贾丹琴,刘宣会,张夏洁

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)



盈余过程服从跳扩模型下的破产概率

贾丹琴,刘宣会,张夏洁

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

摘要:为了更真实地反映市场随机变化趋势,将经典的扩散模型推广到跳跃-扩散模型.用布朗运动和复合泊松过程共同驱动保险公司的盈余过程,并考虑盈余过程的系数受马尔可夫链干扰的情况.采用鞅方法和微积分方法研究保险公司的破产概率,得到破产概率所满足的偏微分方程.

关键词:盈余过程;复合泊松过程;马尔科夫链;随机微分方程;破产概率

0引言

在保险数学中,破产论是核心内容之一.破产论基于一些合理的假设基础,主要借助概率论、数理统计以及随机最优控制等,来描述各种风险过程,进而建立模型对风险进行分析和预测.破产论为风险管理提供了数学上的支持,可以有效地帮助经营者规避风险,因而受到重视.在我国,保险业仍处于高速发展过程中的初级阶段,同时还面临国外保险公司的竞争,因此破产论的研究对于我国的保险业有着重要意义.

最早的风险模型是由瑞典的Lundberg在1903年引入的经典风险模型,其工作为风险理论奠定了基础[1].在Lundberg的研究基础上,大量有关破产概率的问题开始得到深入研究[2-5].Cai在经典风险模型中引入了利率和随机利率[6-7],并且得出了破产概率所满足的表达式.已有文献大部分都假定公司的盈余过程是服从扩散过程的,但由于保险公司经营规模不断地扩大,新险种不断地开发,经典风险模型存在一定的局限性.当盈余过程受到多个政治因素和自然因素(如战争、泡沫、地震、海啸、突发灾难等)叠加影响时,会产生不连续跳跃,因此盈余过程为跳跃-扩散过程时更能真实的反应随机市场环境,很多学者在这方面也进行了深入的研究[8-11].文章在前人的研究基础上,将经典的扩散风险模型进行推广,用布朗运动和复合泊松过程来共同描述保险公司的盈余过程,且考虑盈余过程的系数受马尔科夫链的调节,从而对保险公司的破产概率进行研究.

1模型的建立

1.1模型一

假设保险公司在t时刻的风险盈余水平是R(t),其中t>0.当R(t)<0,即认为破产发生.π(t,R(t))表示t时刻保费的收缴率,μ(t)表示t时刻的索赔率,β(t)表示t时刻资本市场的利率.则t时刻的盈余水平R(t)满足随机微分方程

R(0)=r0≥0.

1.2模型二

假设保险公司在t时刻的风险盈余水平是R(t),其中t>0.当R(t)<0时,认为破产发生.π(t,R(t),α(t))为t时刻保费的收缴率,μ(t)为t时刻的索赔率,β(t)为t时刻资本市场的利率.则t时刻的盈余水平R(t)满足随机微分方程

dR(t)=[π(t,R(t),α(t))+β(t)R(t)-μ(t)]dt+σ(t,R(t),α(t))dW(t)+

R(0)=r0≥0.

其中对某个R∈[0,∞],有

这里α={α(t)：0≤t≤T}是一个与布朗运动W(t)和泊松过程N(t)独立的连续时间马尔可夫链，σ(t,R(t),α(t))是连续信息下的风险波动率,φ(t,z,R(t),α(t))是突发信息下的跳跃高度.

α的转移概率[12]为

2模型的求解

2.1模型一的求解

定义1[13]假设t时刻的风险水平为R(t)=r,则在时刻t和T之间的破产概率可以表示为

定义2[13]一个停时是指破产首次发生的时刻,可以表示为

τ=inf{t≥0|R(t)<0}.

文中讨论的破产概率问题是指在有限时间范围内,即0

引理1[14](Ito-Levy过程的一维Ito公式)假定X(t)∈R是如下形式的Ito-Levy过程：

其中对某个R∈[0,∞],有

令f∈C2(R2),定义Y(t)=f(t,X(t)).则Y(t)也是一个Levy过程,且

这里

H1=f(t,X(t)+c(t,z))-f(t,X(t))-c(t,z)fx,H2=f(t,X(t)+c(t,z))-f(t,X(t)).

