张思勤

(中石化石油工程机械有限公司第四机械厂, 湖北 荆州 434022)

0 引 言

很多学者对多孔介质物理模型的研究总结将其分为硬圆球颗粒模型和毛细管模型[1]。但这2种物理模型均无法精确描述多孔介质孔隙结构特征。页岩孔隙主要以纳米和微米尺度为主[2-3],传统的模型和方法更无法精确描述页岩储层的孔隙结构特征。研究表明,自然界中的真实多孔介质在一定尺度范围内具有分形特征[4-6]。从分形理论出发,为页岩储层孔隙结构的表征提供新的思路和研究方法。

SEM扫描电镜、纳米CT和聚焦离子束(FIB)等技术运用于描述页岩储层微观孔隙结构[7-8],基于成像技术,在页岩孔隙成因分析、孔隙类型划分以及有机质纳米孔表征等方面已经取得了显著成果。分形维数可以定量描述页岩孔隙结构的复杂程度,分形维数的测定方法包括压汞法、小角度中子散射法、气体吸附法和图像分析法[9-10]。分形理论可以运用于预测多孔介质的渗透率。国内外学者在预测多孔介质渗透率方面已经取得了一些进展。陈永平等[11]推导了土壤多孔介质的渗透率分形模型,该模型包含4个拟合参数;Yu等[12]提出了多孔介质渗透率分析模型,该模型中没有拟合参数,但局限性较大,只能适用于牛顿流体;Pitchumani等[13]通过对多孔纤维织物的研究,结合达西公式得到了基于分析理论的渗透率理论解析解;蔺景龙等[14]基于分形理论,结合Kozeny-Carman方法将储层的渗透率与孔隙度、弯曲度和孔隙半径联系起来,得到了储层岩石渗透率的解析解模型。

本文采用图像分析法研究页岩储层孔隙的分形特征,基于分形理论,推导了页岩渗透率的表达式,分析了最大孔隙半径、最小孔隙半径和分形维数等对页岩渗透率的影响。

1 页岩数字岩心重建

数字岩心重建方法分为2类:物理实验方法和数值重建方法。常用的物理实验方法有序列成像法、CT扫描法和FIB-SEM。数值重建方法包括随机法和过程法2大类。本文针对页岩储层埋藏深(2 000～7 000 m段)、物性差、结构复杂、孔隙类型多样且含有有机质等特点,选取马尔科夫链-蒙特卡罗(MCMC)方法重建页岩数字岩心[15-18],重建数字岩心首先得选取具有代表性的页岩二维切片图像(见图1)。

为了对页岩孔隙结构进行初步分析以及后续重建过程的开展,必须对页岩的扫描电镜图像进行处理。图像处理包括噪声过滤和阈值分割2部分。图像处理如阈值选取不当,有可能将部分有机质误认为是孔隙部分,或者忽略一些小孔隙。用MATLAB软件对页岩岩样切片图进行二值处理,阈值取值为110,所得到的二值图像见图2(a),其中基质为0(黑色),孔隙为1(白色),原始二值图像的孔隙度φ=0.018 1。获取了孔隙的二值图像后,应用MCMC方法分别对其进行遍历扫描及二维重建,重建的图像见图2(b),重建图像的孔隙度为φ=0.017 8,图2中黑色部分代表岩石骨架,白色部分代表孔隙空间,孔隙空间的分布与二维图像特征吻合,多为小而分散的孔隙。

图1 某页岩岩样扫 图2 页岩二值图像与重建图像描电镜图像图

为了进一步对重建图像和原图进行对比分析,采用ImageJ软件分别统计原始图像和重建图像中不同孔隙半径范围内的分布频率(见图3)。图3中,在不同孔隙半径范围内重建图像和原始图像的孔隙分布频率相差不大,进一步说明了MCMC方法重建的数字岩心图像能较好地再现原始图像的性质。

图3 页岩图像孔隙半径频率分布

2 页岩孔隙结构表征的基本分形理论

2.1 孔隙半径分布分形模型

按构造过程分类,可将分形模型分为降维生成分形模型、质量守恒分形模型和升维生成分形模型3大类。以页岩储层中孔隙为研究对象,以页岩储层骨架为背景,采用Sierpinski地毯模型研究页岩孔隙的分布规律(见图4)。图4中白色表示页岩储层中的骨架,黑色表示页岩储层中的孔隙。

图4 Sierpinski地毯模型

设页岩孔隙半径为λ,则大于孔隙半径λ的孔隙累积数目N(λ)应该满足条件

(1)

式中,f(λ)为孔隙半径为λ的分布函数;Df为孔隙半径分维数。对式(1)求导可得孔径分布的密度函数为

(2)

2.2 孔隙度概率模型

设页岩孔隙半径λ的范围为[λ0,λm],根据概率分布的定义有

P{λ>λp|λ0<λ<λm}=N(λp)-N(λm)N(λ0)-N(λm)

(3)

由式(3)知分布函数为

F(λp)=P{λ≤λp|λ0≤λ≤λm}=

1-N(λp)-N(λm)N(λ0)-N(λm)

(4)

将式(1)代入式(4)中可以得到孔隙分布函数为

将式(5)两边同时对λp求导,可以得到孔隙分布的概率密度函数表达式为

2.3 页岩孔隙半径分布分维数求解与分析

通过对页岩原始二值图像和重建二值图像中孔隙进行统计和分析,得到大于孔径λ的孔隙数N(λ)随孔径λ在双对数坐标系中的关系曲线(见图5)。取数据中稳定的直线部分的斜率的负值为孔隙度的分维数。

