薛益民，苏 莹

(徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州221111)

时标上一类p－Laplacian哈密顿系统周期解的存在性

薛益民，苏 莹

(徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州221111)

研究形式如下的时标T上非自治的p－Laplacian哈密顿系统的周期边值问题，运用鞍点定理，得到该哈密顿系统周期解的存在性定理．作为主要结论的应用，给出了一个例子验证所得结果．

时标;p－Laplacian哈密顿系统;周期解;鞍点定理

注［1－5］．受文献［4－6］的启发，本文主要研究了形

式如下的时标T上非自治的p－Laplacian哈密顿

系统周期边值问题

其中

且满足如下假设．

(H0)对任意的x∈Rn，F(t，x)关于t可测，对于△－a．e．t∈［0，T］T，F(t，x)关于x连续可微，且对x∈Rn和△－a．e．t∈［0，T］T，存在a∈C(R+，R+)，b∈L1(［0，T］T，R+)满足

运用鞍点定理［7］，得到了至少一个周期解的存在性定理，推广了文献［6］的相关结果．作为主要结论的应用，给出了一个例子验证了所得结果．

1 相关定义和引理

为了研究问题的需要，下面给出时标上的一些相关的基本定义，更详尽的内容可参考文献［6，8－16］．

定义1 设f(t)=(f1(t)，f2(t)，…，fN(t)):T→RN，t∈T，若

存在，则称f△(t)为f在t点的△－(或Hilger)导数．若对于所有的t∈T，f△(t)存在，则称f在T上△－(或Hilger)可微，称f△(t):Tk→RN为f在Tk上△－导数．

定义2 若f△在Tk2=(Tk)k上可微，且f△2=(f△)△:Tk→RN，

则函数f(t):T→RN的二阶导数记为f△2．

定义3 若函数f:T→RN在T每个右稠点连续，且在T左稠点极限(有限)存在，则称f是rd－连续的．

定义4 假设f(t)=(f1(t)，f2(t)，…，fN(t)): T→RN，A是一△－可测的T的子集，则f在A上可积当且仅当fi(i=1，2，…，N)在A上可积，且

定义 5 对函数 f(t)=(f1(t)，f2(t)，…，fN(t)):［a，b］T→RN，若对，存在δ＞0，使得当是［a，b］T上任意一族互不相交的子区间，且其总长时，恒有

成立，则称f在［a，b］T上绝对连续或全连续．

绝对连续函数有如下性质［6］:若f，g:［a，b］T→RN为绝对连续函数，则fg在［a，b］T上绝对连续，且有下式成立

设p∈R，p≥1，对空间

赋以范数

其中(．，．)表示 RN上的内积，

定义6 假设p≥1(p∈R)，u:［0，T］T→RN，则当且仅当对T)T，RN)，存在g:［0，T］T→RN使得T)T，RN)，且对，有

其中

为了更加简洁的证明本文主要结论，下面将介绍一些用于证明p－Laplacian哈密顿系统(1)周期解存在性的相关引理．

引理1［6］如果序列{uk}k∈N在

上弱收敛于u，则{uk}k∈N在

上强收敛于u．

引理5［7］(鞍点定理) 设，其中E是实Banach空间，V≠{0}且为有限维的．假设φ∈C1(E，R)满足P．S．条件以及

(I1)存在一个常数α和在V中0点的有界邻域D使得

(I2)存在一个常数β＞α使得φ|X≥β，则φ有一临界值c*≥β，且c*可表示为

其中，Γ={h∈C(珚D，E)|h=id在D上}．

2 主要结论

运用鞍点定理［7］，得到了至少一个周期解的存在性定理．

定理1 如果满足(H0)和下面2个条件:

(H1)设，使得

成立;

一致成立，其中

为了证明定理1，下面介绍一个引理．

引理6 设F满足条件(H0)，且序列

满足φ'(un)→0和{un}在上有界，则{un}在上有收敛子列．

引理6的证明 由引理2知的嵌入是紧的，因此存在一个子序列(仍记为{un})，假设存在一个点，使得在和上均有un→u0，则由引理1，在［0，T］T上un一致收敛于u0，因此

由引理4和条件(H0)有

这意味着{un}在上是一个Cauchy列．根据的完备性，可得{un}是Rn)上的收敛子列．

定理1的证明 由φ的定义(3)，证明φ满足引理5的所有条件．

且存在一个常数c，使得

则{un}在上有界．

反设结论不成立，则存在一个子序列(仍记为{un})是无界的，即

令vn=un/‖un‖，则{vn}在上有界．由引理2知的嵌入是紧的．因此，存在一个点和一个子序列(仍记为{vn})，使得在中，序列{vn}弱收敛于v0，在强收敛于v0．且存在一个函数，使得| vn|≤ω对于△－a．e．t∈［0，T］T．