引理2ψ(t∧τ,R(t∧τ))为Ft∧τ鞅.

证明

等式的最后一步成立是因为R(t)是具有强马尔可夫性.因此ψ(t∧τ,R(t∧τ))为Ft∧τ鞅.

针对盈余过程服从由布朗运动和复合泊松过程共同驱动这种情形,对保险公司的破产概率进行研究,得到了破产概率所满足的偏微分方程.

定理1假设t时刻的风险水平为R(t)=r,那么破产概率ψ(t,r)满足下面的偏微分方程

当r<0,ψ(t,r)=1.

证明由引理1可得

由引理2可知ψ(t∧τ,R(t∧τ))是Ft∧τ鞅,所以ψ(t∧τ,R(t∧τ))-ψ(0,r0)是初值为零的Ft∧τ鞅.因此有

由于t的取值范围为任意非负实数,因此有

当r<0时破产发生,即ψ(t,r)=1.

2.2模型二的求解

在实际情况中,由于存在重要因子，因而保险公司的盈余过程具有马尔可夫性.系数受马尔科夫链调节的随机微分方程更真实地反映了随机市场环境.

定义3[12]假设t时刻的风险水平为R(t)=r,那么发生在时刻t和T之间的破产概率可以表示为

引理3[12](推广的一维Ito公式)假定X(t)∈R是如下形式的Ito-Levy过程:

其中对某个R∈[0,∞],

令f∈C2(R2),定义Y(t)=f(t,X(t)),则Y(t)也是一个Levy过程，且

dY(t)=Af(t,w,α)dt+σ(t,w,α)fxdW(t)+∫RH2N(dt,dz).

这里

H1=f(t,X(t)+c(t,z,i),i)-f(t,X(t),i)-c(t,z,i)fx,

H2=f(i,X(t)+c(t,z,α),α)-f(t,X(t),α).

引理4ψ(t∧τ,R(t∧τ),α(t∧τ))是Ft∧τ鞅.

证明类似引理2，有

等式的最后一步成立是因为R(t)具有强马尔可夫性.

因此,ψ(t∧τ,R(t∧τ),α(t∧τ))是Ft∧τ鞅.

针对盈余过程服从布朗运动和复合泊松过程共同驱动,且系数受马尔科夫链调节这种情形,对保险公司的破产概率进行研究,得到了破产概率所满足的偏微分方程.

定理2假设t时刻的风险水平为R(r)=r,那么破产概率ψ(t,r,α)满足下面的偏微分方程

这里

当r<0,ψ(t,r)=1.

证明由引理3可得

由引理4可知ψ(t∧τ),α(t∧τ))是Ft∧τ鞅,则ψ(t∧τ,R(t∧τ),α(t∧τ))-ψ(0,r0,α0)是初值为零的Ft∧τ鞅.因此有

由于t的取值范围为任意非负实数,因此有

这里:

当i<0时破产发生,即ψ(t,r)=1.

3结束语

研究破产概率问题对保险公司的生存以及发展有着重要的意义.文章考虑了由布朗运动和复合泊松过程共同驱动的盈余风险模型,且其系数受到马尔科夫链的干扰,分别对破产概率进行研究,得到了破产概率所满足的偏微分方程.经典的扩散风险模型是服从布朗运动的,即影响因素是单一连续的,文章考虑的盈余过程是受到多个因素叠加影响的,这一模型与实际金融市场更为吻合.其研究对于保险公司破产预警系统设计，保险监管部门的监管以及保险数学中破产论的研究可提供参考.

参考文献(References):

[1]GRANDELL J.Aspect of risk theory[M].New York:Springer Verlag,1997.

[2]BOILOV A V.The cramer-lundberg model with stochastic premium process[J].Theory of Probability and its Applications,2003,47:489-493.

[3]龚日朝,李凤军.双Poisson风险模型下的破产概率[J].湘潭师范学院学报:自然科学版,2001,23(1):55-57.

GONG Richao,LI Fengjun.Ruin probability in risk model of double poisson processes[J].Journal of Xiangtan Normal University:Natural Science Edition,2001,23(1):55-57.

[4]耿金辉,李志民.保费再投资下双Cox风险模型的破产概率[J].延安大学学报：自然科学版,2014,33(4):1-3.

