吴明珠　李兴民

1(广州商学院计算机系　广东 广州 511363)2(华南师范大学计算机学院　广东 广州 510631)



基于离散八元数余弦变换的彩色图像水印算法

吴明珠1李兴民2

1(广州商学院计算机系广东 广州 511363)2(华南师范大学计算机学院广东 广州 510631)

摘要定义离散八元数余弦变换及其逆变换公式，并将其应用于彩色图像的数字水印中。首先，为了提高水印的安全性，利用Arnold变换分别对彩色水印图像的RGBHIS六个分量进行置乱，然后将彩色载体图像的RGBHIS六个分量整体进行离散八元数余弦变换，对置乱后的水印图像分组并分别嵌入到载体图像的各个中频系数中，最后借助离散八元数余弦逆变换公式得到含水印的图像。实验表明，该方法不仅具有较强的抗压缩能力，对噪声、缩放、滤波等攻击处理也具有较好的鲁棒性和不可见性。

关键词八元数离散八元数余弦变换逆变换彩色图像水印鲁棒性

0引言

随着互联网和多媒体技术的迅速发展，数字化产品的版权保护和信息安全问题越来越得到人们的关注。而数字水印技术则成为解决这些问题的有效手段[1]，同时也成为国内外科研人员的研究热点[2,3]。数字水印技术主要分为空域和频域两个方面，然而空域水印算法因为普遍存在嵌入容量有限，对压缩、缩放等各类攻击的鲁棒性不强[4]，所以频域水印算法的应用相对比较广泛。目前常用的变换域有离散余弦变换DCT，离散小波变换DWT，离散傅里叶变换DFT等，这些算法采用的彩色模型主要有RGB模型、HIS模型、YCbCr模型、YIQ模型等[5-9]。但是它们都是将各个分量独立地进行水印嵌入，运行效率较低。随着S.J.Sangwine等人首次将四元数理论引入到数字水印领域[10]，对彩色图像进行多通道整体处理，不仅提高了算法的运算效率而且保留了彩色图像各个通道间的关系，算法的鲁棒性也得到很大提高[11]。之后，很多国内外研究者都将四元数理论结合各种变换提出一些新的水印算法[12-19]。Bas P等人把四元数与傅里叶变换结合，把水印嵌入到四元数傅里叶变换的平行分量中[12]，不过水印图像失真较大。盖琦等人首次将离散四元数余弦变换[13]引入到彩色图像的水印技术中[14]，把彩色图像3个分量用四元数进行整体描述，具有较好的鲁棒性。江淑红等人首次提出超复数傅里叶变换的彩色图像水印算法[15,16]，将彩色图像作为一个矢量整体进行描述，在一定程度上改进了灰度的水印图像的不可见性，然而彩色水印图像未做研究。Ce LI等人将混沌理论和四元数傅里叶变换相结合[17]，把水印信息嵌入到图像的相位中。王向阳等人基于机器学习的思想，提出了新的彩色图像盲水印算法[18]，把最小二乘向量机与四元数傅里叶变换相结合。冯银波等人基于四元数离散傅里叶变换和四元数离散余弦变换提出一种双重零水印算法[19]。

然而上述算法最多只能够在三维空间上把彩色图像作为一个矢量进行整体处理。如果在高于四维的情况下，四元数滤波器必然失效，因此使用高维的数学理论来处理高维数据进行水印嵌入则成为必要。而新近发展起来的八元数理论恰好为我们提供了一个新的数学工具[20-22]，使高维的数字水印技术成为可能。

本文提出了一种新的高维彩色图像水印算法，首先定义了离散八元数余弦变换DOCT及其逆变换公式，并将其作为工具，对彩色载体图像进行DOCT，然后将预处理后的彩色水印图像嵌入到载体图像的指定频域系数中，从而实现了彩色图像的数字水印技术。

1离散八元数余弦变换(DOCT)

本节基于八元数理论将彩色图像的六个分量R、G、B、H、S、I进行八元数表示，然后建立DOCT公式及其逆变换公式，为后面数字水印算法的实现奠定理论基础。

1.1彩色图像八元数表示

1844年-1845年英国的J.I.Graves和A.Cayley发明了八元数O，它是一种非交换、非结合的八维代数[20]。

首先定义八维向量空间的坐标轴e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7，再定义此空间上的向量函数，记作f，而用彩色图像各像素对应的R、G、B、H、S、I六个分量值作为f的虚部e2,e3,e4,e5,e6,e7上对应的数值，虚部e0,e1的数值为0。设彩色图像f(x,y)的大小为X×Y，其中x和y指示像素在矩阵中行和列的位置，x∈[0,X-1],y∈[0,Y-1]，则彩色图像f(x,y)的八元数表示如下：

f(x,y)=fr1(x,y)e0+fr2(x,y)e1+fi(x,y)e2+fj(x,y)e3+

fk(x,y)e4+fH(x,y)e5+fS(x,y)e6+fI(x,y)e7

(1)