计算孔隙结构分形维数应该根据数据点的分布情况和孔隙大小范围进行分段回归,这样既可以保证数据的完整性,又能真实反映孔隙分布情况。表1

为页岩原始图像和重建图像的孔隙半径分维数。从图5和表1中可以看出:

(1) 页岩孔隙累积个数与孔隙半径大小在双对数坐标系中呈现明显的线性分段特征,在一定尺度范围内同一段直线上的页岩孔隙具有自相似特征,拐点表示页岩孔隙结构性质发生变化的转折点。

(2) 图5中页岩原始图像和重建图像均由2段折线构成,表明页岩孔隙的分布具有多重分形特征。分析原因主要是页岩形成过程复杂,孔隙结构异常复杂,存在明显的多尺度特征,导致图5在9.5 μm附近出现了拐点。

(3) 图5中每段折线的拟合相关系数均在0.93以上,表明页岩孔隙结构具有较好的分形特征,因而应用分形理论对页岩孔隙结构特征进行研究是合理的。

(4) 页岩孔隙的分维数在区间Ⅰ为0.43左右,表明在区间Ⅰ小孔隙分布均匀;页岩孔隙的分维数在区间Ⅱ为1.5左右,表明页岩在区间Ⅱ分布的均质性较差,很好地验证了图3中页岩孔隙分布频率随孔隙半径的变化规律。

(5) 页岩原始图像和重建图像均具有相似的分段分形特征,进一步验证了MCMC数字岩心重建方法的正确性和准确性。

图5 页岩孔隙半径分布分维数

3 基于分形理论的页岩渗透率分析

3.1 页岩渗透率模型的建立

页岩渗透率是表征页岩渗流能力的参数,其大小与孔隙度、液体渗透方向的孔隙的几何形状颗粒大小及排列方式等因素有关[19-20]。根据Hagen-Poiseulle方程可知,通过单根毛细管中渗流流量为

表1 页岩孔隙半径分布分维数

q(λ)=π128ΔpLt(λ)λ4μ

(7)

由式(6)以及页岩的孔隙结构具有多重分形的特征,需要将页岩孔隙分布的概率密度函数进行分段表述

(8)

式中,λg为拐点孔隙半径;D1、D2分别为区间Ⅰ和区间Ⅱ的孔隙半径分维数。

通过某个单元截面A的总流量Q为

(9)

根据达西定律,综合式(7)、式(8)、式(9)可得页岩渗透率K为

(10)

图6 渗透率K与最大孔隙半径λm的关系曲线 图7 渗透率K与拐点半径λg的关系曲线 图8 渗透率K与孔隙半径分维数D1的关系曲线

由于λ0≪λg≪λm;3+Dt-D1≫1和3+Dt-D2≫1;另λ1=λ0/λg,λ2=λg/λm;因此,式(10)可简化为

3.2 渗透率影响因素分析

由式(11),数字岩心渗透率由页岩孔隙尺寸分维数D1和D2、迂曲度分维数Dt、孔隙的结构参数A、L0和最小孔隙尺寸λ0、最大孔隙尺寸λm和拐点λg共同决定。

研究最大孔隙半径对页岩渗透率影响,基本参数选取研究区域面积A=287 640 μm2,λ0=1 μm,原始图像和重建图像的拐点λg分别为10.253 3 μm和9.079 326 μm。原始图像和重建图像的孔隙尺寸分维数D1分别为0.420 7和0.459,孔隙尺寸分维数D2分别为1.442 6和1.595 4。图6中最大孔隙半径λm对页岩渗透率的影响很大,随着最大孔隙半径λm的增大,原始图像和重建图像中页岩渗透率均明显增大。

研究拐点半径对页岩渗透率影响,基本参数选取最大孔隙半径λm=90 μm,其余参数与上面相同。图7中,拐点半径λg对页岩渗透率的影响较大,页岩渗透率随着拐点半径λg的增大近似于线性增加。因为随着拐点半径λg的增加,区间Ⅰ的范围变大,该区间内孔隙尺寸的均质性变好,使得渗透率增加。

图8和图9分别表示区间Ⅰ和区间Ⅱ的孔隙半径分维数对页岩渗透率的影响。由图8和图9,页岩渗透率随孔隙度分维数D1和D2的增大而减小,且孔隙度分维数D2对页岩渗透率的影响更加明显。因为孔隙度分维数是反映不同孔径条件下孔隙数目变化的参数,孔隙度分维数与孔隙度呈负相关性,因而孔隙度分维数越大,孔隙度越小,页岩渗透率越小。

迂曲度分维数Dt代表毛细管通道的弯曲程度,当Dt=1时,毛细管通道是直的;1

图9 渗透率K与孔隙度分维数D2的关系曲线 图10 迂曲度分维数Dt

4 结 论

(1) MCMC方法建立数字岩心计算速度快,过程相对简单,重建的页岩数字岩心能够较好地体现原图孔隙小而分散的性质。

(2) 页岩原始图像和重建图像孔隙分布均具有相似的多重分形的特征,进一步说明MCMC方法的正确性和准确性。

(3) 页岩渗透率与最大孔隙半径和拐点半径呈明显的正相关性,与孔隙半径分维数D1和迂曲度分维数呈明显的负相关性,孔隙半径分维数D2对页岩渗透率影响较小。

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