郑世旺

(商丘师范学院　物理与电气信息学院，河南　商丘 476000)



完整系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性与守恒量

郑世旺

(商丘师范学院物理与电气信息学院，河南商丘 476000)

摘要：研究了完整力学系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性及其守恒量，首先建立了完整系统的Tzénoff方程，给出了完整系统Tzénoff方程的Mei 对称性及其共形不变性的确定方程，得到了这种共形不变性产生守恒量的条件和导出守恒量的函数式，最后给出一个应用实例.

关键词：完整力学系统；Tzénoff方程；Mei对称性；共形不变性

0引言

对称性原理是物理学中的一种高层次法则，动力学系统中的守恒量能揭示深刻的物理现象,如动量守恒律、动量矩守恒律、能量守恒律及其它物理量的守恒规律.1918年德国女科学家A.E.Noether首次发现，对称性与守恒量之间有对应关系[1]，这就为寻找实际力学系统的守恒律提供了方法和途径.本世纪初以来,我国学者在Noether对称性、Lie 对称性、Mei对称性及其守恒量方面进行了大量研究,取得了一系列重要成果[2-12].1997年,俄罗斯学者Galiullin等在研究Birkhoff 系统动力学时首次提出了Birkhoff方程的共形不变性和共形因子的概念, 并讨论了Pfaff 作用量在无限小变换下的不变性与共形不变性及Lie 对称性与共形不变性之间的关系[13].共形不变性及其守恒量的研究较为复杂，我国学者关于约束系统共形不变性的研究起步较晚，蔡建乐和梅凤翔教授在2008年研究了Lagrange 系统Lie点变换下的共形不变性与守恒量[14]，从此推动了共形不变性及其守恒量的研究, 现在共形不变性的研究已扩展到Hamilton系统、相对运动系统、机电力学系统、变质量力学系统等动力学系统[15-20].1953年保加利亚科学院院士Tzénoff构造了经典力学系统的一种新型动力学函数称为Tzénoff函数，他建立了一类新型运动微分方程被称为Tzénoff方程，与其它动力学方程如Lagrange方程、Nielsen方程、Appell方程相比较，Tzénoff方程至今仍为最简捷的动力学微分方程．在1985到1987年期间，我国学者梅凤翔、程丁龙等把Tzénoff方程推广到了可控力学系统[21]、变质量系统[22].近年来Tzénoff方程的对称性与守恒量的研究也取得了一些成果[23-29],但关于Tzénoff方程的共形不变性与守恒量的研究才刚刚起步,目前已成功研究了完整系统Tzénoff方程Lie对称性的共形不变性与守恒量[30].

本文研究了完整系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性与其守恒量.首先建立完整系统的Tzé-noff方程,定义了完整系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性, 给出了直接用Tzénoff函数来表达的Mei对称性共形不变性的确定方程和其导出的相应守恒量, 最后,通过一个简例说明本文结果的应用.

1完整系统的Tzénoff方程

设力学系统的位形由n个广义坐标qs(s=1,…,n)来确定，质点的矢径ri=ri(t,qs),系统的Tzé-noff函数为

(1)

由于

(2)

(3)

展开(3)式可得到广义加速度

(4)

有

对(4)式求导可得广义加加速度

(5)

2完整系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性

取时间和坐标的群的无限小变换

(6)

或其展开式

(7)

其中ε是一无限小参数，ξ0,ξs为无限小生成元.于是有

(8)

(8)式中

因为用变换后的动力学函数代替变换前的动力学函数，运动微分方程的形式仍保持不变的一种对称性称为Mei对称性[3]，故可得到完整系统Tzénoff方程Mei对称性的定义和判据分别为

定义1如果用变换后的Tzénoff函数K*代替变换前的函数K时，方程(3)的形式保持不变，那么这种不变性称为Tzénoff方程的Mei对称性.

把(8)式代入Tzénoff方程(3)可得到

判据若完整力学系统的Tzénoff函数K，在无限小生成元ξ0,ξs变换下满足方程

(9)

则Tzénoff方程具有Mei对称性.

(10)

(11)

(12)

反之, 若Tzénoff方程(3)具有共形不变性,(10)式和(11)式相减得

(13)

3Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性所导出的守恒量

完整系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性在一定条件下也可导出相应的守恒量.

定理2对于完整力学系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性的生成元ξ0,ξs，如果能找到规范函数G满足如下结构方程

(14)

则Tzénoff方程的Mei对称性的共形不变性将直接导出守恒量

(15)

(14)式中

证明 对(14)式求导并考虑到完整系统Tzénoff方程(3)及其Mei对称性的共形不变性的判据方程(10)成立，有

证毕.

4应用例子

已知完整力学系统的Tzénoff函数为

(16)

试研究该力学系统Mei对称性的共形不变性和其导出的守恒量.

解把Tzénoff函数(16)代入完整力学系统的Tzénoff方程(3),得

(17)

即

(18)

所以有

(19)

取ξ0=0,ξ1=q1,ξ2=q2, 则

(20)

有

(21)

所以,Mei对称性共形不变性的判据方程(10)成立, 系统具有Mei对称性的共形不变性,其共形因子

(22)

由 (17)式的关系,有

(23)

故Mei对称性判据方程(9)成立,系统同时也具有Mei对称性.由(18)式的关系，(20)式可变为

(24)

把(24)式代入结构方程(14)并考虑(19)式的关系,可得

(25)

将(25)代入(15)式可得守恒量

5结语

本文研究了完整系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性及其守恒量.通过建立完整系统的Tzé-noff方程,定义了完整系统Tzénoff方程Mei对称性的共形不变性的概念, 给出了直接用Tzénoff函数来表达的Mei对称性共形不变性的判据方程和导出守恒量的必要条件及相应守恒量的表达式.该研究结果对进一步探究非完整系统Tzénoff方程和高阶Tzénoff方程的共形不变性及其守恒量奠定了理论基础．

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[责任编辑：徐明忠]

Conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems

ZHENG Shiwang

(School of Physics and Electrical Information, Shangqiu Normal University, Shangqiu 476000, China)

Abstract:The aim of the paper is to research the conformal invariance and conserved quantity of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems.Firstly, the Tzénoff equations of holonomic systems is established.Then, the determining equations of conformal invariance of Mei symmetry for Tzénoff equations in holonomic systems are given.The conditions and the functions of the conserved quantity which is deduced by conformal invariance are obtained.Finally, application of this new result is presented by a practical example.

Key words:holonomic systems; Tzénoff equations; Mei symmetry; conformal invariance

中图分类号：O320

文献标识码：A

文章编号：1672-3600(2016)03-0024-05

作者简介:郑世旺(1963-)，男，河南兰考人，商丘师范学院教授，主要从事分析力学的研究.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(No.11372169)

收稿日期：2015-07-08；修回日期：2015-07-18