张艳楠　孙绍荣

摘 要：部分污染型企业因自身能力有限或治污成本过高，无法达到法定环保标准。某一区域中（如工业园区）污染型企业如在环保治污设备技术的改造与提升上有一致需求和合作可能，可形成治污联盟，进行环保治污设备的成本分摊。首先，文章运用合作博弈理论，通过分析环保设备技术选择问题，构建污染型企业形成治污联盟购买使用环保治污设备技术的成本分摊合作博弈模型，并把购买使用治污设备技术的成本、设备技术运营费用、处理未被治理污染物的排污费作为总费用研究。其次，分析治污联盟中成本分摊博弈的特性，证明核心非空与线性规划松弛对偶最优解之间的关系，同时通过证明该博弈模型为子模博弈，运用子模博弈的性质求解核心解、夏普利值等，并进行算例分析。结果表明污染型企业承担的排污费是可供选择的环保治污设备技术集合的单峰函数；各个污染型企业的满意度越高，满意度差值越小，治污联盟越稳定。最后，进一步分析有附加特殊治污需求的污染型企业设备技术选择博弈，结果表明随着治污联盟成员的增加，治污联盟更加倾向于加大投入设备技术，获得较高的治污效率及附加治污效率。

关键词：合作博弈；治污联盟；成本分摊；核心解

中图分类号：F253.9 文献标识码：A

Abstract： Some polluting enterprises not meeting the statutory environmental standards have become a great problem of government management because of limited ability or high pollution-control cost. Polluting enterprises in an area（such as industrial park）can develop a pollution-control alliance to allocate the cost of pollution-control equipment if common demand and possibility of cooperation are existed. First of all， game model of cost allocation on polluting enterprises purchasing pollution-control equipment is constructed through analyzing equipment-selection problem using cooperative game theory. Total cost including purchasing pollution-control equipment expense， operating cost and pollutant charge is studied as well. Moreover， character of cost allocation game model is discussed， covering relationship of core and optimal solution in dual relaxation of linear programming and also function relationship of pollutant charge and pollution-control equipment. At the same time， property of submodular game can be used to calculate core and Shapley value after the game model above proved to be submodular game. Then， relationship between satisfaction survey and stability is given to verify the conclusions， numerical example as well. In the end， equipment-section game with additional pollution-control request demonstrates the influence on demand of pollution-control equipment due to adding numbers in a alliance.

Key words： cooperative game； pollution-control alliance； cost allocation； core

0 引 言

21世纪以来，我国已经进入企业建立与发展的高峰期。其中一部分企业因自身性质的原因，其生产或运作过程中对外界环境产生一定的破坏作用。这类污染型企业产生的污染物危害群众健康，破坏自然资源和生态平衡。与此同时，污染型企业主要涉及国民经济发展的基础产业，关系国计民生，对国家经济和社会发展起着十分重要的作用。因此，随着国民经济的快速发展，该部分污染型企业的环境问题逐步凸现出来，污染型企业与环境的关系是否和谐逐渐成为人们关注的焦点。

政府部门针对污染型企业环保问题的管理机制设计与治理与企业的内外部环境有着密切的关系，不同的社会条件及其企业自身条件下具有不同的管理模式。目前，政府部门对污染型企业环保问题的管理主要集中在两个方面[1]。第一，对于尚未建设以及处于筹建中的污染型企业，对其立项制定了科学严格的标准，如进行环境影响评价、厂房及设备建设符合环保要求等。第二，对于已经建成并投入使用的、尤其是具有较长运作时间的污染型企业，及时合理全面地对其进行环境影响评价。针对存在环境问题及环保隐患的污染型企业，规定企业自身进行环保设备与治污技术的改造与提升，鼓励企业进行相关环保设备技术的研发，禁止企业非法排污。其中，政府部门针对第一种污染型企业制定的立项标准均建立在较为完善的科学化与合理化基础之上，因此政府部门对第一种污染型企业的管理相当于在企业建设初期对其污染问题进行全面严格的管控，具有较强的管理效力，能够及时规避负面效应。然而，第二种污染型企业因已投入生产运作，部分企业会考虑治污成本或因企业自身能力有限，无法达到政府部门规定的污染物达标排放的标准。因此，政府部门对于第二种污染型企业的管理逐渐成为对污染型企业管理的重点与难点。

在实际生产过程中，污染型企业多以某一具体行业或相关行业以一种较为集中形式的工业园区，其所产生的污染物种类相近，因而污染物在治理方式与处理方法上具有相同之处。因此，对于第二种污染型企业存在共同治理污染物的可能，即多个污染型企业形成治污联盟，共同建设、购买或使用环保设备与治污技术，并将环保治污设备的成本进行分摊，从而避免单一污染型企业单独治污成本过高或自身治污能力有限的弊端[2]，达到合理利用治污资源、减少治污成本、实现经济效益与社会效益的最大化的目标，确保污染型企业与社会、环境可持续协调发展。