其中fr1(x,y)和fr2(x,y)的值为0，fi,j,k,H,S,I(x,y)分别为彩色图像中各个像素点的R、G、B、H、S、I分量的灰度值。

1.2离散八元数余弦变换及其逆变换

参照文献[14]中的离散四元数余弦变换(DQCT)公式，f(x,y)对应的DOCT公式可定义如下：

(2)

其中:

(3)

同时将离散四元数余弦逆变换(记作IDQCT)的公式扩展到离散八元数余弦逆变换(记作IDOCT)中，所以f(x,y)对应的IDOCT公式定义如下：

(4)

其中f(x,y)为空间域，C(p,s)为频率域，C(p,s)也是八元数，可表示如下：

C(p,s)=Cr(p,s)e0+Cl(p,s)e1+Ci(p,s)e2+Cj(p,s)e3+

Ck(p,s)e4+CH(p,s)e5+CS(p,s)e6+CI(p,s)e7

(5)

式中，C(p,s)用来表示彩色图像的DOCT域对应的频谱，Cr,l,i,j,k,H,S,I(p,s)则分别表示分布在八元数空间中的彩色图像六个分量的频谱。

1.3 公式的验证

由式(1)可以看出彩色图像f(x,y)没有实部，有6个虚部，但是式(5)中的C(p,s)则包含了8个部分，为了确保水印嵌入之后的图像也只有6个虚部，还是可以使用R、G、B、H、S、I六个分量来表示和传输，则必须要使得C(p,s)经过八元数离散余弦逆变换之后的得到的八元数也是没有实部。否则图像会产生失真，所以我们将计算C(p,s)所对应的逆变换，记作 f′(x,y)并对其进行验证。

根据式(4)我们计算出f′(x,y)的各分量表达式如式(6)所示：

由式(6)可以得出两个实部逆变换的表达式如式(7)所示：

(7)

而式(7)中的C(p,s)各个分量可以由式(2)计算得到，如式(8)所示：

(8)

(9)

2基于DOCT的彩色图像水印算法

文献[14]应用四元数理论在多维空间中把彩色图像像素作为一个矢量整体进行描述，体现了图像的色彩关联，但是它只考虑了三个分量之间的关系。因为RGB模型和HIS模型是用不同的技术来描述彩色图像的，所以如果我们将R、G、B、H、S、I这六个分量作为一个矢量整体来进行处理，则更能体现图像的内部关联性。因此我们基于高维数学工具八元数提出了一个新的基于DOCT的彩色图像水印算法。算法的具体实现如下。

2.1水印嵌入过程

将水印信息嵌入到Cr(p,s)和Cl(p,s)中来改变两者的值，尽管嵌入过程只是在频率域所对应图像频谱的实部中进行，然而从空间域的角度来看，水印信息则是嵌入到了图像的R、G、B、H、S、I六个分量中。这样的嵌入技术，不但把原图像因为水印图像的嵌入而产生的误差扩散到了整个图像中，从而肉眼很难分辨出原始图像与含水印图像之间的区别，提高了水印算法的不可感知性。同时这种误差还被分散到了图像的R、G、B、H、S、I六个分量里面，那么对图像进行各类攻击，嵌入到图像中的水印被破坏的程度也自然被分散到了各个分量，那么提取出来的水印与原始水印的相似程度相对较高，从而算法的鲁棒性得到了加强。水印嵌入过程的算法流程图如图1所示。

图1　水印嵌入算法流程图

具体实现步骤如下：

(1) 彩色水印图像w(x,y)分为R、G、B、H、S、I六个分量，并利用Arnold变换[22]分别对它们进行置乱，之后再用函数norm()分别计算六个分量的能量值。

(2) 彩色载体图像f(x,y)分为R、G、B、H、S、I六个分量。

(3) 将f(x,y)的六个分量分别分成N块，大小均为8×8，每块都可以用一个八元数矩阵f(e)(x,y) (e=1,2,…,N)来表示。

(4) 利用选定的参数u算出六个分量所对应的DOCT，并用C(e)(p,s)表示，再提取它们的实部系数Cr(e)(p,s)和Cl(e)(p,s)，其他系数Ci,j,k,H,S,I(e)(p,s)不变。

(5) 将置乱后的水印图像w(x,y)的六个分量分组，其中R、G、B三个分量分别嵌入到各个Cr(e)(p,s)的中频系数中，而H、S、I三个分量则分别嵌入到Cl(e)(p,s)的中频系数中，嵌入之后的系数记为Cr(e)’(p,s)和Cl(e)’(p,s)。具体嵌入公式如下：

(10)

其中，α是嵌入强度，值取为步骤1所计算得到的各个分量的能量值。

(6) 计算之后的新系数Cr(e)′(p,s)和Cl(e)′(p,s)与原来的Ci,j,k,H,S,I(e)(p,s)合成得到C(e)′(p,s)，再将其进行IDOCT，得出f(e)′(x,y)。

