蒋 林，廖群英

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

广义零差分平衡函数的一个注记

蒋 林，廖群英*

(四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都610066)

将零差分平衡函数的定义推广到广义零差分平衡函数(G－ZDB)，并利用p分圆陪集构造一类新的广义零差分平衡函数，其中p为质数．

零差分平衡函数;广义零差分平衡函数;p分圆陪集

1 预备知识及主要结果

设(A，+)和(B，+)均为交换群，且|A|=n，|B|=l．映射f:A→B称为广义零差分平衡函数(G－ZDB)，是指存在非空集合，使得对任意0≠ a∈A，均有

特别地，当S是单元集时，f是零差分平衡(ZDB)函数，简记为(n，λ)－ZDB函数［1］．

包含了A中所有非零元素的λ倍，则称P为(n，{t0，t1，…，t珋l－1}，λ)－差分集(PDF)．基于零差分平衡函数与PDF的联系，零差分平衡函数可记为(n，{t0，t1，…，t珋l－1}，λ)－ZDB函数．有时不用考虑参数{t0，t1，…，t珋l－1}，简记为－ZDB函数，此时广义零差分平衡函数简记为函数．

零差分平衡函数常常应用于组合学、代数学、有限几何以及编码和密码学等领域，它是 C．S．Ding［1－2］在构造最佳常组合码与优化及完善差分系统中引入的．熟知，完美非线性函数和差分函数均是特殊的零差分平衡函数［3－7］．基于其良好的特性，人们可构造出最佳组成权重码和最优跳频序列［7－9］．事实上，人们已经构造出大量的ZDB函数［1－2，7，10－11］．特别地，C．S．Ding等［11］用2分圆陪集构造了参数为

的零差分平衡函数，其中m为素数．本文将零差分平衡函数推广到广义的零差分平衡函数，并利用p分圆陪集在模n=p2q－1(p，q为不同奇素数)上的性质，构造了一类广义零差分平衡函数．

定义1．1［11］令n=pm－1，其中m∈N+，则对任意的i∈{0，1，…，n－1}，模n的含i的p分圆陪集定义为

其中 li是使得 i≡i×pli(mod n)成立的最小正整数．

同时，定义Ai中最小的正整数为Ai的首位．当i≠0时，Ai称为非零p分圆陪集．

定理1．2［11］设p、q为奇素数，n=p2q－1，Ai为模n的含i的p分圆陪集，M为模n的全部非零p分圆陪集的个数，则对任意的i∈{1，2，…，n－1}，|Ai|∈{1，2，q，2q}且

定理1．3 设p，q为不同的奇素数，n=p2q－1，则存在参数为

的G－ZDB函数，其中

2 主要结果的证明

引理2．1［12］设a，n1，n2∈Z+，n1≠n2，则

3)除此之外，

有解的充分必要条件是gcd(m1，m2)| b1－b2．进而在有解时，其关于模lcm［m1，m2］恰有唯一解．

定理 1．2的证明 由 n=p2q－1知 p2q≡1(mod n)，即|Ai|≤2q．又由i≡i×pli(mod p2q－1)知(p2q－1)| i×(pli－1)．由引理2．1知gcd(p2q－1，pli－1)=pgcd(2q，li)－1．注意到q为奇素数，故

引理2．2［12］设m1、m2是2个正整数，b1、b2为整数，则同余式组

所以对模n的任意非零p分圆陪集Ai，有|Ai|=li∈{1，2，q，2q}，且模n的全部非零p分圆陪集的个数为

定理1．3的证明 令T表示模n=p2q－1的所有p分圆陪集首位的集合，则由定理1．2可知

现定义f:Zn→Zn为

其中ix为x所在的p分圆陪集的首位，则

另一方面，对任意的a∈{1，2，…，p2q－2}，若存在x∈Zn，使得f(x+a)=f(x)，则存在1≤k≤2q－1(k∈N)，使得

即

同余(1)式有解当且仅当 g cd(p2q－1，pk－1)= (pgcd(2q，k)－1)| a，且有解时，恰有 pgcd(2q，k)－1个解，因此有以下4种情形．

