付瑞琴，杨 海，裴元太

(1．西安石油大学理学院，陕西西安710065; 2．西安工程大学理学院，陕西西安710048)

关于指数Diophantine方程ax+by=z2的一个注记

付瑞琴1，杨 海2*，裴元太2

(1．西安石油大学理学院，陕西西安710065; 2．西安工程大学理学院，陕西西安710048)

设a和b是大于1的互素的正奇数．当(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)时，方程ax+by=z2无正整数解(x，y，z)．运用初等数论方法证明了以下一般性的结果:如果a是适合a≡±3(mod 8)的奇素数，b有约数d可使(a/d)=－1，其中(a/d)是Jacobi符号，则该方程仅有正整数解(a，b，x，y，z)=(11，3，4，5，122)．

指数Diophantine方程;二次剩余;Jacobi符号

1 主要结论

丢番图方程形式的多样性和求解原则的复杂性决定了丢番图方程的研究没有统一的方法．杨仕椿［1］借助Beukers的一些丢番图逼近的深刻结果和初等数论方法，讨论了一类广义Ramanujan－Nagell丢番图方程在特殊条件下的一些非例外情形，给出了一些有意义的结论．

设Z、N分别表示全体整数和正整数的集合．设a和b是大于1的互素的正奇数，文献［2－5］证明了:当(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)或(5，63)时，方程

无正整数解(x，y，z)．该方程属于指数丢番图方程，近年来有关指数丢番图方程的研究已得到了很多有意义的结果(参见文献［6－13］)．对于方程(1)本文应用初等数论方法证明了以下一般性的结果:

定理1 如果a是适合a≡±3(mod 8)的奇素数，b有约数d可使

这里(*/*)是Jacobi符号，则方程(1)仅有正整数解

显然，数组(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)和(5，63)都满足本文定理1的条件，所以文献［2－5］的结果都是本文定理1的推论．

2 若干引理

引理1 如果正奇数a和d满足(2)式，则d＞1且d必有奇素因数q可使

证明 因为(a/1)=1，所以a和d满足(2)式时必有d＞1．将d表示成奇素数q1，q2，…，qk的乘积，即

根据文献［14］的第3．6节，由(2)式可得

由于(a/qi)=±1(i=1，2，…，k)，故由(5)式可知必有qj(1≤j≤k)可使(a/qj)=－1，因为qj是d的奇素因数，所以取q=qj即得(4)式．引理1得证．

引理2 设p是奇素数，X和Y是适合X＞Y以及gcd(X，Y)=1的正整数;又设

如果X≡Y(mod p)，则d=p且p‖Xp－1+Xp－2Y+…+Yp－1;否则d=1．

证明 参阅文献［15］．

引理3 设n是大于3的正整数．方程

仅有解(n，X，Y，Z)=(5，3，－1，11)．

证明 参阅文献［16］的定理1．1．

3 定理1的证明

设(x，y，z)是方程(1)的一组解．因为a和b都是奇数，所以由(1)式可知

如果x是奇数，则因gcd(a，b)=1，并且由(1)式可知z2≡ax(mod b)，所以同余式

有解．又由(7)式可知，对于b的任何约数d，同余式

都有解．因此，根据Jacobi符号的定义(参见文献［14］的3．6)，由(8)式可知:对于b的任何约数d都有(a/ d)=1，与题设条件(2)矛盾．由此可知在本定理的题设条件下，方程(1)的解(x，y，z)必定满足

因为gcd(a，b)=1且2ab，所以由(1)、(6)和(9)式可知

由(10)式可得

又由(11)式可得

和

如果2|y，则由(1)、(6)和(9)式可得

这一矛盾，故必有

又因y＞1，所以由(15)式可知y必有奇素因数p，故有

将(16)式代入(13)式可得

由于a是奇素数，fr－gr是偶数，所以根据引理2，由(17)式可得

或者

当(18)式成立时，因为f＞g≥1，故有

这一矛盾．

当(19)式成立时，因为

且f－g≥2，所以由(19)式中第二等式可知

由(16)、(18)和(21)式可得

设d是b满足(2)式的约数．根据引理1可知此时d必有奇素因数q满足(4)式．由于q也是b的奇素因数，又由(11)式可知b=fg，故必有q|f或q|g．因为f和g在(22)式中是对称的，所以不妨假定

