江苏省丹阳市第五中学　(212300)　林伟民



数学课堂动态生成的应对策略*

江苏省丹阳市第五中学(212300)林伟民

数学课堂是一个充满思考的课堂，课堂教学是一个动态生成的过程.由于学生在认知、经验、思维水平上的差异，使得数学课堂呈现出多变性、丰富性和复杂性，加之教师面对的是一个个具有独立思维能力的学生，教学过程中随时都会有“意外生成”.这些生成资源来自于学生学习的顿悟、灵感的萌发或者是瞬间的创造.教师应对这些动态生成的问题，需要有丰富的经验、高度的智慧以及相应的策略，处理得当，可以使课堂在师生的互动中变得更加精彩纷呈.下面结合笔者的教学实践，谈谈数学动态生成课堂的几种应对策略.

一、顺应学生思维发现美丽风景

华东师范大学叶澜教授指出：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景.”虽然教师在备课时做了充分的预设，但课堂上学生的奇思妙想和灵感还是会不期而至.对于预设之外的学生的想法和思路，教师应充分运用自身的经验和智慧，迅速判断出方法的可行性，顺应学生的思维继续探究前行，师生共同在数学活动中发现美丽的风景.

图1

案例一如图1，在平面直角坐标系xoy中，圆C：(x+1)2+y2=16，点F(1，0)，E是圆C上的一个动点，G是圆上的另一个动点，且满足EF⊥FG．记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

分析： 教师课前预设了两种思路:

图2

由于上面的方程组中有四个未知数x1、y1、x2、y2，三个方程不能把x1、y1、x2、y2四个未知数全部解出来，学生的思维受阻.

课堂上教师本可以对以上学生的思路搁置一旁，按课前预设的方法另辟蹊径.但为了充分运用课堂生成性动态课程资源，消除学生的疑惑，教师应该顺应学生的思维进行深入的分析和探讨,对学生的思路进行可行性分析和价值判断.

教师：以上的方程组虽然不能分别求出四个未知数x1、y1、x2、y2，但我们的目标不是要去求出这四个量的值，我们只需判断MO是否为定值，因此我们可以探究运用未知的四个量x1、y1、x2、y2来表示MO2，再利用上面方程组中的三个等式，尝试能否将未知量消除得到定值.

在教师的启发下，学生有了以下的成功做法：

教师进而进一步总结：这种方法的实质是运用了解析几何中常用的“设而不求”的方法，四个未知数x1、y1、、x2、y2虽然求不出来，但最终未知量得以消除而得到OM是个定值.

教师对预设之外的思路的进一步探求，既肯定了学生思维的价值所在，保护了学生思考的积极性，也为学生指出了解题思路受阻的原因，体会到了解析几何中的“设而不求”和整体思想的妙用.

二、借错误资源揭示问题本质

心理学家盖耶认为：“谁不愿意尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻.”当一些关键的、隐蔽的错误被教师及时利用成为全班学生新的学习材料时，学生的探究兴趣将被大大激发.

案例二7人排成一排，甲、乙、丙三人互不相邻，有多少种排法？

教师：你解释一下这个算式的意义.

这种方法比用插空法多出了720，我想知道这种解法错在哪里？(这个问题的出现，引起了同学们强烈的好奇心和探究欲.在此情此景下，回避不是上策，教师顺势将此疑问作为课堂的生成性资源加以利用，让学生在教师的指导下做一番研究，看看到底错在哪里？)

教师：排列组合问题中，找到一个错误解法的错因可能比给出一个正确的解法更难.既然大家都对此感兴趣，我们就一起来研究一下，问题究竟出在哪里？(课堂上一阵无声的思考后，仍没有什么动静.凭借自己的解题经验，笔者已经觉察到其中的猫腻，但思路尚未完全清晰.于是决定带领学生从具体情况入手用穷举的方法寻找错因.)

教师：甲乙在一起的排列中，丙也靠在他们一起的排列有多少种？

教师：为了检验它的正确性，我们不妨来排一排.先不考虑甲乙丙之外的4个人，就排出甲乙在一起时丙也靠在它们一起的排列，我们用(甲乙)表示甲乙相邻，且甲乙不能分开(此限制非常非常的关键！).

学生很快排出：(甲乙)丙、(乙甲)丙、丙(甲乙)、丙(乙甲).

教师：甲乙丙三个元素在一起一共有多少种排法啊？

学生：六种，具体为：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲.

