周海燕



幂的运算几点提示

周海燕

“幂的运算”是初中生必须掌握的基础知识，也是一项基本的计算技能.更是同学们学好后续知识的保证，如整式的运算和因式分解都以“幂的运算”为基础知识.为了让学生能较好地学习本章，对此作了如下几点提示：

一、幂的运算与生活的密切联系

数学知识不是孤立的数字游戏，它是源于生活的，“幂的运算”同样也是来源于生活的.如同底数幂的乘法中有这样一个现实问题：“一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作1013秒可进行多少次运算？”再比如课本上的例2：一颗卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s，求这颗卫星运行1 h的路程.再如“幂的乘法与积的乘方”中如何解决黑板上写不下100个104的连乘等，使大家体会生活数学中的“大数值”.同底数幂的除法与科学计算中的负指数也有很多生产、生活中的应用实例，如课本例4在显微镜下，一种细胞的截面可以近似看成圆，它的半径约为7.80×10-7m，试求这种细胞的截面面积.还有纳米与微米换算等，让大家感受微观世界中的“小数值”.

二、幂的运算注重新旧知识的联系

“幂的运算”中有大量的有理数的乘方运算.实际是通过“做一做”有理数的乘方运算让同学们体会感受同底数幂的乘法的合理性，并让同学们能说出每步计算的依据，逐步从合情推理向演绎推理过渡.并让同学们感受证明的必要性，发展大家的演绎推理的能力.让同学们在“做”（即计算）中学法则，在法则运用中体会计算.

三、幂的运算中各个公式的区别与联系

在“幂的运算”中有这样四个法则：

1.同底数幂的乘法法则：am·an=am+n（m、n是正整数）.

（1）先弄清楚底数、指数、幂这三个基本概念的含义.

（2）它的前提是“同底”，而且底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式，如：（2x+y）2·（2x+y）3=（2x+ y）5，底数就是一个二项式（2x+y）.

（3）指数都是正整数.

（4）这个法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即am·an·ap·…=am+n+p+…（m，n，p都是自然数）.

2.幂的乘方法则：（am）n=amm（m、n是正整数）.

要掌握幂的乘方和同底数幂的区别，如（x3）4=x3×4=x12与x3·x4=x3+4=x7.

3.积的乘方（ab）n=anbn（n为正整数）.

积的乘方主要强调的是指数相同，并要与幂的乘方区别开来，积的乘方乘方后相乘，幂的乘方是指数相乘.

4.同底数幂的除法：am÷an=am-n（m、n是正整数，m＞n）.

和同底数幂相乘一样要强调底数相同，不同的是指数相减.而且它们之间是互为逆运算的关系.

四、幂的运算中法则的逆用

大多数同学在运用上述幂的运算法则时，正向运用问题不大，但进行逆向思维时，却困难重重.但这些法则的逆用可以进行简便计算，化繁为简.

如：（1）同底数幂的乘法与积的乘法的反用：若am=6，an=7，求a2m+n；

（2）幂的乘方的反用：若5a=3，求25a的值；

（3）同底数幂的除法的反用：若am=3， an=6，求a3m-2n.

五、幂的运算中的数学思想方法

幂的运算中除了上面讲的整体思想和逆向变换思想外，还有转化思想.例如：若2×8m×16m=410，求m的值.本题左边形式上不符合同底数幂的乘法，通过转化为2为底的同底数幂的乘法，将陌生的问题转化为熟悉的公式.再有分类思想，如课本复习题第9题：已知a、b是有理数，且ab=1，求a、b.本题要对a、b进行分类.当b=0时，a为不等于0的数；当b不等于0时，若a=1，则b为任何整数；若a=-1，则b为任何偶数.

（作者单位：江苏省泰州中学附属初级中学）