由(22)和(23)式可得

由于由(15)式可知y－1是偶数，所以当x/2是奇数时，由(24)式可知

与(4)式矛盾．由此可知x/2必为偶数，即

由(21)、(22)和(26)式可得

当y=3时，由(21)和(27)式可知

又由(28)式可知方程

有解

对于正整数k，设

因为(u，v)=(2，1)是方程(29)的最小解，所以根据文献［14］的定理10．9．1和10．9．2，由(31)式可知(u，v) =(uk，vk)(k=1，2，…)是方程(29)的全部解．

由于2a，故由(30)和(31)式可得

此时，由(31)和(32)式可知

因为由(34)式可知(2/a)=1，故由文献［14］的定理3．6．3可知a≡±1(mod 8)，与题设a≡±3(mod 8)矛盾．由此可知y≠3，故有

因为由(15)和(27)式可知所以根据引理3，由(35)和(36)式可得

因此，由(11)、(12)和(37)式可知:在题设条件下，方程(1)仅有解(3)．定理得证．

致谢 西安石油大学博士科研项目(2015BS06)对本文给予了资助，谨致谢意．

［1］杨仕椿．关于丢番图方程x2－D=2n的一些非例外情况的解［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2004，27(4):373－377．

［2］SROYSANG B．On the Diophantine equation 3x+5y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2012，81(4):605－608．

［3］SROYSANG B．More on the Diophantine equation 3x+85y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(1):131－134．

［4］SROYSANG B．On the Diophantine equation 5x+43y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(4):537－540．

［5］SROYSANG B．On the Diophantine equation 5x+63y=z2［J］．Int J Pure Appl Math，2014，91(4):541－544．

［6］LE M H．Some exponential diophantine equation I:the equation D1x2－D2y2=λkz［J］．J Number Theory，1995，55(2):209－221．

［7］LE M H．Exponential solutions of the exponential diophantine equation(x3－1)/(x－1)=(yn－1)/(y－1)［J］．J Reine Angew Math，2002，543:187－192．

［8］胡永忠，袁平之．指数丢番图方程ax+by=cz［J］．数学学报，2005，48(6):1175－1178．

［9］BUGEAUD Y，MIGNOTTE M，SIKSEK S．Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations I．Fibonacci and Lucas perfect powers［J］．Ann Math，2006，163(3):969－1018．

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［12］YANG H，FU R Q．An upper bound for least solutions of the exponential Diophantine equation D1x2+D2y2=λkz［J］．Int J Number Theory，2015，11(4):1107－1114．

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［14］华罗庚．数论导引［M］．北京:科学出版社，1979．

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A Note on the Exponential Diophantine Equation ax+by=z2

FU Ruiqin1，YANG Hai2，PEI Yuantai2

(1．School of Science，Xi’an Shiyou University，Xi’an 710065，Shaanxi; 2．School of Science，Xi’an Polytechnic University，Xi’an 710048，Shaanxi)

Let a and b be odd positive integers such that min{a，b}＞1 and gcd(a，b)=1．Recently，B．Sroysang proved that if(a，b)=(3，5)，(3，85)，(5，43)or(5，63)，then the equation ax+by=z2has no positive integer solutions(x，y，z)．In this paper，using elementary number theory methods，we prove that if a is an odd prime with a≡ ±3(mod 8)，b has a divisor d with(a/d)=－1，where(a/d)is the Jacobi symbol，then the equation has only the solution(a，b，x，y，z)=(11，3，4，5，122)．

exponential diophantine equation;quadratic residue;Jacobi symbol

O156．7

A

1001－8395(2016)04－0528－03

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．012

(编辑 陶志宁)

2016－01－19

国家自然科学基金(11226038和11371012)和陕西省教育厅科研计划项目(14JK1311)

*通信作者简介:杨 海(1979—)，男，副教授，主要从事数论及其应用的研究，E－mail:xpuyhai@163．com．

2010 MSC:11D61