情形1 (p2－1)| a且(pq－1)| a．

(A) gcd(2q，k)=1时，同余(1)式恰有p－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1个，故此时

(B) gcd(2q，k)=2时，同余(1)式恰有p2－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=2的k恰有q－1个，故此时

(C) gcd(2q，k)=q时，同余(1)式恰有pq－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=q的k只有1个，即k=q，故此时

因此当A11、A12、A13两两无交时，由(3)、(5)及(7)式知:对任意满足(p2－1)| a且(pq－1)| a的a，均有

下面讨论A11、A12、A13两两相交的情形．

注意到gcd(2q，k2)=2，故(p2－1)|(pk2－1)，从而有

即

令d1=gcd(2q，|k1－k2|)，由 q为奇素数以及gcd(2q，k1)=1，gcd(2q，k2)=2知d1∈{1，q}．

1)若d1=1，则由(9)式可知

而

因此

注意到q为奇素数，于是

(a)n1=p+1时，则由(p2－1)| a及(10)和 (11)式知，此与a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故

(b)n1=(p+1)q时，由(p2－1)| a及(10)和(11)式知．又gcd(pq+1，pq－1)=2且，故

又(pq－1)| a，故a，此与a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故

2)若d1=q，则由(9)式可知．又由假设条件以及gcd(pq－1，pq+1)= 2可知a．注意到

从而有

即

令d2=gcd(2q，|k1－q|)，由 q为奇素数以及gcd(2q，k1)=1知d2=2．于是由(12)式知

又

则

注意到q为奇素数且gcd(p+1，p－1)=2，故有以下3种情形．

(a)gcd(q，p2－1)=1时，即n2=1，由(p2－1) | a知，此与a知．由费马小定理知pq≡p(mod q)，故pq－1≡p－1≡0(mod q)，pq+ 1≡p+1(mod q)，所以∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故A11∩A13=Ø．

(b)q|(p－1)时，即n2=q，由(p2－1)| a

注意到(pq－1)| a，故1)| a，此与a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故A∩A

1113

(c)q|(p+1)时，即n2=q，由(p2－1)| a知．由费马小定理知pq≡p(mod q)，故pq+1≡0(mod q)，所以

注意到(pq－1)| a，故| a，即q|(p+1)且，此时同余(2)和 (6)式关于模有唯一解，设为，故

又|A11|=p－1，故A11⊆A13，此时

从而

于是

令d3=gcd(2q，|k2－q|)，由 q为奇素数以及gcd(2q，k2)=2知d3=1．类似于情形(Ⅰ)的d1=1的证明可推出矛盾，于是

情形2 (p2－1)| a且时．

(A)gcd(2q，k)=1时，同余(1)式恰有p－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1个，故此时

(B)gcd(2q，k)=2时，同余(1)式恰有p2－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=2的k恰有q－1个，故此时

(C)gcd(2q，k)=q时，同余(1)式无解，此时

注意到gcd(2q，k2)=2，故(p2－1)|(pk2－1)，从而有

于是

令d4=gcd(2q，|k1－k2|)，由 q为奇素数以及gcd(2q，k1)=1，gcd(2q，k2)=2知d4∈{1，q}．

1)若d4=1，则由(20)式可知

(a)n1=p+1时，则由(p2－1)| a知，此与a∈{1，2，…，p2q－2}矛盾，故

(b)n1=(p+1)q时，则由(p2－1)| a知

又|A21|=p－1，故A21⊆A22．

综上，由(19)和(21)式知:对于任意满足(p2－1) | a且的a，均有

(A)gcd(2q，k)=1时，同余(1)式恰有p－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1个，故此时

(B)gcd(2q，k)=2时，同余(1)式无解，此时

(C)gcd(2q，k)=q时，同余(1)式恰有pq－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=q的k只有1个，即k=q，故此时