(7) 最后组合所有的f(e)′(x,y)，从而得出含水印图像f′(x,y)。

2.2水印提取过程

水印提取过程的算法流程如图2所示。

图2　水印提取算法流程图

具体实现步骤如下：

(1) 嵌入水印之后的图像f′(x,y)分为六个分量，将它们都分成大小为8×8的N块，分别记作f1(e)′(x,y)(e=1,2,…,N)。

(2) 载体图像f(x,y)同样分为六个分量，将它们都分成大小为8×8的N块，分别记为f2(e)′(x,y)(e=1,2,…,N)。

(3) 对每一个f1(e)′(x,y) 和f2(e)′(x,y) 分别计算所对应的DOCT，记作C1(e)′(p,s)和C2(e)′(p,s)。

(4) 利用Cr1(e)′(p,s)和Cr2(e)′(p,s)计算出水印嵌入的位置，从而实现水印的提取。具体的计算公式如下：

(11)

(5) 将提取出来的水印信息的六个分量在分别进行反置乱，然后进行融合即得到提取出来的水印图像。

3实验结果与分析

为了检测本算法对图像嵌入水印的不可感知性，使用了峰值信噪比PSNR(Peak Signal-to-Noise Ratio)来进行度量。同时为了计算提取出来的水印与原始水印的相似程度，文中采用了归一化相关NC(Normalized Correlation)系数[19]。

本算法在MATLAB7.1、Windows XP平台上实现的。所使用的载体图像大小为512×512的图像。如图3(a)、(b)所示(Lena图像和Peppers图像)。原始水印图像大小为64×64的图像。如图3(c)所示。

图3　彩色载体图像与水印图像

3.1透明性测试

将本文所提出的基于DOCT的图像水印算法应用于图3的样例中，得到含水印的图像Lena如图4(a)所示和提取出的水印图像如图4(b)所示。含水印的图像Peppers如图5(a)所示和提取出的水印图像如图5(b)所示。

图4　含水印图像Lena与提取出的水印图像

图5　含水印图像Peppers与提取出的水印图像

从图4(a)、图5(a) 的结果可以看出，含水印的两幅图像很难感知到水印的存在。从图4(b)、图5(b) 与图3(c)的对比结果可以看出，原始水印与提取出来的水印很相似。计算两幅图像使用该算法相应的PSNR与NC，其值分别为Lena图像相应的PSNR=46.035，NC=1。Peppers图像相应的PSNR=45.768，NC=0.9998。

3.2鲁棒性测试

为了检测本文提出的算法的鲁棒性，本节通过对嵌入水印的2幅彩色图像图4(a)、图5(a)分别进行放大一倍、添加椒盐 噪声(系数为0.001)、高斯滤波(系数为0.0005)、剪切1/4、 80%JPEG压缩、旋转10度各种不同类型的攻击实验。攻击之后所提取出来的水印分别如图6和图7 所示。

图6　含水印图像Lena经各种攻击之后提取出的水印

图7　含水印图像Peppers经各种攻击之后提取出的水印

同时使用文献[14]提出的算法做相同的攻击实验。通过分别计算这两种算法的PSNR与NC值来进行比较，比较结果见表1所示。

表1　两种不同算法在不同攻击下的PSNR和NC值比较

由表1中的结果可以看出相对于文献[14]的算法，本文的算法对缩放、噪声、滤波、剪切、压缩以及旋转都具有较好的不可见性和鲁棒性。

4结语

本文在RGB模型的基础上考虑了HIS模型，首次提出了基于离散八元数余弦变换的彩色图像水印技术，通过对彩色载体图像进行离散八元数余弦变换来实现彩色水印图像的嵌入，并且对缩放、噪声、滤波、剪切、压缩、旋转等各类攻击都具有较好的不可感知性和鲁棒性。当然本算法在水印的提取过程中仍然需要载体图像，所以下一步我们将研究如何在提取过程中不需要原始载体图像，同时在彩色图像中考虑嵌入多个水印图像来实现版权和防篡改双重保护。

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收稿日期：2015-05-04。国家高技术研究发展计划项目(2012 AA021105);国家自然科学青年基金项目(61402185);广东省育苗工程项目(2013LYM_0118)。吴明珠，讲师，主研领域：数字图像处理。李兴民，教授。

中图分类号TP391

文献标识码A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.07.066

COLOUR IMAGE WATERMARKING ALGORITHM BASED ON DISCRETE OCTONION COSINE TRANSFORM

Wu Mingzhu1Li Xingmin2

1(DepartmentofComputer,GuangzhouCollegeofCommerce,Guangzhou,511363,Guangdong,China)n2(SchoolofComputer,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou,510631,Guangdong,China)

AbstractIn this paper we define the formulas of discrete octonion cosine transform and its inverse transform,and apply them in digital watermarking of colour image.First,in order to improve the security of watermark,we use Arnold transform to scramble six components of RGBHIS of colour image with watermarks.Then we exert the discrete octonion cosine transform on six components of RGBHIS of colour carrier image in whole.The scrambled watermark images are grouped afterwards and embedded into the intermediate frequency coefficients of carrier image separately.Finally by means of inverse discrete octonion cosine transform we obtain the image with watermarks.It is indicated by experiments that this algorithm has strong compression resistance capability and has better robustness and invisibility to various kinds of attacks such as noise,scaling and filtering.

KeywordsOctonionDiscrete octonion cosine transformInverse transformColour image watermarkingRobustness