王　琳,王雅婧

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030013)



*1耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值更精细的渐近式

王琳,王雅婧

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030013)

〔摘要〕文章运用《常微分算子谱论》中同阶无穷小的比较,给出了耦合边界条件下的Sturm-Liouville问题特征值的更精细的渐近估计.

〔关键词〕Sturm-Liouville问题;特征值;渐近式

0引言

对于Sturm-Liouville问题已经有了大量研究,文献[1-3] 得出Sturm-Liouville问题存在可数个实的单重特征值,并且给出特征值及特征函数的渐近式.

文献[4-5]分别给出了分离边界条件及耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值及特征函数的较精细的渐近式.本文将在文献[5]的基础上运用同阶无穷小的比较,给出耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值的渐近式(比文献[5]的结果更精细).

1预备知识

对于耦合边界条件下的Sturm-Liouville问题:

(1)

其中a,b,c,d,θ∈R,且ad-bc=1.

当势函数越光滑时,得到的渐近式的结果将会越精细.

设φ(x,λ),ψ(x,λ)分别为下面两个柯西问题的解:

记λ=s2,s=σ+it,则有:

当q∈C1[0,π]时,

引理3[5]当b≠0时,S-L问题(1)的特征值sn的渐近式为:

2b≠0时,Sturm-Liouville问题(1)特征值的渐近式

当q∈C3[0,π]时,可以得到比引理3更精细的结论:

定理当b≠0时,S-L问题(1)的特征值sn的渐近式为:

证明由边界条件得2cosθ+Acossπ+(bs+B)sinsπ=0,其中

将引理2中得到结论代入引理1可得:

将上面得到的φ(x,λ),ψ(x,λ)代入A,B,则:

于是,利用三角函数二倍角公式可得,

将上述结论代入2cosθ+Acossπ+(bs+B)sinsπ=0,令sn=n+δn,利用余弦函数的泰勒展式及引理3的结论,可得

所以特征值

参考文献：

[1]刘景麟.常微分算子谱论[M].北京:科学出版社,2009:52-60

[2]袁小平.混合自伴边条件下的正则Sturm-Liouville问题[J].内蒙古大学学报(自然科学版),1990,21(1):35-41

[3]曹之江.常微分算子[M].上海:上海科技出版社,1987

[4]陈莉敏.Sturm-Liouville算子特征值与特征函数更精确的估计[J].吉首大学学报(自然科学版),2013,34(3):12-14

[5]王琳,高云兰,姜朝宇.耦合边界条件下Sturm-Liouville问题特征值与特征函数的渐近式[J].内蒙古工业大学学报(自然科学版),2011,30(2):102-107

[6]陈莉敏.Sturm-Liouville算子特征值与特征函数的精确解[J].佳木斯大学学报(自然科学版),2012(1):155-157

[7]KONG Q,WU H,ZETTL A.Limits of Sturm-Liouville eigenvalues when interval shrinks to an end point [J].Royal Soc.Edinburgh Proc:A,2008,138(2):328-338

The Exact Asymptotic Formula of Eigenvalues of Sturm-Liouville Problems with Coupled Boundary Conditions

WANG Lin, WANG Yajing

(College of Mathematics in Shanxi University, Taiyuan 030013, China)

〔Abstract〕The problem of asymptotic formulas of eigenvalues of Sturm-Liouville problems with coupled boundary conditions was studied. It used the method of comparation of the same order infinitesimal, which has been used on Spectral theoryof ordinary differential operators. (The conclusion is more exact than ever).

〔Key words〕Sturm-Liouville problem; eigenvalue; asymptotic formula

*收稿日期：2015-11-14

基金项目：山西省煤基重点科技攻关项目(MD2014-6).

作者简介：王琳(1986-),女,山西临汾人,硕士,山西大学数学科学学院助教,主要从事微分算子研究.

〔文章编号〕1672-2027(2016)01-0023-03〔中图分类号〕O175. 3

〔文献标识码〕A