从而

于是

令d5=gcd(2q，|k1－q|)，由 q为奇素数以及gcd(2q，k1)=1知d5=2，则由(29)式可知

又(pq－1)| a，故

又|A31|=p－1，故，此时

综上，由(28)和(30)式知:对于任意满足(p2－1)/│a且(pq－1)| a的a，均有

情形4 (p2－1)/│a且(pq－1)/│a时．

(A)gcd(2q，k)=1时，若(p－1)| a，则同余(1)式恰有p－1个解，且

故解集为

又满足gcd(2q，k)=1的k恰有φ(2q)=q－1个，故此时

若(p－1)/│a，则同余(1)式无解，此时

(B)gcd(2q，k)=2时，同余(1)式无解，此时

(C)gcd(2q，k)=q时，同余(1)式无解，此时

综上，由(33)～(36)式知:对于任意满足(p2－1)/│ a且的a，均有

故由(8)、(22)、(31)和(37)式知:对任意的a∈{1，2，…，p2q－2}，均有

其中

近年来，零差分平衡函数被广泛应用于常组合码和差分系统中，同样，本文将零差分平衡函数做进一步研究之后，广义零差分平衡函数也可应用于常组合码和差分系统中，只是均很难达到最优．

［1］DING C S．Optimal constant composition codes from zero－differerce banlanced functions［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2008，54(12):5766－5770．

［2］DING C S．Optimal and perfecct difference systems of sets［J］．J Combinatorial Theory，2009，116(1):109－119．

［3］POTT A，WANG Q．Difference balanced functions and their generalized difference sets［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2008，54(12):5766－5770．

［4］NYBEG K．Perfect Nonlinear S－boxes［M］．Berlin:Springer－Verlag，1991．

［5］FENG T．A new construction of perfect nonlinear functions using Galois rings［J］．J Combinatorial Designs，2009，17(17): 229－239．

［6］ZHA Z，KYUREGHYAN G M，WANG X．Perfect nonlinear binomials and their semifields［J］．Finite Fields and Their Applications，2009，15(2):125－133．

［7］ZHOU Z，TANG X，WU D，et al．Some new classes of zero－difference balanced funtions［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2012，58(1):139－145．

［8］GE G，MIAO Y，YAO Z．Optimal frequency hopping sequences:auto－and cross－correlation properties［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2009，55(2):867－879．

［9］WANG Q，ZHOU Y．Sets of zero－difference balanced functionst and their applications［J］．Adv Math Commun，2014，8(8):83－101．

［10］DING C S，TAN Y．Zero－difference balanced functions with applications［J］．J Statistical Theory and Practice，2012，6(1): 3－19．

［11］DING C S，WANG Q，XIONG M S．Three new families of zero－difference balanced funtions with applications［J］．IEEE Transactions on Information Theory，2013，60(4):2407－2413．

［12］YAN S Y．Elementary Number Theory［M］．Berlin:Springer－Verlag，2002．

A Note on Generalized Zero-difference Balance Functions

JIANG Lin，LIAO Qunying

(College of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，Sichuan)

In this paper，by generalizing the definition of the zero-difference balanced functions to the generalized zero-difference balanced functions，a class of generalized zero-difference balance functions is constructed based on p-cyclotomic cosets，where p is a prime．

zero-difference balanced functions;generalized zero-difference balance functions;p-cyclotomic cosets

O156．1

A

1001－8395(2016)04－0484－07

10．3969/j．issn．1001－8395．2016．04．004

(编辑 郑月蓉)

2015－05－06

国家自然科学基金(11401408)、四川省应用基础研究计划项目(2016JY0134)和四川省教育厅自然科学重点项目(14ZA0034)

*通信作者简介:廖群英(1974—)，女，教授，主要从事编码和密码学理论的研究，E－mail:qunyingliao@sicnu．edu．cn

2010 MSC:94A15;94A60;05B10