◇王昌胜 刘玉华

知识内在逻辑应向学生认知适当妥协
——“用字母表示数”案例研究

◇王昌胜 刘玉华

第一次案例尝试

第一次是按照北师大版第三版教材（当时没有第四版教材，下同）教学“用字母表示数”的。上过课之后，大家觉得课堂难以把握：一会儿表示青蛙（规律），一会儿跳到年龄关系（变量），一会儿又回到表示运算律 （规律），感觉层次不清晰，随意性较大……

虽然第一次试教是以促进学生对字母表示数的理解为主线，但由于情境转换多，且对各个情境之间的目的和逻辑难以把握，老师们总觉得别扭。

但从第一次不太成功的尝试中，我们进行反思和分析，有以下思考。

（一）前测中的启示。

为了解学生情况，我们进行了前测，有分析价值的案例如下所示：

前测题目是填写青蛙歌并尝试用一句话表示出来。

学生作品：前面的具体数值都能填写正确，但最后的概括五花八门。有代表性的作品是：

①（无数）只青蛙（无数）张嘴，（无数）只眼睛（无数）条腿。

②（多少）只青蛙（多少）张嘴，（很多）只眼睛（很多）条腿。

作品分析：因为不知道如何用简洁的方式表达，60%以上的学生采取文字表达的方式。文字表达不便于表示出数量间的关系，如“（多少）只青蛙（多少）张嘴，（很多）只眼睛（很多）条腿”的答案，但可以看出中间有关于数量关系的思考。我们对该生进行访谈并追问，他说：“我心里清楚，但不知道怎么写出来。”看来学生有懵懂的要表达数量关系的意识，苦于找不到合适的表达方式。此时，有必要让学生尝试用字母表示，尽量减少表达方式的干扰。

在此基础上，我们做了提醒，鼓励学生尝试用字母来表示一些数，部分学生做了改进，如下所示：

①（a）只青蛙（a）张嘴，（a）只眼睛（a）条腿。

②（a）只青蛙（b）张嘴，（a）只眼睛（a）条腿。

③（n）只青蛙（n）张嘴，（n+n）只眼睛（n×4）条腿。

作品分析：即使在必要的提示之后，能准确表达出数量关系的仅占18.6%。不过对于还没有接触字母表示数的学生来说，情况是正常的。学生头脑中的干扰因素很多，如：用字母怎么表示？a真的是一个数吗？n×4怎么是一个数？以前都是确定的一个数，现在这个不确定，心里很不踏实。

教学改进：在实际教学中，我们尝试让学生多说一会儿儿歌。

看似这样的儿歌没有多大作用，但实际上在说这些“绕口令”的时候，其实是在强化他们对数量关系的理解。每说一句，理解就加深一次。随着对数量关系理解的加深，对用字母表示数量关系也是有帮助的。

（二）教学后的反思与启示。

北师大版、人教版、苏教版三个版本的教材，均采用了多样化的素材来教学，有的用年龄关系，有的用运算公式，有的用面积公式等，其内在的逻辑顺序是什么？

北师大版教材在学习“用字母表示数”时用到了“青蛙歌”（人教版和苏教版没用），并发问：“你能用一句话将这首儿歌说完吗？”在实际的教学中，部分孩子对呈现出来的答案心存疑虑：“a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿”真的就说完了吗？为什么要说完？a只还是不知道有多少只，这不等于没有说吗？字母表示数有什么用？

对于“用字母表示数”的内在逻辑顺序，查阅文献后得知：用文字代表数的思想内涵，可以分为两大类：一类是常识意义下的使用符号、文字来代表事物。如代表名字（如中文名、英文名），代表某人（如“甲”），代表一部分事物（如老师），代表某一规律 （如运算规律），泛指自然数（如用b表示青蛙只数）。这一类描述对象是已知的对象或规律，目的是为了使表示更加简单、方便、好用。另一类是代表一个特定的未知数。这是一种特殊的思维方式，即为了寻求未知数的值，我们称之为方程思想方法。这一过程中，对象是未知的、特定的数。

