钮晓杰

全等三角形这一章的学习全部结束后，周末在家复习，我发现了一系列的问题，实在让我兴奋，于是便迫不及待地整理出来了，现和同学们分享！

问题引子：如图1，在△AEC、△ADB中，∠EAC=∠DAB=90°，AE=AC，AD=AB，连接BE、DC，请说明线段BE、DC的关系.

思考过程：这题很特别，图中有两个等腰直角三角形，这两个三角形很好玩，直角顶点是公共的，它们就像“手拉着手的好朋友”一样，肯定会擦出火花. 老师在课上都是边读题边在图中标注，我为了方便观察，也把相等的边和角用彩笔标注出来（很遗憾，电子稿看不出来，说明一下：AE、AC用红色标注，AD、AB用蓝色标注），因为研究的是BE、CD的关系，所以我把目光落到△EAB、△CAD上，正好分别有红边、蓝边各一条，现在“边”的条件用光了，就得挖掘“角”的功效了，而我只能证相等两边的夹角相等，因为如果我选其余的角，那就是典型的“边边角”结构，这是不能证明三角形全等的. 怎么办呢？还有两个直角没有用呀！两个直角之间隔了个∠BAC，各自加上这个锐角，不就有两个相等的钝角了嘛，正好是“SAS”结构，可证出△BAE≌△DAC，所以BE=DC. 思考历程结束了吗？并没有. 题目问的是“BE和DC的关系”，应该包括数量关系和位置关系（这是我们同学常常犯错的地方，考虑问题不全面），相等仅仅是数量关系. 我目前知道的特殊的位置关系无非是平行和垂直，观察这幅图，我猜想应该是垂直. 所以，我需证∠DFB是直角，也就是证∠FBD+∠FDB=90°. 刚才的那对全等三角形是一把利器，要把它的价值发挥到最大，全等带来的∠ABE=∠ADC让我成功地把∠FBD“割开”，变成∠ADC+∠ABD，再加上∠FDB，就变成∠ADB+∠ABD=90°，所以BE、DC的位置关系是垂直，于是最终得出结论：BE、DC垂直且相等（当然，我们也可以充分运用“基本图形”：对于△ADG、△BGF，结合全等三角形带来的∠ABE=∠ADC，可以得到∠DAG=∠BFG=90°）.

更大发现：我们不是为了做题而做题，更应该发现问题背后的价值.本题从静态的角度看，是两个有着公共顶点的等腰直角三角形组成了一对全等的三角形，而从动态的角度看，是△BAE绕A点逆时针旋转90°到△DAC. 这是老师说过的基本图形“手拉手”问题，我梳理了一下我目前遇到的问题，有些问题表面与它不一样，其实本质完全相同，我们只要会做一题，就会做很多类似的题目了，这可能就是老师常常说的举一反三吧.下面来看两个例子：

例1 如图2，在等边三角形ACB、CDE中，连接AD、BE.

（1） 求证：AD=BE；（2） 求∠AFB的度数.

例2 如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AED，连接BE、CD交于点F.

（1） 求证：△ABE≌△ACD；（2） 求∠ACD的度数.

怎么样，同学们，这两个问题看着似乎与前面的不一样，其实它们是一样的哦！随着学习的深入，“手拉手”的图形肯定会有很多，其他基本图形也将会很多，我很期待，你们呢？

【教师点评】小作者能在刚刚结束全等三角形的学习之后，联想到“手拉手”的图形，如此触类旁通的学习能力值得推崇. 另外，他能把课堂上学习标注的习惯用好，这对他日后增强识图能力，提供了有力的保障. 以上两点真心希望其他小读者也能做到！

（指导教师：姜鸿雁）