彭亚美　杨家其　赵学彧

(武汉理工大学交通学院　武汉　430000)

基于粒子群优化算法的城市轨道客运定价双层规划模型研究*

彭亚美杨家其赵学彧

(武汉理工大学交通学院武汉430000)

摘要：城市轨道交通是现代城市发展中重要的交通方式之一，其社会效益和经济效益都很重要，合理制定票价有利于城市轨道交通稳定发展.在各种公共交通公平竞争、满足乘客出行服务需求的前提下，找出城市轨道客运票价制定的最优策略，并建立了公共交通出行方式选择的Logit模型.同时兼顾城市公共交通运营公司和出行者各自的利益，采用粒子群优化算法构建了双层规划模型，并应用案例进行分析，分析了该模型的可行性和实用性.结果表明，采用该模型进行票价制定合理有效.

关键词：城市轨道交通；票价制定；Logit模型；双层规划模型；粒子群优化算法

0引言

随着城市公共交通优先发展战略的积极实施，我国很多城市都构建了多方式并存、立体化的公共交通运输系统，该系统以轨道交通为骨架、传统交通方式为主体、其他交通方式为支撑，来满足居民出行的需求.在一定的公共服务水平和出行需求的条件下，出行方式的票价水平将会决定各种出行方式的分担率.合理的城市轨道客运票价水平和结构可以用来贴补操作费用和年资本费用，并能为城市轨道交通企业取得一定的利润.一些学者采用简单的统计推断的研究方法，没有充分考虑多方式竞争与乘客的出行行为选择对客运量的动态影响，因此在实际操作中往往偏差较大[1]，同时，乘客总是希望出行成本最小化，因而采用单目标函数的规划方法很难做到既符合乘客的利益，又保证城市轨道运营企业的效益.

目前，双层规划模型(bilevel programming)在解决城市轨道交通票价制定、城市交通流量预估与分析等交通问题中有一些相关的应用，并且运用灵敏度分析法对这类双层规划问题进行求解[2-5].Hallsen等[6-8]证明了双层规划是一个强NP(non-deterministic polynomial)难题，所以在实际应用时要寻找能处理其复杂性的有效算法.自20世纪90年代以来，各学者对确定式算法、智能算法的研究日益完善，都可以用来解决双层规划问题，但一些传统算法如分枝定界法、迭代分配法、罚函数法等较难解决一般的双层规划问题，尤其是非线性双层规划的求解.目前，粒子群优化算法等智能优化算法由于操作性强，在求解双层规划问题中得到了广泛应用.Shi等[9]在为提高基本粒子群优化算法的收敛能力，在标准粒子群优化算法的速度更新公式中添加了一个惯性权重w，且为了更好地进行全局搜索，他们将设为随时间线性递减的函数.不少学者都很好地将粒子群优化算法应用到了双层规划模型的求解中，李艳丽[10]改进了种群粒子的速度更新公式，结合高斯变异、混沌理论等提出了一种新型的多目标粒子群优化算法.李昌平等[11]用进化博弈及多目标优化非支配排序的思想设计了层次粒子群算法，获得使各方利益最大化的双层规划问题的最优解.综合参考各学者的研究，本文分析了公共交通公司和乘客双方的利益，构建了城市轨道客运票价制定的双层规划模型，将粒子群优化算法应用到模型中去，并通过实例验证得出，本文的算法可有效求解双层规划模型，在实践中有较好的通用性.

1城市轨道客运定价双层规划模型的构建与分析

1.1城市轨道客运票制分析

城市轨道客运现有票制中，常见票制主要有单一票价制、计时票价制、分区票价制和计程票价制.各票制方案都各有利弊，主要优缺点见表1.

1.2影响城市轨道交通票价的因素

城市轨道交通具有很强的公益性和外部性，以及一定的自然垄断性，其运营置于政府的监控下.因此，城市轨道客运的车票定价会受到以下因素的影响[12]：(1)运营费用在市场经济背景下，城市轨道交通作为市场主体，应当具备自我融资的能力，以使得其所得票款能支付其运营费用；(2)乘客的出行需求和支付意愿乘客通常会根据自己的出行目的来选择自身的交通方式，总体出行费用和乘客的支付能力决定了票价制定的最

表1　城市轨道交通常见票制优缺点及适用条件

高限额；(3)公共交通方式之间的竞争公共交通方式多种多样，公共运输方式之间的良性竞争是无法避免的，为争取更多的市场份额，各交通方式运营主体在定价时应考虑到自身和竞争对手之间的价格差异及他们的优缺点；(4)财务目标公共交通公司的财务目标也对其定价有一定的影响，如成本利润率、变动成本和固定成本，以及运营收入的多少等；(5)政府管制通常来说，政府会对提供城市公共服务和社会福利的公司实行限价措施，若无特殊情况，一般极少进行调整.