张启平[3]（2014）对决策单元中的固定成本分摊问题进行研究，通过DEA纳什均衡讨价还价博弈理论建立了包括有效性和受益性的固定成本分摊模型。林健[4]（2014）讨论了基于模糊数偏好均值的求解Shapley值，解决了联盟中存在不同偏好信息的问题。杨翠兰[5]（2012）通过采用“并—串”联式结构，为合作博弈成本分摊问题提供了思路。艾兴政[6]（2010）通过构建链与链价格竞争模型，确定了纵向联盟的形成机制及收益分摊的选择范围，并重点研究了竞争、价格风险对收益分摊的影响。鲍新中[7]（2009）建立了第三方集成供应的成本分摊模型，同时针对难以对夏普利值进行赋值的问题，引入集成供应的批量模型。Lin[8]（2011）将分摊固定成本作为决策单元，对新投入要素进行有效性评价，通过DMU有效性不变性和帕累托最小性进行成本分摊，并对其应用的局限性给出了思路。Agarwal[9]（2010）运用逆向规划确定了联盟参与人之间的转移支付分配方式，并求取了具有较好稳定性的核心解。Drechsel[10]（2010）提出合作博弈的“列生成法”，提出了求逆向优化解的算法。Delberis[11]（2009）研究了总线系统的成本分摊问题，并指出总线系统在成本分摊中起到的重要作用。

本文运用合作博弈理论，通过分析环保设备技术选择问题，构建污染型企业购买使用环保治污设备技术的成本分摊合作博弈模型，并把购买使用治污设备技术的成本、设备技术运营费用与处理未被治理污染物的排污费作为总费用一同研究。通过分析成本分摊博弈的特性，求解核心解、夏普利值等，指出了满意度检验与联盟稳定性的关系。最后，对有附加治污需求的设备技术选择博弈进行了进一步的分析与讨论。

1 博弈问题的提出

在某一区域中（如工业园区），存在一定数量的污染型企业。在这些企业中，一部分污染型企业，在环保设备与治污技术的改造与提升上如有一致的需求和合作的可能，可以形成治污联盟，从而进行环保治污设备的成本分摊。

具体来说，对于能够形成治污联盟的所有污染型企业，首先每个企业均会因生产运作产生一定的污染物，并由此产生向外界排放在政府部门规定范围内的污染物所造成的排污费。其次，在该治污联盟中，形成了一定数量、不同类型的环保设备和治污技术，每个污染型企业可以选择具有不同使用费用、运营费用和治污效率的设备技术。值得说明的是，任何环保设备与治污技术都不能完全治理污染物，未被治理的污染物的排放需要缴纳一定的排污费。即治污水平越高的设备技术，其使用与运营的费用越高，但企业负担的排污费越少。所以，对于污染型企业来说，需要充分考虑包括购买使用与运营治污设备技术的成本与处理未被治理的污染物的排污费成本的总费用。因此，考虑对应于选择的环保治污设备技术，总的费用能够公平地或稳定地在所有污染型企业之间进行合理分摊，可以有效促使不同的污染型企业产生形成治污联盟的动机。这种多个污染型企业联合购买使用环保治污设备技术处理污染物，属于极小化环境治理的环保设备选择问题，成本分摊的目标即设计解决该问题的标准和方法。

1.1 符号定义

2 成本分摊博弈的特性

定理1 环保治污设备技术成本分摊博弈的核心求解等价于设备技术选择问题的线性规划松弛的对偶问题。当且仅当该选择问题的线性规划松弛没有整数间距时，原成本分摊博弈问题的核心非空。

因该环保治污设备技术成本分摊博弈特征函数c具有次加性，得式（5）的最优解是成本分摊博弈N，c的核心。又因对偶问题的约束强于式（5）的约束，则对偶问题的最优解亦为成本分摊博弈N，c的核心。由于cS为设备技术选择问题的最优解，当该选择问题的线性规划松弛没有整数间距时，原成本分摊博弈问题的核心非空。证毕。

3 环保治污设备技术成本分摊博弈解的讨论

关于合作博弈的解有多种形式，如稳定集、夏普利值、内核与核仁等。其中，核心是合作博弈众多解的形式中最为重要的概念。作为一种公平稳定的分配方案，该方案优于任何参与人的子集从全联盟中撤出构成新联盟的分配，即核心确保联盟无从全联盟中独自撤离的动机，保证了联盟的稳定。因此，核心表明核配置同时符合集体理性与个体理性[12]。

定义污染型企业购买使用环保治污设备技术成本z分摊合作博弈问题的核心如下：

合作博弈的核心分为空和非空两种情况。当核心为空时，核仁存在，且是唯一值。当核心为非空时，该合作博弈为平衡博弈，核仁位于核心里，而夏普利值虽不一定在核心里，却是一个唯一值。下面主要分析博弈问题核心解是否非空及其核心解的求取，以及讨论满意度检验与治污联盟稳定性的关系。

3.1 核心解非空

对于合作博弈来说，核心解的求取与博弈中参与人的总数N有关，即该求解过程需要同时考虑1个等式和2n-1个不等式。因此，当N的数目不确定或当N较大时，合作博弈核心解的获取过程也会变得较为复杂。

在合作博弈中，有一种特殊的博弈类型——子模博弈。对所有的w∈N和S，T？奂N，有S？奂T？奂N-w，若cS∪w-cS≥cT∪w-cT成立，则博弈被称为子模博弈。子模博弈具有很好的特性[13]，如博弈的核心是唯一的稳定集，且与讨价还价集重合；核心非空且是其边际向量的凸组合；夏普利值在核内且是核心的重心；核仁存在于核心中，内核和核仁重合等。因此，如果能够证明环保治污设备技术成本分摊博弈是子模博弈，则可以确定核心非空，且可以通过求取边际向量的凸组合、夏普利值等间接得到核心。

定理3 环保治污设备技术成本分摊博弈N，c是子模博弈。