张　屹，万兴余，郑小东，孙莉莉

(三峡大学机械与动力学院，湖北宜昌443002)



基于正交设计的元胞多目标遗传算法

张屹，万兴余，郑小东，孙莉莉

(三峡大学机械与动力学院，湖北宜昌443002)

摘要：元胞多目标遗传算法在求解两目标优化问题时是比较高效的.但是，初步实验显示其在求解三目标优化问题(例如DTLZ系列)时，表现不是十分令人满意.为了进一步提高算法的性能，引入了正交设计的思想，提出了基于正交设计的多目标元胞遗传算法.在改进算法的迭代过程中，先对父代个体进行分段，之后按照正交表来对这些片段进行重新组合产生多个子代个体，然后从这些子代个体中找出适应度较优的进入下一代种群.实验结果表明，引入正交设计思想能够提高算法性能，与其他优秀算法进行比较的结果说明，改进算法求解三目标问题(DTLZ系列)也是具有竞争力的.

关键词：多目标;元胞遗传算法;正交设计;函数优化

1　引言

现实中很多优化问题常常同时涉及到相互冲突的多个目标，称之为多目标优化问题.近年来，进化算法在多目标优化中得到了广泛应用的同时也遇到了很多挑战［1，2］.目前为止，这个领域中著名的算法有NSGAII［3］、PAES［4］、SPEA2［5］、MOEA/D［6］和MOCell［7］等.这些算法中，大部分的算法都是使用单一种群.与此相对应的是，存在一些所谓的结构化进化算法，即在一定程度上对种群进行分散处理.种群的分散处理大致包括两种方式，一种是分布式，另一种是元胞式.元胞式遗传算法已经被证明在解决很多单目标优化问题时非常高效［8］.Kirley M提出了一种集合种群进化算法(MEA)［9］，这种算法是以在种群中偶尔发生灾变机制为特色的元胞模型，当灾变发生的时候，灾变区域的所有个体都会灭绝同时这个空的区域也会被其他个体占据.Alba提出了cMOGA［10］算法，这是当时基于典型元胞遗传算法(cGA)模型的一个元胞多目标算法.在cMOGA的基础上，为了更加适应多目标优化领域的要求，Antonio J Nebro等提出了MOCell算法.MOCell与cMOGA相比的一个主要改进就是引入了反馈机制，即在每次迭代完成后会将一定数量的解从外部文档返回到种群中，随机替换掉种群中相等数量的个体.

相关研究表明MOCell在解决大多数两目标优化问题时具有比较高的效率.但是，初步试验表明，MOCell算法在求解三目标优化问题时有较大困难，这一点用MOCell求解DTLZ系列问题可以看出.

鉴于MOCell算法的优点，很多学者对此进行了研究，主要涉及邻居结构［11］、选择机制、交叉机制以及与其他算法混合等.Juan J Durillo等将MOCell与差分进化算法相结合［12］，使用差分算子替换掉MOCell中的交叉和变异算子，试验结果表明这种改进能够较好的解决DTLZ系列问题.Asmaa Al-Naqi等将自适应三维拓扑结构引入元胞遗传算法［13］，种群被放置在三维空间中并且动态调整遗传参数，试验结果表明这种改进方法在搜索效率方面得到了较大提高.

本文借鉴正交设计的思想，以MOCell为基础提出了基于正交交叉的多目标元胞遗传算法(Cellular Genetic Algorithm for Multiobjective Optimization Based on Orthogonal Design，ODMOCell).正交交叉在一次操作中就可以产生多个子代个体，而根据正交表均衡分散的特点，这些个体都是在父代个体周围均衡分布的，能够加强算法的局部搜索能力.实验结果表明，ODMOCell算法与其他几种典型的算法相比，有一定的竞争力.

2　典型元胞遗传算法(cGA)

典型cGA的基本思想如算法1所示，在这个基本cGA中，种群被放置在一维、二维或者三维的网格中，然后对个体的邻居进行定义.算法在执行过程中，逐一对种群中的每个个体进行操作(第3行)，每个个体只能与它周围的邻居进行交流(第4、5行).对选出的父代个体进行交叉操作(第6行)和变异操作(第7行)，然后对得到的子代个体进行适应度评价(第8行)，如果产生的子代个体符合一定条件，就将其插入辅助种群中(第9行).每一次迭代完成后，新产生的辅助种群被当作下一次循环的新种群(第11行)，如此循环直到满足循环终止条件为止(第2行).

