潘淑淑

一、教材分析

《函数的单调性》是人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，它是研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域（或最值）、定义域、不等式、比较两数大小、求方程的根的个数（或函数的零点的个数）等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

二、学情分析

本节复习课安排在必修一所有内容都完成后的一节期中复习课。依据现有认知结构，学生能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大，函数值增大”的变化趋势，且能用符号语言进行严密的代数证明。在教学过程中，要注意让学生掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿整个学习过程。

三、教学目标

1.会用定义证明函数的单调性

2.会用函数的单调性解决函数根的个数、函数的值域等问题

3.体会函数思想、化归思想、数形结合思想

在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程；利用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且“取值、作差与变形、判断、结论”过程学生不易掌握。所以对教学的重点、难点确定如下：

四、教学重点

函数的单调性的判断与证明。

五、教学难点

函数的单调性的灵活应用。

六、课前准备

学生复习函数单调性的定义，并完成题目：已知函数

①用定义证明函数在[0，+∞）上是增函数；②求出函数的单调区间；

七、教学设计

[教学环节 问题展示 设计意图 课前预习 已知函数①用定义证明函数在[0，+∞）上是增函数； 复习用定义法证明函数的单调性，强调其步骤：取值——作差——变形——定号——结论 课内探究（一题多问） ②求出函数的单调区间；

③不等式

对一切恒成立，求实数的取值范围； 1.会利用复合函数的单调性求单调区间或利用函数的奇偶性解决单调区间有关的问题

2.利用函数的单调性，知道自变量的大小关系会求自变量的大小关系

3.解决恒成立问题 一题多变 变式1：已知函数在 [0，+∞）上是增函数，求实数的取值范围。

变式2：设函数在 [1，2]上的最小值为，求 1.已知函数的单调性解决参数问题

2.会利用单调性求最值

3.体会转换思想和分类讨论思想 ]

八、精彩回放

师：求方程的根

生1：方程的根为

师：方程就只有一个根吗？并说明理由。

生2：方程的根等价于函数的零点，而函数是单调递增的，故方程就只有一个根

师：这里我们用到了函数的什么性质？

生2：函数的单调性

师：这节课我们就来复习函数的单调性（板书课题）。

师：请同学们看例题：

例题：已知函数

①用定义证明函数在[0，+∞）上是增函数；

师：复习增函数的定义。

生3：当x1

师：用定义证明函数单调性的步骤。

生4：取值——作差——变形（乘积的形式或平方和的形式）——定号——结论

师：本题中求出函数的单调区间；并说明理由。

生5：的单调增区间是，减区间，因为为偶函数，在是增函数，所以在上是减函数。

生6：利用复合函数的单调性，令单调递增，在单调递减，单调递增，所以f（x）的单调增区间是，减区间。

师：本题中若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

生7：将变量带入解析式去解不等式。（做了一段时间后）发现计算量太大，没法解决。

生8：利用函数的单调性，，

师：已知函数的单调性，并且知道函数值的大小关系，你能得到什么结论？

生9：函数在区间D上是增函数，当f（x1）

师：变式1： 已知函数在 [0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围。

生10：任取，且

师：你能总结一下思路吗？

生10：函数在区间D上是增函数，当x1

师：你们还有其他的解法吗？

生11：利用复合函数的单调性，令单调递增，

当时，在上单调递增，符合

当时，在单调递减，单调递增，

要使在单调递增，则，∴

综上所述，

师：变式2： 设函数在 [1，2]上的最小值为g（a），求g（a）。

生12：令，

①当时，在上单调递增，

②当时，在单调递减，单调递增，

当即时，在单调递增，

当即时，在单调递减，上单调递增

当即时，在单调递减，

师：总结一下本节课学的知识点和思想方法。

生13：知识点：函数的单调性①当x1f（x2）），则函数在区间D上是增（减）函数。

思想方法：数学结合思想，转换思想，分类讨论思想。

九、教后说教

本节课是必修一内容上好后为学生期中考试准备的一节复习课。

（1）通过求方程的根的个数引出函数的单调性，而这个方程的根学生容易看出来，但为什么只有1个根，只能利用函数的单调性加以解决。这样让学生体会函数单调性的重要性，更加激发学生学习函数单调性的积极性，大大提高了课堂效率。

（2）例题及变式归纳出证明函数单调性的方法、步骤及注意点，还对单调性进行灵活应用：①已知当x1f（x2））则函数在区间D上是增（减）函数；②函数在区间D上是增（减）函数，当x1f（x2））；③函数在区间D上是增（减）函数，当f（x1）x2）

（3）题目设置一题多问，一题多变，复习了函数单调性涉及的题型，让问题更集中，更加突出问题的本质。

（4）本节课内容完整，思路清晰。符合新课程标准的精神。例题及变式由浅入深，完整，全面。

十、教后点评

本节课教学内容落实的很好，课的流程清晰，重点突出，难点突破。教师注重学生的能力培养，注重函数单调性概念本质的落实，详略得当。学生的积极性高，参与度广，从课堂练习中看出学生对内容的掌握不错，是一节有效的课。有效性的体现：这节课的引例是有效的，能激发学生学习函数单调性的积极性；教师的引导语是有效的，浅显易懂把学生引入课堂，比如对增（减）函数的理解：自变量越大函数值越大（小）；例题的选取上是有效的，例题突出重点，例题的第三问可以锻炼学生的逆向思维；在数学思想方法上的落实上是有效的，本节课很好的落实了整体思想、转换思想、分类思想等。