由(H2)，存在常数0＜ε0＜1/pCp和M＞0，使得对u∈Rn，|u|＞M和△－a．e．t∈［0，T］T，有

成立．此外设

由(H0)，对和△－a．e．t∈［0，T］T，有

由此推断，对u∈Rn和△－a．e．t∈［0，T］T有

由(5)和(7)式有

另一方面，根据范数的下半连续性，可得

即

由(8)和(9)式有

由引理4和时标上的控制收敛定理有

由(5)和(10)式有

这推出了矛盾，所以假设不成立，即{un}在上有界．根据引理6，{un}在Rn)上有收敛子列，从而φ满足P．S．条件．

则有

从而

下面将证明φ在Rn上是逆强制的，即

这意味着引理5的条件(I1)被满足了．

为了得到式子(11)式，需要证明存在δ1＞0，ρ1＞0，使得对x∈Rn且|x|≥ρ1有

假设(11)不成立，则存在序列{xn}⊂Rn且|xn|→∞，使得下面的不等式成立

这与(H1)矛盾，由于，所以不等式(12)成立．

由(H0)可得

对任意的x∈Rn且|x|＞ρ1有

所以φ在Rn上是逆强制的．

这意味着引理5的(I2)成立．

由Cp的定义(4)有

至此，证明了φ满足引理5的所有条件．所以根据引理5，时标上二阶非自治的p－Laplacian哈密顿系统(1)在上至少存在一个解．定理证毕．

3 定理应用举例

作为主要结论的应用，给出一个例子验证了所得结果．

例1 设时标

其中n∈N．考虑下面的时标T上的二阶p－Laplacian哈密顿系统

其中F(t，u(t))=－λ|u|p－1(0＜λ＜1/pCp)．容易验证其满足(H0)和定理1的条件．由定理1推出(13)式至少存在一个解．不过函数F并不满足文献［6］当p=2时定理3．4的条件(ii)和定理3．6的条件(iv)．所以，从某种程度上说定理1推广了文献［6］的相关研究结果．

致谢 徐州工程学院重点项目(2013102)、徐州工程学院青年项目(XKY2013314)对本文给予了资助，谨致谢意．

［1］SU Y H．Multiple positive pseudo－symmetric solutions of p－Laplacian dynamic equations on time scales［J］．Math Comput Mod，2009，49(7/8):1664－1681．

［2］SU Y H．Existence theory for positive solutions of p－Laplacian multi－point BVPs on time scales［J］．Turk J Math，2011，35(2):219－248．

［3］SU Y H．Arbitrary positive solutions to a multi－point p－Laplacian boundary value problem involving the derivative on time scales［J］．Math Comput Mod，2011，53(9/10):1742－1747．

［4］SU Y H，LI W T．Periodic solutions for non－autonomous second order Hamiltonian systems on time scales［J］．Dynam SystemsAppl，2009，18:621－636．

［5］SU Y H，LI W T．Periodic solutions of second order Hamiltonian systems with a change sign potential on time scales［J］．Discrete Dyn Nat Soc，2009，2009:1－17．

［6］ZHOU J，LI Y．Sobolev’s spaces on time scales and its applications to a class of second order Hamiltonian systems on time scales［J］．Nonlinear Anal，2010，73(5):1375－1388．

［7］RABINOWITZ P H．Minimax Method in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations［C］//BMS Regional Conference Series in Mathematics．Providence:Am Math Soc，1986，65:25－29．

［8］LAKSHMIKANTHAM V，Sivasundaram S，Kaymakcalan B．Dynamic Systems on Measure Chains［M］．Boston:Kluwer Academic Publishers，1996．

［9］GUSEINOV G．Integration on time scales［J］．J Math Anal Appl，2003，285(1):107－127．

［10］CABADA A，VIVERO D R．Criterions for absolutely continuity on time scales［J］．J Difference Eqns Appl，2005，11(1): 1013－1028．

［11］AGARWAL R P，ESPINAR V O，PERERA K，et al．Basic properties of Sobolev’s spaces on bounded time scales［J］．Adv Diff Eqns，2006，2006:1－14．

［12］RYNNE B P．Lpspaces and boundary value problems on time－scales［J］．J Math Anal Appl，2007，328(2):1217－1236．

［13］DAVIDSON F A，RYNNE B P．Eigenfunction expansions in Lpspaces for boundary value problems on time－scales［J］．J Math Anal Appl，2007，335(2):1038－1051．

［14］SUN H R，LI W T．Existence theory for positive solutions to one－dimensional p－Laplacian boundary value problems on time scales［J］．Diff Eqns，2007，240(2):217－248．

［15］袁晓红，周德高，许方，等．非线性项带导数的p－Laplacian边值问题解的存在性［J］．徐州工程学院学报(自然科学版)，2010，25(1):1－5．

［16］董宁青，安天庆，艾孜玛洪．努尔别克．二阶非自治(q，p)－Laplacian方程周期解的存在性［J］．四川师范大学学报(自然科学版)，2012，35(5):605－609．

Existence of Periodic Solutions for p-Laplacian Hamiltonian System on Time Scales

XUE Yimin，SU Ying

(School of Mathematics and Physics，Xuzhou Institute of Technology，Xuzhou 221116，Jiangsu)

In this paper，we study a non-autonomous p-Laplacian Hamiltonian system on time scales T of the formThe existence of periodic solutions is proved for this Hamiltonian system by means of the saddle point theorem．As an application，a example is given to illustrate the main results．

time scales;p-Laplacian Hamiltonian system;periodic solutions;saddle point theorem

O175

A

1001－8395(2016)04－0522－06

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．011时标上的动力方程越来越受到学者们的关

(编辑 陶志宁)

2015－11－03

国家自然科学基金(11501560、11301454)、国家自然科学数学天元基金(11526177)、江苏省自然科学基金(BK20151160)、江苏省高校自然科学基金(14KJB110025)和江苏省六大人才高峰项目(2013－JY－003)

薛益民(1977—)，男，讲师，主要从事微分方程及其应用研究，E－mail:xueym@xzit．edu．cn

2010 MSC:34B15;39A10