3　基于正交设计的多目标元胞遗传算法(ODMOCell)

不少学者对正交设计在算法中的应用进行了相关研究，取得了较好的效果［14～20］.受到这种启示，为了进一步提高多目标元胞遗传算法的性能，使得在求解DTLZ系列问题时也能具有较好的效果，将正交设计技术引入到MOCell算法中.

ODMOCell算法的流程如算法2所示，首先，配置算法中需要用到的参数(第1行)，例如交叉概率，变异概率，邻居大小等;其次，创建一个空的Pareto前端文件用来存放算法在运行过程中找到的非支配解(第2行);然后，依次对种群中的每个个体进行取邻居、选父代个体、设计正交交叉、交叉操作和变异操作等(第5-9行);紧接着对得到的子代个体进行适应度评价(第10行);然后将子代个体按照一定的规则插入到辅助种群和Pareto前端文件中(第11，12行);接下来将辅助种群作为下一代进化的新种群(第14行);最后，调用反馈机制将Pareto前端文件中的部分个体随机替换掉种群中的等量的个体，形成下一次迭代开始的初始种群.如此循环直到满足终止条件为止(第3行).

正交交叉算子主要用于指导父代个体的结合方式.按照正交表的规则构造出的交叉算子称为“正交交叉”算子(OXC).在此，以L8(27)为例进行说明.

图1中，P1，P2是两个父代个体，O1、O2至O8都是按照7因素2水平正交表生成的子代个体，其中O1与P1完全相同，因此父代个体中的P1被保留到了子代，然后所有的子代个体之间进行竞争，选出最好的一个个体进行下一步的遗传操作，这种方式在一定程度上保护了好的父代个体免遭交叉操作的破坏.

如果算法中的个体编码方法用的是实数编码，则可以对父代个体的每个基因位进行离散操作，具体方法如下:

(1)取出两个父代个体，

(2)取出每个基因位上的最大值和最小值，min(e1i，e2i)，max(e1i，e2i).

(3)将每个基因位离散化为Q个水平，

(4)选择与Q个水平相对应的正交表生成下一代个体.

尽管可以将因素较少的试验安排在因素较多的正交表中，但是这样做并不是非常好.还是希望尽可能的将试验安排在因素大小刚好合适的正交表中.而且，有些时候个体的编码串会很长，要构造出这样的正交表并且按照这种正交表进行子代个体的组合，计算开销会特别大.我们的目标是无论编码串有多长，都可以使用正交交叉.为了达到这个目的，采取的方法是将代码串进行分解，将分解后得到的每个小段当做一个整体作为一个因素.如果想要使用L8(27)正交表，则需要将父代个体的编码串分割为7小段，如果想要使用L9(34)正交表，则需要将父代个体的编码串分割为4小段，同时将两个父代个体的对应基因位离散化为3水平.

对基因串进行分割的具体方法是这样的.首先，随机产生m个正整数(m个数将基因串随机分割为m +1段，也就是m + 1水平)，1≤H1＜H2＜…＜Hm＜n;其次，将分割后的子串处理为新的因素:

4　实验与结果分析

下面主要是对改进算法(ODMOCell)的性能进行评估.首先，介绍了文中要用到的测试函数;其次，对需要用到的性能指标进行了说明;再次，将改进算法与它的初始算法(MOCell)以及MOCell的改进算法CellDE的性能进行了比较，以便判断引进正交设计是否能够提高算法的性能;最后，将改进算法与多目标优化领域几个经典算法(NSGA-II、SPEA2等)进行比较.

4.1测试函数

本文选用多目标优化领域经常采用的测试函数作为测试基准函数，包括ZDT［21］系列，WFG［22］系列和DTLZ［23］系列，其中ZDT系列是两目标测试函数，DTLZ系列是三目标测试函数.WFG系列可以按照需要进行配置，使其具有不同的特性(凸、非凸、离散等).在本文中，使用的WFG系列都配置成为三目标优化函数.

