李长军, 任幸福

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络的周期解的存在性❋

李长军, 任幸福

(中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100)

摘要：由于具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络的应用越来越广泛，因此对其进行研究不但是理论需要也是应用需要。本文通过利用拓扑度理论和不等式技巧，研究了具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络周期解的存在性，给出了周期解存在的判据，并举例说明了所得结果的正确性，推广了相关文献[4，7]等的结果。

关键词：细胞神经网络； 拓扑度理论； 周期解； S-分布时滞

引用格式：李长军. 具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络的周期解的存在性[J].中国海洋大学学报(自然科学版)，2016, 46(5)： 138-144.

LI Changjun. The Existence of periodic solutions of Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed delays[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(5)： 138-144.

细胞神经网络是由Chua和Yang 1998年提出的一种人工神经网络[1-3]。它是一个大规模非线性模拟系统，且能高速并行计算，提高运行速度。目前，关于细胞神经网络的动力学行为研究已经有很多结果[4-7]。由于受到时滞，参数以及各种随机因素的影响，细胞神经网络表现出了复杂的动力学行为。因此被应用于各种复杂的力学、化学、电磁学以及生物学等各个领域[7-13]。因为离散时滞与分布时滞互不包含，而S-分布时滞包含这两部分，所以本文用S-分布时滞替换原有的离散时滞与分布时滞，解除了人们的困扰，同时又加上了中立型，将已有的结果进行了推广，使得具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络的应用更加广泛，更具有研究的必要性。本文通过利用拓扑度理论和不等式技巧，研究了某种具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络周期解的存在性，给出了周期解存在的判据，并举例说明了所得结果的正确性，推广了文献[4,7]等的结果。

1模型

首先给出具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络系统的数学模型：

(1)

假设：

定义映射L,N如下：

L:X→Y

N:X→Y

2预备知识

为了方便起见，引入下面一些符号说明：

定义 2.2设X,Y是两个向量空间，L:DomL⊂X→Y是一线性映射，如果dimker=codimImL<+∞和ImL是Y中的闭集，则称映射L是一零指标的Fredholm算子。

设L:X→Y是一个零指标的Fredholm算子,记

对所有的有界子集A∈X}。

引理2.1[5]设L:X→Y是一个零指标的Fredholm算子,Ω⊂X是有界开集，并且关于0∈Ω对称,N:Ω→X是k-集合压缩映射且k

引理2.4[10]令，如果x:[0,+∞)→R是周期的，则

gi(t,x,x1,…，xn,z)-gi(t,u,u1,…，un,z)=

所以，

3周期解的存在性

现在讨论系统(1)的周期解的存在性。

D=diag(1-pa1,L,1-pan)。

定理3.1若在条件(T1)-(T3)下，且下列条件成立

证：(1)考虑算子方程：

(2)

(3)

(4)

因此，可得

由上式，则有

AX≤BY+H

(5)

其中，

由(T2)、(T3)和引理2.7可得

所以，

其中1-aipi>0，上式等价于

DY≤CX+H

(6)

由(5)和(6)可得

由(T5)可得

即：

(7)

类似可得

将方程(3.2)两端从0到ω积分，有

由假设(T2)、(T3)和引理2.7和Cauchy-Schwarz不等式知

(8)

另一方面，由方程(3)可得

(9)

则由式子(8)和(9)，可得

同理可得

所以，综上可知

将(3.2)从0到ω积分，得

所以，

又因为

-Bi。

其中,

由系统(3)、条件(T2)和(T3)可得

(2)定义投影算子：

不失一般性，设x≡M，

则取适当大的A0和C0使得

则

同理可得

所以可得，QNx≠0,∀x∈∂Ω∩kerL。

4举例

例考虑二维具有S-分布时滞的中立型细胞神经网络系统，

且各个参量的取值结果如下：

显然D是一个对角阵且dii>0，又因为

1.6663>0,1.7726>0,-0.3525<0,-0.2925<0

且det(A-BD-1C)=2.8506>0。

所以矩阵A-BD-1C为非奇异的M矩阵。上述二维系统满足定理3.1的所有条件，因此该系统至少有一个以2π为周期的解。

5结语

本文通过利用拓扑度理论和不等式技巧，证明了此类具有S-分布时滞的中立型神经网络系统的周期解的存在性，并给出了周期解存在的判据。在研究的过程中猜测此系统的周期解还具有稳定性，但是由于该系统的复杂性以及个人专业知识的欠缺，没能证明该系统周期解的稳定性。此类问题还有待于近一步研究。

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责任编辑陈呈超

The Existence of Periodic Solutions of Neutral Type Cellular Neural Networks with S Type Distributed Delays

LI Chang-Jun, REN Xing-Fu

(School of Mathematical Sciences, Oceean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:With the development of science and technology, the Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed Delays were widely used in many fields. So its study is not only needed by theory but also by practice. By using the theory of coincidence degree and with the help of methods of differential inequality, the problem on the existence of periodic solutions of Neutral type Cellular Neural Networks with S type distributed Delays was studyed. A criterion of periodic solutions was obtained. An example was given to demonstrate the accuracy of the proposed results and some results were extended in the paper.

Key words:Cellular Neural Network; coincidence degree theory; periodic solutions; S type distributed delays

基金项目：❋国家自然科学基金项目(41275013)资助

收稿日期：2014-06-15；

修订日期：2015-04-20

作者简介：李长军(1956-)，男，博士，副教授，主要分析领域为复分析，离散群几何。E-mail:licj@ouc.edu.cn

中图法分类号：O175

文献标志码：A

文章编号：1672-5174(2016)05-138-07

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20140174

Supported by National Natural Science Foundation of China(41275013).