宋煜阳

在人教版教材编排体系中，“点到直线的距离”这个概念的地位发生了一定变化。实验版教材，“点到直线的距离”是依附于“画垂线”教学内容编排的，只是顺势给出了概念的定义，教学中多数教师也只是组织学生读一读定义一带而过。修订版教材，该概念单独设立例题进行教学，既给出定义又研究相关性质。教材编排位置的改变与教学内容的扩充，凸显了“点到直线的距离”在图形与几何概念体系中应有的核心地位。

从概念序列来看，“点到直线的距离”是学习平行四边形和三角形的高的重要基础，是这些平面图形“高”的上位概念。另外，“点到直线的距离”下定义为“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离”，从概念的表现形式来看它是一个较为典型的发生式定义概念。为此，这个概念无论是从概念的内容体系还是定义方式，都具有重要的研究意义。

发生式定义是一种常见的特殊的属加种差定义方式，它是把概念对象放在一个动态的过程中，以概念的发生或形成的本质属性作为种差的定义。具体到“点到直线的距离”这个概念，就需要先由直线外一点和直线上的点构成多条线段，抽取出最短的那条即垂直线段，然后测量出它的长度才能得到点到直线的距离。学生要理解这个概念，就必须明确“点到直线的距离”是一个量数，是对一条特殊（垂直）线段测量的结果，是集画、量多步操作判断为一体的活动。不难看出，对概念形成过程的刻画，既是概念本身得出的需要，又是概念教学的基本视角。那么，如何在教学中刻画这一过程呢？这组同课异构的教学设计给出了以下三方面的认识与思考。

一、注重联系，刻画属种概念间生发构造的过程

发生式定义概念没有直接说明种差，而是用揭示概念发生的来源方式和形成过程作为它的属差内涵，也就必然离不开从上位概念入手，利用概念间的联系构造出下位概念。

垂直线段是点到直线的距离核心要素之一，它的属概念是线段，种差是垂线段的性质——垂直线段最短。而这条种差是通过直线外一点（线段的一个端点）和直线上的点（线段的另一个端点）构成的线段中寻求特殊性（位置垂直、长度最短）的动态生发的过程。教学中，两篇设计就充分关注属概念线段的特点。设计一借助羊村修小路情境，给出“找线段”的抽象活动，通过“小路的一端在点O，另一端应该在哪？你会怎么修小路？还可以怎么修？”等问题对线段两个端点位置进行指认；设计二直接给出A和直线m，通过“从点A出发到直线m你能画出几条线段?端点在哪里？”问题讨论，并组织学生画线段再指认端点位置。两节课在引入环节都围绕线段的两个端点位置进行了讨论，在“从哪个点出发到哪个点结束”的动态发生过程描述中强化了线段有限长的本质特点。

从操作技能来说，点到直线的距离是上一课时画垂线的巩固与运用。由于画垂线学习中，困难最大的是直线不在水平位置。很显然，两篇设计都充分关注到了这一难点问题。设计一直接将例题中水平方向调整为斜方向的直线，直面难点，提升了画垂线段的能力与性质探究空间；设计二从水平方向画线段入手，较快揭示了垂直线段概念，但并没有一带而过，特意安排了“哪条线段是直线BE的垂直线段？”的观察讨论、操作验证。这些都体现了设计者对概念间联系的系统思考。

在垂直线段最短性质教学中，两篇设计都安插了“垂直线段一定是最短的吗？可以怎样验证？”“你认为哪条线段长度最短？怎么证明？”等问题的探讨，充分经历了猜想、验证等活动，拉长了这条性质的感知过程，较好凸显了种差特点。在发生式定义概念中，属概念与种差特点越明细，越有利于概念间联系的生发，越有利于下位概念的构造。

二、注重辨析，刻画概念程序要义理解的过程

发生式定义概念，如果单从得到这个概念，形成过程刻画的越具体越有利于学习者对概念的感知，相应概念生发的分解环节就多、描述的句子就长；但如果要合成并理解运作这个概念，程序信息、操作要义越简明越有利于学习者对概念的把握。因此，在教学中要紧扣概念本质属性，提炼程序步骤和操作要义，尽可能在概念辨析中达到概念核心要素精确化和概念运作程序简化的目标。

教学实践显示，学生对“距离”这个概念容易等同于垂直线段，忽略长度的属性。从根源上分析，是学生对发生式概念的运作程序不清晰造成的，要进一步理解概念务必加强概念程序要义的刻画。为此，两篇教学设计中都安排了判断辨析、操作步骤梳理等活动来落实概念程序要义刻画的过程。如设计一中安排了根据图示围绕AH，AF，AE三条线段能否看作距离进行辨析，强调了点到直线的距离是由“垂直线段”、“长度”两个要素构成的，紧接着组织讨论“如何找到正确的距离”，从中梳理出“一画、二量”的操作步骤。又如设计二中安排了“点A到线段DE的距离”判断选择，在明确垂直线段的起点不是点A，最后通过交流明确2厘米也是距离，只不过是另外一点到线段DE的距离，强调了“指定的点到对应的直线”这一概念先决要素。这样，通过“距离”概念的辨析和“得到距离”操作步骤的梳理，及时强化了“距离是垂直线段的长度”过程性表象建立，有利于帮助学生形成动态化的概念。

三、注重内化，刻画概念压缩应用的过程

在发生式定义概念获得过程中，尽可能展现概念发生整个过程，而在概念应用环节则要尽可能压缩过程，在不同情境中提取出概念的核心要素，这也是考查学生概念内化程度的重要手段。如果学生在较为复杂的情境中能够较快地抽象出“距离”概念，说明学生较好地内化了概念。

两篇设计中设置的复杂情境主要有两种情形。一种情形是在图形中提高了对“距离”辨识的要求，集中体现在给出一个直角三角形让学生寻找图形的“距离”这个情境：设计一给出直角三角形ABC边长分别为 5cm、12cm、13cm，设计二给出直角三角形ABC边长分别为 3cm、4cm、5cm，通过“点A到线段BC的距离是（ ）厘米，点C到线段（）的距离是12厘米”的开放练习，使学生认识到两条直角边长度都可以视作相应的点到直线的距离，把先前平面图形一条“距离”提升到两条，有效推进了学生对概念的压缩内化进程。另一种情形是生活问题的解决，教学中都安排了“怎样测量跳远的距离”感受距离在生活中的实际应用，从抽象的层面促进了概念的内化理解。

总之，两篇设计能够抓住发生式定义概念特点，在充分刻画概念构造生发过程的同时，重视了概念内化理解应用的落实，为发生式定义概念教学提供了较好的思路。