4.2性能指标

本文选取HV与IGD两个评价指标对算法性能进行综合评价［24］，另外还选取GD指标对收敛性进行评价.

(1)超体积(Hypervolume，HV［25］)

超体积是用来计算获得的Pareto解集个体在目标域所覆盖的体积.这个指标可以对收敛性和多样性进行综合评价，其计算公式如式(2):

式中Q为所获得的Pareto前端的个数.对于这个Pareto前端中的每一个个体i，vi是由参考点W =(0，…，0)和成员i所形成的超体积，此指标越大表明所得的Pareto解集越能宽广地分布在其前端上.因此，其取值越大越好.

(2)反转世代距离(Inverted Generational Distance，IGD)

IGD是收敛性评价方法GD的反转，它计算Pareto面上均匀点到非支配解集上最小距离的平均值，其表达式如式(3)

其中，P*是覆盖整个Pareto最优面的均匀点，d(v，D)表示点v到非支配解集NDS中个体的最小欧氏距离，IGD能综合评价解集的收敛性和多样性.

(3)世代距离(Generational Distance，GD)

Van Veldhuizen和Lamont［26］提出这个指标，用来评估得到的非支配解集与真实Pareto最优解集之间的距离，是一种评价收敛性的指标.定义如式(4)

其中，n是非支配解集中非支配解的个数，di是在目标空间中每个非支配解与离它最近的真实解的欧氏距离.当GD =0时，说明得到的所有非支配解都属于真实Pareto最优解集.为了得到可靠的结果，这些得到的非支配解在计算欧氏距离之前都进行了归一化处理.这个指标的取值越小越好.

4.3改进算法(ODMOCell)与MOCell、CellDE进行比较

首先将改进算法与MOCell以及CellDE进行比较，以便确定引入正交设计可以提高算法的性能.选用的测试函数由ZDT系列、DTLZ系列和WFG系列组成，这些问题的特征已经足够支持其得到的结论.算法的参数配置如表1所示.

按照表1中的参数配置好算法后，开始执行算法.由于进化算法在执行后得到的结果有一定的概率性(多次运行得到的结果可能不一样)，因此，所有算法都独立运行50次，并对得到的结果进行统计学分析.

实验结果如表2～4所示，为了方便查看，表中每个问题的最优值都用波浪线标出，次优值都用点划线标出.

表1　算法参数配置

表2　HV的平均值和标准差

表2是HV指标的平均值和标准差，这个指标是对算法的多样性和收敛性进行综合评判，其取值越大越好.从表2中可以直观的看出，在21个测试问题中，ODMOCell得到了12个问题的最优值，CellDE得到了6个问题的最优值而MOCell只得到了3个问题的最优值.在这个指标中，ODMOCell具有明显的优势.对表2的结果做更细致的分析，在两目标测试问题ZDT系列上，ODMOCell得到了4个最优值，MOCell得到了1个最优值而CellDE一个最优值也没有得到，表明在ZDT系列问题上，ODMOCell具有显著优势;在三目标测试问题WFG系列上，ODMOCell得到了4个问题的最优值，CellDE得到了4个问题的最优值而MOCell只得到了1个最优值，这说明在WFG系列问题上，改进的算法性能与CellDE差别不大，但是与MOCell相比，有显著优势;在三目标测试问题DTLZ系列上，ODMOCell得到了4个最优值和3个次优值，CellDE得到了2个最优值和2个次优值而MOCell只得到了1个最优值和2个次优值，说明在解决DTLZ系列问题时，ODMOCell算法优势较明显.

