兰琳琳，蒲志林

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

一类具记忆项的二阶线性发展方程的能量衰减估计

兰琳琳，蒲志林*

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

研究一类具记忆项的线性发展方程的能量衰减估计，通过Lyapunov函数的运用和函数的构造来证明当记忆核在条件α'(s)≤－β(s)α(s)下衰减时，方程的能量按照多项式方式衰减．

线性发展方程;多项式衰减;Lyapunov函数

考虑一类具有记忆的导电材料的模型

其中，Et(s)=E(t－s)，s≥0，B、E、H、D、J分别表示了磁感应强度、电场、磁场强度、电位移、感应电流密度，ε0是介电常数，μ0是导磁系数，ε'、σ'是记忆核．文献［1］通过半群方法证明了方程(1)当t→∞时其能量成指数型衰减，由于方程D=ε0E无法用来计算电磁波的吸收和耗散现象，文献［2］基于方程(1)，通过重新对D和E的遗传性关系的建立，研究了电磁波的吸收和耗散现象，文献［3］对方程(1)的记忆项进行了推广，研究了更一般的线性基本方程，文献［4］证明了方程(1)中当D由E和H的线性函数共同决定时，电磁材料热力学系统的自由焓的非唯一性成立，并且Clausius－Duhem不等式在有记忆项的系统中作为等式成立，当电磁场很弱时，文献［5］基于方程(1)运用线性方法构造出下面的基本方程进而对电离层的现象进行了研究

文献［6］通过将方程(1)进行一些条件限制后代入Maxwell方程中，得到方程

由于没有自由电荷，即:D=0，得到:E=0(参见文献［7］)，进一步有:E=－ΔE，当ε0=μ0=1且α1=ε'(0)时，形成了严格电导体的模型

并对这个新的方程进行了能量衰减估计，证明当记忆核满足条件

呈指数方式衰减时，其能量按照多项式方式衰减．本文弱化了记忆核α(s)的限制条件，使其结果推广到更广泛的情况，这个限制条件是 α:［0，∞)→［0，∞)是局部绝对连续函数，α(s)＞0，存在β(s)＞0使得下列不等式成立:α'(s) ≤－β(s)α(s)，其中β满足的条件为:β是R+→R+上的非增可微函数，α'(s)≤－ β(s)α(s)，s≥ 0，，此处的假设条件就包括了下面的几种情况［8］:同时，此处的假设条件包含了指数方式衰减的条件，最终证明当记忆核在条件α'(s)≤－β(s)α(s)下衰减时，方程(4)的解按照多项式方式衰减．

1 记号与引理

令Ω⊂R3为一个具有Lipschitz边界的有界区域，并且在Ω中引进L2(Ω)空间，〈·，·〉为L2空间中的内积，‖·‖为L2(Ω)空间中的范数．

对任意的α∈C(R)和E∈W1，2(0，T)，定义:

引理 1．1 对任意的 α∈ C(R)和 E∈W1，2(0，T)有

证明 运用* 和◇的定义可以得证．

引理 1．2 对任意的 α∈ C1(R)和 E∈W1，2(0，T)有

证明

等式右边为

因为

等式右边为

等于等式左边，得证．

引理1．3［9－10］当L(t)为Lyapunov函数，满足

则存在常数C＞0，使得

特别地，当r=0时有

2 主要结论及证明

我们规定方程(4)满足当记忆核 α是［0，∞)→［0，∞)上的绝对连续函数且:

存在β(s)≥0使得

且有

定理2．1 当假设α∈C1(R+)∩L1(R+)且E是方程(4)的解，则能量方程可以写作

并且有

定理2．1的证明 对方程(4)两边关于Et在Ω上积分

由引理1．2得:

取

因为

所以

且

定理2．2 当α满足假设条件(20)～(24)式，则方程(4)的解由指数衰减到0，即存在一个正的常数珘C使得

定理2．2的证明 首先定义函数

方程两边同时求导

由方程(4)得

代入得

由引理1．1得

对上式的最后一项进行下面的处理，则

将最后一项由上面的不等式替换得

下面再定义函数

其中N待定且充分大，然后对方程两边同时求导

将(32)和(49)式代入

对系数进行整理得到

最后定义函数

由N(t)、E1(t)以及L(t)的表达式可知，存在c0、c1＞0，使得:

令

当0≤r＜1，p≥2，则有:

令

则有

c3＞0，由(54)和(55)式

由(57)和(64)式得

由引理1．3有

由L(t)和E1(t)的定义，可得到

从而有

［1］MARIA GRAZIA N，ELENA V．On the exponential stability of electromagnetic systems with memory［J］．Int Math J，2002，1(6):575－590．

［2］HOPKINSON J．Residual charge of the leyden jar dielectric properties of different glasses［J］．Philosophical Transactions of the Royal Society of London，1877，167:599－626．

［3］TOUPIN R A，RIVLIN R S．Linear functional electromagnetic constitutive relations and plane waves in a hemihedral isotropic material［J］．Archive for Rational Mechanics and Analysis，1960，6(1):188－197．

［4］FABRIZIO M，MORRO A．Dissipativity and irreversibility of electromagnetic system with memory［J］．Mathematical Models and Methods in Applied Science，2000，10(2):217－246．

［5］GENTILI G．Thermodynamic potentials for electromagnetic fields in the ionosphere［J］．Int J Eng Sci，1995，33(11): 1561－1575．

［6］RIVERA J E M，NASO M G，VUK E．Asymptotic behaviour of the energy for electromagnetic systems with memory［J］．Math Meth Appl Sci，2004，27:819－841．

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The Energy Decay Estimates of a Second-order Linear Evolution Equation with Memory

LAN Linlin，PU Zhilin

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

The paper aims to study the energy decay of a linear evolution equation with memory．We prove that the energy of the equation will decay according to the polynomial approach when the memory decays under the condition of α'(s)≤－β(s)α(s)by employing Lyapunov functional and the structure of the function．

linear evolution equation;polynomial rate of decay;Lyapunov function

O175

A

1001－8395(2016)04－0491－05

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．005

(编辑 余 毅)

2015－04－10

四川省应用基础研究项目(2015JY0125)

*通信作者简介:蒲志林(1963—)，男，教授，主要从事无穷维动力系统理论的研究，E－mail:Puzhilin908@sina．com

2010 MSC:47D06