GENG Jinhui,LI Zhimin.Ruin probability of premium reinvestment in double Cox risk model[J].Journal of Yanan University:Natural Science Edition,2014,33(4):1-3.

[5]张燕,田铮,刘向增.常利率下相依风险模型的破产问题[J].纺织高校基础科学学报,2007,20(4):341-343.

ZHANG Yan,TIAN Zheng,LIU Xiangzeng.On the ruin of a dependent risk model with a constant interest[J].Basic Sciences of Textile Universities,2007,20(4):341-343.

[6]CAI Jun,DICKSON D C M.Upper bounds for ultimate ruin probabilities in the Spare Andersen model with interest[J].Insurance:Mathematics and Economics,2003,32(1):61-71.

[7]CAI Jun.Ruin probabilities and penalty functions with stochastic rates of interest[J].Stochastic Processes and their Applications,2004,112(1):53-78.

[8]赵宁宁, 刘宣会. 跳跃-扩散下利率不等的动态投资组合选择[J].西安工程大学学报,2011,25(2):255-260.

ZHAO Ningning,LIU Xuanhui.The dynamic portfilino choice under diffusion-jump rates difference[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2011,25(2):255-260.

[9]林祥,钱艺平.跳-扩散风险模型的最优投资策略和破产概率研究[J].经济数学,2009,26(2):1-8.

LIN Xiang,QIAN Yiping.Ruin probabilities and optimal investment strategy for jump-diffusion risk model[J].Mathematics in Economics,2009,26(2):1-8.

[10]钟朝艳.一类长利率复合Poisson-Geometric风险模型的预警区问题[J].西南师范大学学报：自然科学报,2014,39(3):36-40.

ZHONG Chaoyan.On duration of negative surplus for a compound poisson-geometric risk model with constant interest force[J].Journal of Southwest China Normal University：Natural Science Edition,2014,39(3):36-40.

[11]王晓东.跳跃-扩散过程的最优投资消费[J].纺织高校基础科学学报,2006,19(1):32-35.

WANG Xiaodong.Optimal investment and consumption of jump-diffusion process[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2006,19(1):32-35.

[12]史敬涛.带泊松跳跃的正倒向随机最优控制理论及其应用[D].济南：山东大学,2009.

SHI Jingtao.Forward and backward stochastic optimal control theory with poisson jumps and its applications[D].Jinan:Shangdong University,2009.

[13]YANG Hailiang.Conditional ruin probability with stochastic interest rate[J].Stochatic Analysis and Applications,2001,19(2):207-214.

[14]张景肖.随机最优控制及其在保险中的应用[M].北京:科学出版社,2012.

ZHANG Jingxiao.Stochastic optimal control and its application in insurance[M].Beijing:Science Press,2012:4-36.

编辑、校对：师琅

文章编号:1006-8341(2016)02-0171-07

DOI：10.13338/j.issn.1006-8341.2016.02.007

收稿日期：2015-07-01

基金项目:陕西省教育厅科研计划资助项目(2013JK0594)

通讯作者:刘宣会(1964—),男，陕西省乾县人，西安工程大学副教授,研究方向为金融数学、风险管理及随机控制等.

中图分类号：O 211.63

文献标识码：A

Ruin probability of the earnings process under jump-diffusion model

JIADanqin,LIUXuanhui,ZHANGXiajie

(School of Science, Xi′an Polytechnic University, Xi′an 710048, China)

Abstract:In order to reflect the stochastic variation trend of the market, the classical diffusion model is extended to the jump-diffusion model.The earnings process of insurance company is driven by the Brownian motion and the compound Poisson process, and considered that earnings process coefficient impacted by Markov chain. Using the martingale methods and stochastic calculus techniques,the ruin probability for insurance company is studied. At last, the partial differential equation which satisfied by the ruin probability is obtained.

Key words:earnings process; compound Poisson process; Markov chain; stochastic differential equation; ruin probability

E-mail:lxhlll2011@163.com

引文格式：贾丹琴,刘宣会,张夏洁.盈余过程服从跳扩模型下的破产概率[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(2)：171-177.

JIA Danqin,LIU Xuanhui,ZHANG Xiajie.Ruin probability of the earnings process under jump-diffusion model[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(2):171-177.