张　翔

(1.贵州大学 数学学院，贵州 贵阳　550025；2.贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳　550014)



受限的广义Sylvester矩阵方程的相容性和通解

张翔1，2

(1.贵州大学 数学学院，贵州 贵阳550025；2.贵州师范大学 数学与计算机科学学院，贵州 贵阳550014)

摘要：通过研究一个受限于FZ=G的广义Sylvester矩阵方程组AiXi+YiBi+CiZDi=Ei,其中矩阵Ai,Bi,Ci,Di,Ei,(i=1,2)和F，G是给定矩阵， Xi，Yi，Z为未知矩阵。 用Moore-Penrose逆给出了以上方程组相容的充分必要条件以及通解表达式，并且推广了一些已发表的结果。

关键词：矩阵方程；通解；Moore-Penrose逆

1引言

系统与控制论中的许多问题最后都划归成Sylvester方程的求解问题。在实际中，Sylvester矩阵方程有很多应用，例如在反馈控制[1-4], 鲁棒控制[5]，极点/特征结构配置设计[6]，神经网络[7]等等。

Roth[8]给出了广义Sylvester矩阵方程:

A1X+YB1=C1

(1)

相容的一个充分必要条件。Bakasalary和Kala[9]用广义逆给出了广义Sylvester矩阵方程(1)的通解表达式。最近几年，国内外一些学者研究了广义混合Sylvester矩阵方程组。Lee和Vu[10]研究了如下广义混合Sylvester矩阵方程组的相容性

(2)

其中Ai，Bi和Ci是给定的矩阵。他们给出了广义混合Sylvester矩阵方程组(2)相容的充分必要条件。王卿文教授和何卓衡博士[11]给出了广义混合Sylvester矩阵方程组(2)相容的可计算的充分必要条件，以及通解表达式。本文主要研究了一个受限的广义Sylvester矩阵方程

(3)

其中Ai，Bi，Ci，Di，Ei(i=1,2)和F，G是给定矩阵，Xi，Yi，Z是未知矩阵。注意到方程组(1)和(2)都可以看成是矩阵方程组(3)的特殊情况。我们在第二节中，用Moore-Penrose逆给出受限的广义Sylvester矩阵方程(3)相容的充分必要条件，以及通解表达式。

2受限的广义Sylvester矩阵方程(3)的相容性及其通解

在这一节中，我们用系数矩阵的Moore-Penrose逆给出受限的广义Sylvester矩阵方程(3)相容的充分必要条件，以及通解表达式。我们需要用到以下引理。

引理1[12]给定矩阵F和G。则矩阵方程FZ=G相容的充分必要条件是

RFG=0。

在可解的情况下，矩阵方程FZ=G的通解可表示为：

引理2[13,14]给定矩阵A1∈m×n1，B1∈p1×q，C3∈m×n2，D3∈p2×q，C4∈m×n3,D4∈p3×q和E1∈p×q。令

A=RA1C3，B=D3LB1，C=RA1C4，D=D4LB1，

E=RA1E1LB1，M=RAC，N=DLB，S=CLM。

则矩阵方程

A1X1+X2B1+C3X3D3+C4X4D4=E1

(4)

相容当且仅当

RMRAE=0，ELBLN=0，RAELD=0，RCELB=0。

(5)

在可解的情况下，矩阵方程(4)的解可表示为：

其中V1，V2，V3，V4，V5，W1，W2，W3是上任意适合维数的矩阵。

现在我们给出本文的主要定理。

定理1给定矩阵Ai，Bi，Ci，Di，Ei(i=1,2) 和F，G。令

C=RA2C2LF，D=B4LB2，E=RA2C4LB2，M=RAC，N=DLB，S=CLM。

则受限的广义Sylvester矩阵方程(3)相容当且仅当

RFG=0，RA3C3=0，C3LB3=0，RMRAE=0，ELBLN=0，RAELD=0。

在可解条件下, 受限的广义Sylvester矩阵方程(3)的通解可表达为：

(6)

(7)

其中

(8)

(9)

矩阵W1，…，W11是上任意适合维数的矩阵。

证明我们把受限的广义Sylvester矩阵方程(3)分成3部分

FZ=G，

(10)

A1X1+Y1B1+C1ZD1=E1，

(11)

和

A2X2+Y2B2+C2ZD2=E2。

(12)

引理1可得矩阵方程(10)相容当且仅当RFG=0。在可解条件下，矩阵方程(10)的解可表示为：

(13)

其中矩阵T是上任意适合维数的矩阵。将 (13) 代入矩阵方程(11)可得：

(14)

从引理2可得矩阵方程(14)相容当且仅当

RA3C3=0，C3LB3=0。

在可解条件下，矩阵方程(14)的通解可表示为：

(15)

其中W1，W2，W3，U和V是上任意适合维数的矩阵。将(13)和(15)代入(12)可得

A2X2+Y2B2+A4UD2+C2LFVB4=C4。

(16)

所以受限的广义Sylvester矩阵方程(3)相容当且仅当(10)，(14)和(16)分别相容。 从引理2可得矩阵方程(16)相容当且仅当

RMRAE=0，ELBLN=0，RAELN=0，RCELB=0。

我们从引理2可得矩阵方程(16)的通解可表示为(6)-(9)。

在定理1中，令F，G和Bi为零矩阵，Ci=I，我们可以得到广义混合Sylvester矩阵方程组(2)相容的充分必要条件以及通解表达式。

推论1[11]给定矩阵Ai，Bi和Ci(i=1,2)。令

则广义混合Sylvester矩阵方程组(2)相容当且仅当

RA1C1LB1=0，RBD=0，DLC=0。

在相容的条件下，广义混合Sylvester矩阵方程组(2)的通解可表示为：

矩阵W1，…，W6是上任意适合维数的矩阵。

在定理1中，令F，G和Ai，Bi为零矩阵，我们可以得到如下经典矩阵方程组相容的充分必要条件以及通解表达式：

(17)

注意到Özgiiler[15]，王卿文[16]，vanderWoude[17]研究了经典矩阵方程组(17)。

推论2给定矩阵Ci，Di和Ei(i=1,2)。令

则矩阵方程组(17)相容当且仅当

RCiEi=0，EiLDi=0，RACLB=0。

在相容条件下，矩阵方程组(17)的通解可表示为：

矩阵W1，…，W5是上任意适合维数的矩阵。

参考文献：

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文章编号：1004—5570(2016)01-0037-03

收稿日期：2015-09-09

基金项目：国家自然科学基金[11401125];贵州师范大学博士点基金

作者简介：张翔(1974-)，女，教授，博士，研究方向：矩阵代数，E-mail: zxjnsc@163.com.

中图分类号：O151.21;O151.26

文献标识码：A

The consistence and solutions to the subjected generalized Sylvester matrix equations

ZHANG Xiang1,2

(1.College of mathematics, Guizhou University, Guiyang, Guizhou 550025, China; 2.School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang,Guizhou, 550014, China)

Abstract:In this paper, we derive some necessary and sufficient conditions for the solvability to the system of generalized Sylvester matrix equations AiXi+YiBi+CiZDi=Ei,where Z is subject to FZ=G.We give an expression of the general solution to the above mentioned system by Moore-Penrose inverse. Furthermore, we generalize some known published results.

Key words:system of matrix equation; general solution; Moore-Penrose inverse