教师：你看出了两者的差异了吗？(其实教师也是顿悟)

学生豁然开朗：甲乙在一起时丙是不能插入到甲乙之间而出现甲丙乙、乙丙甲这样的排列！

本节课上教师引领学生通过穷举，让模糊的感觉变得具体而清晰，最终走出了思维困境，错解的原因得到揭示，教师的教学实践智慧也得到了丰富.

在课堂教学中，教师利用“错误”资源，因势利导，引领学生通过查错、思错、纠错活动，使其充分暴露出错的过程，这样不仅能帮助学生加深了对知识的理解，而且培养了他们思维的严谨性和批判性，使课堂走入“柳暗花明又一村”的新境界.

三、品味思想方法 感受数学魅力

如果说数学家的数学活动是一种独立的探索、发现与创造的数学活动, 那么, 数学教学中的数学活动更多的是在数学教师引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的数学活动.虽然数学活动的目的更多地是为了“接受”已经发现和创造的数学，但教师在激发了学生数学活动的动机, 充分调动了学生的内在积极思维后，课堂上随时会迸发智慧的火花，生成出精彩的数学方法.教师要抓住时机，让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法，感受数学的魅力，提高学生的数学素养.

案例三空间几何体表面积的探求

这是笔者听的一节《空间几何体的表面积》公开课，在探究多面体的侧面积公式时，教师放手让学生自主探究如何求多面体的侧面积.课堂观察发现，学生从两个角度去探究，角度一：求出各个侧面的面积然后相加；角度二：作出侧面展开图，将空间问题转化为平面问题.

四、辨析方法优劣优化数学思维

课堂上引导学生不满足于一得之见，各显神通探究解法，可以营造出百花齐放的课堂氛围.教师再组织学生辨析方法的优劣，各抒己见，优化数学思维，既有效地提高了学生的解题能力，又对学生积极思维生成的各种解法做出了全面的回应.

案例四已知直线l:2mx+(1-m2)y-4m-4=0，若对任意实数m，直线l与一定圆相切，求该定圆的方程.

由题设条件：对任意实数m，直线l都与所设圆相切，故上式是一个关于实数m的恒等式，m各次项的系数和常数均应为0，解得x0=2,y0=2,r=2，故定圆方程为(x-2)2+(y-2)2=4(图3).

学生方法二：m取几个特殊的值，得到特殊的几条直线，求出这些直线的内切圆，再进行检验即可.

学生方法三：将直线l的方程整理成关于m的一元二次方程ym2-2(x-2)m+4-y=0，令判别式为0，得4(x-2)2-4y(4-y)=0，整理得(x-2)2+(y-2)2=4.

课堂上学生在辨析方法优劣时认为：第一种方法思维脉络清晰，但是整理方程的计算量比较大，对运算和变形能力要求较高；第二种方法运用特殊的几条直线先求出定圆方程再检验一般情况，可操作性比较强，计算量也不大.第三种方法表面上虽然一步就能得到圆方程，但是就连用此方法的学生自己也说是歪打正着，不知道其所以然.但也有学生认为，既然可以得出定圆方程，可能不是巧合，必有其隐含的内在道理.因此有必要对它进行深入的研究，解题的依据如下：

关于x，y的二元一次方程2mx+(1-m2)y-4m-4=0表示的无数条直线与一个定圆相切，那么这无数条直线就是这个定圆(圆心为(2,2)半径为2的圆)的包络线.给定一个m，对应着包络线中的一条.反过来，给定一个点(x,y)，过点(x,y)的包络线可能有两条(关于m的方程两解)，可能有一条(关于m的方程一解)，也可能没有(关于m的方程无解).令判别式为0，实际上就是要求过点(x,y)的圆的包络线只有一条，这时点(x,y)就是包络线与定圆的切点，且都分布在定圆上，判别式为0得到的

关于x,y的二元二次方程就是所求的定圆的方程.对圆的包络线的理解可以借助几何画板进行直观的演示(图4)：

图3 图4

对第三种思路，教师如能在课堂上直接对学生作出科学合理的解释，可以使学生茅塞顿开，但对教师的数学素养和解题能力要求较高.也可以把它作为研究性学习的素材，在教师的指导下让学生进行合作探究.

动态生成是数学课堂的一种常态，数学又是“思维的体操”，要能够灵活处置课堂“突发事件”，充分运用动态生成型课程资源，教师除了要在课堂实践中逐步积累经验，平时还要注意深入研究数学问题，阅读数学书刊，提高数学素养，以厚实的数学功底和灵活的应变能力创造出充满智慧的数学课堂.

*本文是2011年江苏省教学研究第九期重点课题“基于问题生成的数学动态课堂的教学策略研究”(课题批号2011JK9-Z061)研究成果.