表3　GD的平均值和标准差

表3是GD指标的平均值和标准差，从表中可以直观的看出，在21个测试问题中，ODMOCell得到了15个问题的最优值，MOCell和CellDE各得到了3个问题的最优值.在这个指标上，改进算法的优势较为明显.对表3的结果做更细致的分析，在两目标测试问题ZDT系列上，ODMOCell得到了4个最优值，MOCell只得到了1个最优值而CellDE一个问题的最优值都没有得到，在这个问题上，ODMOCell显著胜出;在三目标测试问题WFG系列上，ODMOCell得到了5个最优值和4个次优值，CellDE得到了2个最优值和0个次优值而MOCell得到了2个最优值和5个次优值，这说明在WFG系列问题上，改进的算法有显著优势;在三目标测试问题DTLZ系列上，ODMOCell得到了6个最优值和1个次优值，CellDE得到了1个最优值和1个次优值而MOCell得到了0个最优值和5个次优值，说明在解决DTLZ系列问题时，ODMOCell算法优势依然较显著.

表4　IGD的平均值/标准差

表4是IGD指标的平均值和标准差，从表中可以直观的看出，在21个测试问题中，ODMOCell得到了7个问题的最优值，MOCell和CellDE各得到了6个和8个问题的最优值.在这个指标上，改进算法的整体优势不是很明显.但是，在三目标测试问题DTLZ系列上，ODMOCell得到了4个最优值，CellDE得到了2个最优值而MOCell得到了1个最优值，说明在解决DTLZ系列问题时，ODMOCell算法优势依然较显著.

综合以上分析，我们可以得出结论，从总体上来看，改进算法较其他两个算法性能明显得到了提高.虽然在解决WFG系列时，改进算法的性能与CellDE相比，优势不是十分明显.但是，在解决ZDT系列和三目标优化问题DTLZ系列时，改进算法的优势都比较显著.这也说明，本文引入正交设计思想，能够在一定程度上提高算法性能.

4.4改进算法(ODMOCell)与其他算法比较

为了清楚改进算法与其他算法相比的竞争性，将改进算法与多目标优化领域的两个经典算法进行比较，即与NSGA-II和SPEA2算法进行比较.

NSGA-II算法是由Deb等提出来的，它是以个体的Pareto秩与拥挤距离作为密度评估指标.本文中，NSGA-II算法的参数配置如下，交叉概率为0.9，变异概率为1/n(n是决策变量的个数)，交叉算子用的是SBX交叉，变异算子用的是多项式变异.种群大小设置为100，算法终止条件是35000次函数评价.

SPEA2算法是由Zitler等人提出的，它是对SPEA的改进版.SPEA算法存在如下缺陷:一是根据SPEA的适应度赋值过程，被相同文档个体支配的种群个体适应度相同，这意味着当外部文档只包含一个成员时，无论种群个体之间是否存在支配关系，所有种群个体都具有相同的适应度值，这种情况下SPEA与随机搜索类似;二是聚类分析能够减少非劣解集的大小，但它可能错误的删掉一些必须保存在非劣解集中的个体，影响算法的多样性.针对SPEA的上述缺点，Zitler等在适应度赋值、个体密度值计算方法和外部文档维护三个方面对SPEA进行了改进，提出了SPEA2算法.本文中，SPEA2算法的参数配置如下，种群大小和外部文档的大小都设置为100，其他参数与NSGA-II算法的参数相同.每种算法独立运行50次，实验结果如表5和表6所示，表格中每个问题的最优解都用波浪线标出.

从表5可以看出，在HV指标上改进算法ODMOCell得到了12个问题中的8个最优值，SPEA2得到了12个问题中的3个最优值而NSGA-II只得到了1个最优值.所以，就HV指标而言，与其他两个算法相比ODMOCell具有明显优势.在求解DTLZ系列问题时，ODMOCell得到了7个问题中的3个最优值，SPEA2也得到了7个问题中的3个最优值，所以在求解DTLZ系列问题时，这两个算法的性能没有显著差异，但都比NSGA-II的性能要强，因为NSGA-II只得到了7个问题中的1个最优值.

表5　HV的平均值/标准差

表6　GD的平均值/标准差

从表6可以看出，在GD指标上ODMOCell得到了12个问题中的11个最优值，SPEA2得到了12个问题中的1个最优值，而NSGA-II一个最优值都没有得到.因此，ODMOCell在GD指标上比其他两个算法具有显著优势.

