张晓东



一种运算和一个手段——整式的乘法与因式分解概念解读

张晓东

本章的主要内容是整式的乘法运算（包括整式乘法的简便运算：乘法公式）、因式分解.整式乘法是整式的一种运算，因式分解是对整式进行处理的一种手段，这些运算及手段是以后学习分式和根式运算的基础.

一、整式的乘法

整式的乘法是在前面学习了整式加减运算后的另一种整式运算.前一章所学习的幂的运算性质：同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础.整式乘法具体内容包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式.

单项式与单项式相乘原则：结果还是单项式；方法：把单项式中能乘的进行乘法运算（把系数相乘，相同字母分别相乘），不能乘的照搬（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）.

单项式乘多项式根据数字计算中乘法分配律，将单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积（单项式）相加.实质是单项式与单项式乘法.

多项式与多项式相乘用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积（单项式）相加.其实质也是转化为单项式与单项式相乘.在没有合并同类项之前，所得多项式项数为各多项式项数之积.

二、乘法公式

乘法公式是多项式乘多项式的简便运算方法.当多项式乘多项式出现特殊形式时，运用乘法公式能迅速而简洁地进行一些整式相乘的运算.

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

公式的特征：平方差公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.平方差公式右边是两项平方差的形式.

完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

公式的特征：完全平方公式的左边是括号内两个式子和（差）的平方（完全平方），完全平方公式的右边是一个二次三项式，首尾是这两个式子平方和，中间是这两个式子积的2倍，符号和左边括号内一个样.

三、因式分解

分解因式是处理代数式的一种手段，不是目的.分解因式的思路和方法始终贯穿在数学变换中，通过分解因式将多项式合理变形，是求代数式的值的常用的解题方法，许多有关整式、分式以及二次根式的化简与计算都离不开分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的关系.因式分解是否正确可以用整式乘法去检查.同学们在学习时必须能够弄清两者的区别和联系.因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.

分解因式基本概念：

1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作把这个多项式分解因式.其是：多项式、整式、积.

2.因式分解和整式乘法是互逆的关系.整式乘法是积化和差；因式分解是和差化积.

因式分解的解题步骤与注意点：

1.看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；

2.再看能否使用公式法；

3.因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；

4.因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

因式分解的基本方法

1.提公因式法

概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫作提公因式法.例如：ab+ac=a（b+c）.

概念内涵：

（1）因式分解的最后结果应当是“积”，n项式=公因式×新的n项式；

（2）公因式可能是单项式，也可能是多项式；

方法：

（1）找多项式中的公因式方法：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的方法：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.

2.公式法

概念内涵：

（1）运用公式法分解因式的实质是：把乘法公式反过来使用.常用的公式：

①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）

（两项都是一个整式的平方，且两项是异号）

②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2、a2-2ab+b2=（a-b）2

（有三项，两个平方项符号相同，另一项是前两项幂的底数乘积的2倍，符号可正可负）

方法：

（1）把多项式写成为平方差及完全平方公式的形式；

（2）熟悉公式的结构特点，找出公式中a、b所代表的数和代数式；

（3）根据公式写出积的形式.

因式分解中需要注意的几个问题

2.要把整个多项式化为几个整式的积，而不是把部分化为积的形式.

如：a2-6a+9=a（a-6）+9这不是因式分解的答案，正确的应该是：a2-6a+9=（a-3）2.

3.多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为1，不能漏掉.

如：x2y+xy2-xy=xy（x+y）是错误的，括号内漏了-1这一项，正确的应该是：x2y+xy2-xy= xy（x+y-1）.

（作者单位：江苏省太仓市沙溪实验中学）