轨道交通运营公司定价水平的高低，将直接影响轨道交通的利用率及利润率，票价过低，客流量必将骤增，不仅会造成轨道交通高负荷运行，也将增加乘客的时间和拥挤费用，服务质量很低；票价逐渐增加，客流量缓慢减少，票务收入逐渐增加，这种低水平票价下的乘坐率较高，但是总收入过低导致政府需要投入大量财政补贴，不利于经济发展；当票价升高到适中水平，票务收入足以贴补轨道交通运营公司费用成本，对乘客也较为公平合理，既能发挥充分轨道运输高速便捷的优势，又能缓解路上交通压力；票价上升至较高水平时，客流量大幅度减少，票务收入随之减少，无法保证轨道交通企业正常运营，且会加重城市交通拥堵和城市污染等问题.

因此，在制定城市轨道客运票价时，应考虑较多因素，操作也较为复杂，要在考虑城市其他公共交通方式的情况下，顾及乘客及自身利益，制定适合城市居民出行的轨道客运票制.

1.3基于Logit模型的公共交通方式的选择

在城市公共交通运输系统中，一般由各种公共交通方式合作，共同满足相同起讫点的乘客的交通需求.同时，乘客会根据自己的偏好和票价来选择出行方式，这将加剧各种不同公共交通运输方式之间的竞争.乘客对于公共交通方式的选择可以采用Logit模型来予以量化.通常在制定票价的过程中，特别是当有多种交通方式可供选择的时候，就可以选择Logit模型，通过Logit模型作离散选择分析[13].

乘客在站点i和j之间选择公共交通出行方式的Logit模型表达式如下.

(1)

(2)

(3)

(4)

根据式(3)和(4)，可得式(5)：

(5)

(6)

1.4双层规划模型的构建

现假设：(1)在相同起讫点之间的路段上只有2种交通方式，乘客数量固定.轨道交通方式为方式1，传统公交车方式为方式2；(2)参与选择出行方式的乘客出行数量为b；(3)运营收入仅考虑车票收入，不涵盖自由竞争情况下其他的收入来源.

1) 底层规划模型理性的乘客通常会选择总体费用最少的出行方式，然而，随着更多的乘客选择费用最少的出行方式，成本会上涨，直到成本达到一定水平，有些乘客会转乘其他交通工具.这样一来，乘客在各种交通方式间的分配将会达到一种平衡的状态，而且所有出行方式的总体成本将会趋向同一化[14].因此，当目标函数是出行总成本最小时，随机用户平衡模型可用来进行出行方式的选择，如式(7)所示.

(7)

2) 上层规划模型在不同公共交通运输方式的博弈中，所有参与者的目标是收入最大化，那么总收益函数是所有参与者的效益总和.该合作博弈的最终均衡解为总收益函数的最大化.如式(8)所示：

(8)

通过构建一个这样的双层规划模型，可得出轨道运输和传统公共车的合理票价.

2基于粒子群优化算法的双层规划模型的求解步骤

欲求解双层规划模型，尤其是非线性的非多项式的双层规划模型，是相当复杂且困难的.尽管没有一种严格的算法能确保解法为问题的最优解，但有些好的解法能在一定层面上获得双层规划模型的近似最优解，其中一种就是遗传算法.与遗传算法相似，粒子群优化算法是一种基于种群的进化算法和整体收敛的随机搜索算法.由于结构不像遗传算法那么复杂，控制变量也较少，采用粒子群优化算法求解双层规划模型是一种有意义的尝试[15].

采用粒子群优化算法求解双层规划模型的基本步骤如下.

步骤1初始化粒子群优化算法的参数：创建底层规划模型的初始解法，随机初始化粒子群中粒子的位置Xi与速度Vi,i∈[1,m]，其中m为种群的规模，即粒子的数量.设pi为第i种粒子目前位置，pg为初始种群中粒子的最优位置.