综合以上分析我们可以得出结论，ODMOCell与NSGA-II、SPEA2相比，还是有较强的竞争力.为了直观的显示出ODMOCell算法的性能，从50次运行结果中挑出每个算法得到的较好结果，将其与问题的真实Pareto前端画在一个图形中.由于数据量较大，这里只作出差异最为显著的DTLZ6问题的图形.

图2，图3，图4和图5都是在50次运行结果中找出的每个算法效果较好的数据作出的图形，从图中可以很直观的看出MOCell、NSGA-II、SPEA2都收敛不到DTLZ6问题的真实前端，只有ODMOCell收敛到了DTLZ6的真实前端，从图形上还可以看出，改进算法ODMOCell求出的非支配解沿着真实前端的分布非常均匀.其他问题的图形，在收敛性和均匀性上也存在一些差异，但是由于不是十分明显，列出之后不易看出(从性能指标的数值中可以看出)，另外限于篇幅，也不再一一列举.

5　结语

MOCell在求解三目标优化问题时存在一定的困难，即在求解DTLZ系列问题时表现不是非常令人满意.针对这一点，同时也为了进一步提高算法的性能，本文引入正交设计的思想，利用正交表均衡分散的特点从父代个体构造出多个子代个体，然后选取其中最优的个体进入下一代种群.在改进的算法中，也使用了MOCell中邻居的概念，这样每个个体邻居的重叠部分既使得算法能够对整个解空间进行全局搜索，又能控制住种群中较优个体的扩散速度，可以在一定程度上避免早熟问题.用多目标领域内流行的测试问题对算法性能进行测试，实验结果表明，改进算法在HV和GD指标上都比文中的对比算法有较明显的优势，说明从收敛性和均匀性上综合考察，改进算法具有一定的竞争力.特别的，从DTLZ系列问题上来看，改进算法也是有较好的性能表现.后续工作将考虑把算法与实际问题结合起来，扩大其适用范围，在实际问题中对算法进行应用并改进.

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张屹男，1976年12月出生，甘肃兰州人，博士、副教授、硕士生导师、国家自然科学基金委机械学科评审专家.分别于2000年、2005年在中国科学技术大学获工学学士学位和工学博士学位; 2006年至2008年在中国科学技术大学工程学院力学博士后流动站从事博士后研究，主要研究方向为机电系统现代设计方法、智能计算等.E-mail: jxzhangyi1976@126.com

万兴余男，1988年12月出生，湖北黄冈人，2012年获三峡大学工学学士学位，现为三峡大学机械电子工程硕士研究生，主要从事多目标优化方面的研究.

E-mail: wanxingyuhui@163.com

Cellular Genetic Algorithm for Multiobjective Optimization Based on Orthogonal Design

ZHANG Yi，WAN Xing-yu，ZHENG Xiao-dong，SUN Li-li
(College of Mechanical and Power Engineering，China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China)

Abstract:Multi-objective cellular genetic algorithm has proven to be effective in solving bi-objective MOPs.However，preliminary experiments have revealed that it has difficulties when dealing with three-objective MOPs(the DTLZ problem family).In order to enhance the performance，the orthogonal design idea is introduced and a new cellular genetic algorithm called cellular genetic algorithm for multi-objective optimization based on orthogonal design is proposed.In the progress of iteration of improved algorithm，the parent individuals are divided into many segments，and then several offsprings are produced by recombining the segments according to the orthogonal table，finally，choose the individuals which have better fitness value from the offsprings to the next population.The experiments show that the performance is improved after introducing the orthogonal design.Compared with several state-of-the-art multi-objective metaheuristics，the obtained results show that the improved algorithm is competitive for DTLZ problem family，too.

Key words:multi-objective; cellular genetic algorithm; orthogonal design; function optimization

作者简介

基金项目:国家自然科学基金(No.51275274);三峡大学研究生科研创新基金(No.2013CX029)

收稿日期:2014-04-23;修回日期: 2014-07-21;责任编辑:孙瑶

DOI:电子学报URL：http: / /www.ejournal.org.cn10.3969/j.issn.0372-2112.2016.01.013

中图分类号：TP18

文献标识码：A

文章编号：0372-2112(2016)01-0087-08