阴影部分的面积可表示为a2-b2；而平行四边形的高为a-b.则平行四边形中的阴影部分的面积可表示为（a+b）·（a-b）.于是（a+b）（a-b）=a2-b2，故选D.

【点评】此类题的解题关键是抓住两个图形（这里是阴影部分）的面积相等，列出每一个图形有关面积计算的代数式即可.

例10将大小相同的4块长、宽分别为a、b（a＞b）的长方形纸片拼成如图4所示形状，从中你能发现（a+b）2与（a-b）2的关系吗？

解：大正方形边长为a+b，小正方形边长为a-b.

∴整体计算：大正方形面积为（a+b）2，局部计算：大正方形面积为（a-b）2+4ab.

∴（a+b）2=（a-b）2+4ab.

可变形为：（a+b）2-4ab=（a-b）2（a+b）2-（a-b）2=4ab.

图4

【点评】利用同一个图形面积的两种不同表示方法，抓其面积的不变特征，就可以得到相应的乘法公式.本题考查了同学们思维的多样性.

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）