于是，我们将第二次的教学流程设计为：用字母表示任意数、一类数、自然数，最后用字母表示特定的未知数。尽量减少情境转换，而是发挥每个情境的作用，将其价值用足。

第二次案例尝试

根据以上的认识，并参考张奠宙、刘加霞老师的研究和李培芳、李维中、毕波等老师的教学设计，我们重新设计了以下教学活动。

（一）体会代数思维。

师：老师心中想了一个数，这个数可以怎么表示？

生：老师，是哪个数？

师：我不作任何提示，请把我心中想的这个数表示出来。

生：可以用任何一个字母表示，如字母a。

生：很多公式也可以这样表示，如加法结合律、乘法分配律、乘法结合律等。

……

师：我们不知道的数，可以用字母来表示，如用字母x等。这个x可以表示多少呢？

生 ：100、1000、10000、0都可以。

生：可以表示任意数。

设计意图：让学生体会用字母可以表示任意数。

师：现在老师心中想到了一个人的年龄，用字母x表示。这个x可以表示任意数吗？

生：不行。要根据实际情况表示年龄，年龄不是无限大的，应该有一定的范围，如1000岁、10000岁就不可能。

生：人的年龄一般在100岁以内。

生：年龄每年都是变化的，今年11岁，明年就是12岁了。

师：如果x代表我们班某个同学的年龄，x的范围是什么呢？

生：四年级的年龄一般是9岁或者10岁。

师：（小结）一般来说，字母可以表示任意的数，但在具体问题中，可能有不同限制，是一定范围内的数或特定的数。

设计意图：引导学生体会由任意数发展到范围数和特定数的过程，体会用字母表示数的必要性。

师：小明x岁，再来一个小红，怎么表示小红的年龄？

生：用 y。

师：如果知道小红比小明大3岁，如何表示小红的年龄？

生：（x+3）岁。

师：你认为用（x+3）与 y 表示小红年龄，哪个好？

生1：用 y比较好，可以代表任何数。（x+3）不知道到底是x还是3。

生 2：用 y 比较好，（x+3）比较复杂。

生 3：我觉得用（x+3）好一些。因为如果知道小明的年龄了，而只需要“+3”就可以知道小红的年龄了。

生4：我同意生3的意见，因为如果用y，就不知道谁大谁小，更不可能知道小红比小明大3岁，（x+3）就可以知道他们之间的年龄关系了。

师：（x+3）可以表示多少？是任意一个数吗？

生1：不是，因为前面是 x，“+3”后就是比x大3了。

生2：我觉得是任意的，因为x是任意一个数，所以（x+3）也可以表示任意一个数。例如如果 x 是 9，那么（x+3）就是 12；如果 x 是 10，那么（x+3）就是 13了。

设计意图：尝试表示数量关系的过程，其实也是让学生经历用含有字母的式子表示数的抽象过程。

师：想一想，什么在变？什么不变？

生：年龄在变，但他们的年龄差距不变。

师：不变的是岁数之间的关系。

设计意图：进一步体会数量关系。

师：又来了一个人小华，他的岁数是2x。谁明白2x表示什么意思？

生：就是 2个 x，表示小华的年龄是小明年龄的2倍。

师：2x 确实表示“2×x”。 数字和字母相乘，一般将数字写在前面，中间的乘号去掉。

师：（板书：x x+3 2x）判断一下，三人中谁的年龄最大？

小组交流后汇报，不同范畴有不同情况：小明最小，小红和小华都比小明大；当x<3时，x+3最大；当x=3时，x+3和2x一样大；当x>3时，2x最大。

师：谁的年龄最大呀？

生：不可能小明最大。有时候小红最大，有时候小华最大。

设计意图：体会意义的同时，也为解方程打下基础。教学时，发现还是有一些难度，可以充分举例后再概括。

（二）发展符号意识。

1.独立创造。

师：请写出连续的三个自然数。

生：很多，如 2、3、4。

生：可以是 a、b、c。

生：x+1、x+2、x+3。

2.交流辨析。

师：哪种表示方法比较好？

讨论后学生达成共识：“x+1、x+2、x+3”这种方法比较好。因为能表示相互之间的关系。

设计意图：在表示关系的同时，进一步体会用字母表示数的必要性。

3.能用一句话来表示这首儿歌吗？

1只青蛙1张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。

2只青蛙2张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。

3只青蛙3张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。

4只青蛙4张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。

……

生：a只青蛙b张嘴，c只眼睛d条腿。

生：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

师：想一想青蛙嘴的张数与眼睛、腿的数量有什么关系？

生：眼睛的只数是嘴的张数的2倍。

生：腿的条数是嘴的张数的4倍。

生：我想应该是a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。

学生在同伴的相互提醒中调整，理解了青蛙嘴的张数与眼睛的只数、腿的条数之间的关系。接下来又让学生尝试填写下面两个儿歌，并进行交流。

①小狗歌：n只小狗（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。

②同学歌：n个同学（ ）张嘴，（ ）只眼睛（ ）条腿。

设计意图：体会用字母表示数必要性的同时，进一步加深对数量关系的理解。

（三）体会代数价值。

1.体会“字母可以表示计算公式”。

用字母表示长方形的周长、面积、运算律等。

设计意图：丰富对用字母表示数的认识。

2.体会同一符号的多重意义。

如果正方形的边长是a，那么正方形的周长是4a。生活中还有哪些地方用到4a？

一个文具盒a元，4个文具盒多少元？

一张桌子4条腿，a张桌子多少条腿？

……

师：怎么都是4a？4a还可以表示什么？

设计意图：进一步体会代数价值。

课后分析及反思

一方面，设计的任务基本完成，从课堂表现看，学生课堂上的分析、认识较为到位。而且运用一个年龄的情境将之串联起来，基本实现了引导学生逐步抽象的过程，达到了体会用字母表示数的必要性的目的。

另一方面，基本遵循了用字母表示任意数、范围数到特定数的历程，老师们觉得顺手了，不再为情境的频繁转换而感觉难以掌控了。

但也出现了我们未预料到的问题。

第二次的案例尝试虽然老师觉得顺手了，但学生掌握知识的结果没有多大变化，甚至感觉学生练习中的表现还不如第一次教学。

如有个别学生对于转换情境之后的用字母表示数表现得不坚定，这可能与案例过多依靠描述年龄这个素材，没有为学生提供多样化的素材促进理解有关。但学生经提醒后马上可以矫正，这说明虽然学生对用字母表示任意数、范围数、特定数理解起来并不困难，但丰富的素材、多样的情境对促进学生多角度理解用字母表示数非常关键。这也让我们反思之前的设计：一味追求知识的内在逻辑，忽略了学生的认知特点。所以，当我们深入分析北师大第四版教材后，觉得新教材在这方面的改进更有利于学生的学习。新教材分为两个课时：第一课时是利用一个素材贯穿始终，以青蛙歌为线索，侧重于用字母表示数量关系的复杂程度，逐步由浅到深地安排活动，关照学生的认知特点展开教学；第二课时引进面积和运算公式，丰富学生的感知。

（作者单位：北京师范大学中国教育创新研究院）