步骤2对种群中的所有粒子进行下述操作.

1) 根据式(9)和(10)，更新粒子的位置和速度.

(9)

(10)

(11)

式中：r1和r2为位于0到1之间的随机数字，通常被称为学习因素；c1=c2=2；w为惯性权重，用来权衡局部的最优化能力和全局的最优化能力，取值一般位于0.1到0.9之间，其数值随着迭代次数的增加而减少；wmax为最大的权重；wmin为最小的权重.iter为算法当前的迭代次数，itermax为算法迭代次数的最大值.

2) 将上层规划模型中第i个粒子的位置Xi代入下层规划模型中，采用传统优化方法获得下层规划模型的最优解yi*.

3) 将Xi和yi*代入目标函数中，并算出第i个粒子的适应值F(Xi,yi*)，i∈[1,m].

4) 如果第i个粒子的适应值F(Xi,yi*)优于粒子当前位置Pi，将第i个粒子的位置更新为Xi，并用yi*代替Pi在下层规划模型中得出的最优解yPi；计算Pg的适应度，若小于第i个粒子的适应值，将Pg更新为Xi，yPg更新为yi*.

步骤3判断算法是否满足收敛条件，若满足，进入第五步，否则转入步骤4.

步骤4根据式(12)，用传统优化方法更新pg并计算yPg，转入步骤2.

(12)

步骤5输出pg及yPg，计算上层规划模型和下层规划模型对应的目标函数值.

3城市轨道客运票价制定的算例

为简化计算，假定起点到终点之间的距离为20km，乘客数量为1 000人.乘客可以选择城市轨道运输和传统公交车2种出行方式.

同时假定所有的相关因素，包括运输时间、感知成本和其它运营成本已给定，见表2(Tn根据式(3)计算得出).

表2　相关因素数据

根据调查和相关研究，参数数据见表3.

表3　广义出行费用参数表

运用粒子群优化算法将上述数据引入模型并求解，上层规划模型的迭代结果见图1.

如图1所示，经过87次迭代后，得到上层模型目标函数的计算结果.在该解法中，城市轨道运输和公交车运输的票价设定为(2.7,1.6)元，接近公共交通的真实定价水平.在上层规划模型中，目标函数显示的总体收入为2 866.46元，下层规划模型中的广义出行费用为303.75元，这也同样符合目标函数的最小值.

在上述实例中，可以看出运用双层规划模型可以较好地找到城市轨道交通的合理定价，也证明了粒子群优化算法在求解该模型中的可行性.

图1　上层规划模型的迭代结果

4结 束 语

由于城市轨道客运票价制定受到多种因素影响，定价水平应能平衡乘客和运营企业的利益.在现有研究的基础上，本文分别考虑了公共交通企业和乘客各自的利益，建立了城市轨道客运票价制定双层规划模型，并采用粒子群优化算法给出最优解.最后通过实例证明了基于粒子群优化算法的双层规划模型在轨道交通方式定价中的可行性和有效性，在今后的研究中，可推广应用于其它交通运输方式的定价中.

参 考 文 献

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Research on Particle Swarm Optimization Algorithm Based Bilevel Programming Model for Urban Rail Transit’s Pricing

PENG YameiYANG JiaqiZHAO Xueyu

(SchoolofTransportation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430000,China)

Abstract：As urban rail transit is one of the important transportation methods, the social and economic benefits of urban rail transit are both important. Therefore, a reasonable ticket price plays an important role for the stable development of urban rail transit. Under the conditions of impartial competition among several transportation models and meeting the demand of passengers' traveling service, the optimal strategy of ticket price formulation is determined and the Logit model for the selection of public transit methods is established in this paper. Meanwhile, considering the benefits of urban rail transit company and travelers respectively, this paper adopts the particle swarm optimization algorithm to establish the Bilevel programming model. The feasibility and utility of the established model are analyzed based on practical examples. The results demonstrate that the model is reasonable and effective in ticket pricing and helpful for the development of the urban rail transit.

Key words：urban rail transit; ticket price formulation; Logit model; Bilevel programming model; particle swarm optimization algorithm

收稿日期：2016-03-03

中图法分类号：U121

doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2016.03.029

彭亚美(1991- )：女,硕士生，主要研究领域为综合交通

*吉林省交通科技项目资助(多种交通运输方式协同营运组织与管理、长吉图综合交通运输网评估及优化)