李志鹏

(浙江师范大学 数理与信息工程学院, 浙江 金华 321004)



一类二次微分系统的分段光滑扰动

李志鹏

(浙江师范大学 数理与信息工程学院, 浙江 金华 321004)

摘要：考虑了一类平面二次微分系统在分段二次多项式扰动下的极限环个数问题.利用一阶Melnikov函数, 证明了从该系统的周期环域可以分支出 5 个极限环的结论.该结果表明分段二次多项式扰动此类二次微分系统比其相应的二次多项式扰动可多产生 3 个极限环

关键词：极限环; 不变曲线; 一阶Melnikov函数; 分段光滑系统.

0引言及主要结果

考虑平面系统

(1)

P(x,y),Q(x,y)是n次多项式, C(x,y)是m次多项式,且C(0,0)≠0. 当ε=0时,C(x,y)=0是(1)的不变代数曲线.在区域Ω={(x,y)|C(x,y)≠0}内,系统 (1) 等价系统为近Hamilton系统

(2)

当ε=0时, 系统(2)有一族闭轨Lh={(x,y)|H(x,y)=x2+y2=h,h∈(0,+∞)}.

对于系统(1)的分支现象, 最近十几年探究的比较多, 然而对于分段光滑微分系统

还知之甚少.我们先讨论C(x,y)=1+x.

考虑如下分段光滑二次微分系统

(3)

其中

易知未扰系统(3)在x>0和x≤0时具有相同的首次积分H(x,y)=x2+y2.

文献[7]考虑了平面分段近Hamilton系统

(4)

其中0<ε≤1, H±,f±,g±∈C∞. 对系统(4), 我们作出以下假设：

(H1) 存在区间J=(h1,h2), 系统(4)ε=0有一族顺时针周期轨道

L(h):H(x,y)=h,h∈J.

(H2) 各周期轨道交y轴于不同的两点A(h)=(0,a(h))和A1(h)=(0,b(h)), 这里a(h)>0, b(h)<0.

在假设(H1)和(H2)下, 根据文献[7]中的定理1.1和文献[8]中的引理2.2, 可以得出系统(4)的一阶Melnikov函数

(5)

2定理1的证明

在证明定理1之前, 我们先给出一个引理.

引理1[9]如果函数F1,F2,…,Fn在实数R上是线性无关的, 那么存在b1,…,bn∈B和β1,…βn∈R

系统(3)等价于分段光滑近Hamilton系统

(6)

系统(6)有一族周期轨道L(h)=x2+y2=h，h∈(0,1).

有等式(5)可知

M(h)=M+(h)+M-(h),

(7)

其中

(8)

等式(8)运用Green’s公式

M+(h)可以化简为

(9)

这里

(10)

我们可以借助Maple17对其进行计算和化简.

(11)

用相同的方法得到

(12)

直接可得

(13)

因此, 通过(9), (10), (11), (12)和(13), 我们得到

M(h)=C1G1(h)+C2G2(h)+C3G3(h)+C4G4(h)+C5G5(h)+C6G6(h)

(14)

其中

那么可以得出矩阵的秩为6, 因此, 通过引理2可知, 我们可以得到M(h)有0个零点, 定理1得证.

参考文献：

[1]LlibreJ，PerezdelRioJS，RodriguezJA．Averaginganalysisofaperturbedquadratic[J]．NonliearAnal，2001,46：45-51.

[2]WangJ,ShuiSL.poincareBifurcationofTwoClassesofPolynomialSystems[J].AbstractandAppliedAnalysis,2013:1-12.

[3]YaoHY，HanMA．Thenumberoflimitcyclesofaclassofpolynomialdifferentialsystems[J]．NonlinearAnal，2012,75：341-357.

[4]BuicaA，LlibreJ．Limitcyclesofaperturbedcubicpolynmialdifferentcenter[J].ChaosSolitonsFraetals，2007,32：1059-1069.

[5]XiangGH，HanMA．Globalbifurcationoflimitcyclesinafamilyofmutiparametersystem[J]．Internat．J．Bifur．Chaos，2004,9：3325-3335.

[6]李时敏，赵育林，岑秀丽.一类不连续平面二次微分系统的极限环[J].中国科学,2015,45:43-52.

[7]LiuX,HanM.BifurcationoflimitcyclesbyperturbingpiecewiseHamiltoniansystems[J].Internat.J.Bifur.ChaosAppl.Sci.Engrg,2010(5):1-12.

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[9]LlibreJ,swirszcaG;Onthelimitcyclesofpolynomialvectorfields[J].Dyn.Contin.DiscreteImpuls,Syst.Ser.AMath.Anal.，2011,18:203-214.

[10]XiongY.LimitcyclebifurcationsbyperturbingpiecewisesmoothHamiltoniansystemswithmultipleparameters[J]．J.Math.Anal.Appl, 2015,421:260-275.

[责任编辑：王军]

Piecewise smooth perturbation for a class of quadratic differential systems

LI Zhipeng

(College of Mathematics and Information Engineering Zhejiang Normal Universtity,Jihua 321004,China)

Abstract:In this paper, we study the number of limit cycles that bifurcate from the periodic solutions of a quadratic differential system, when it is perturbed by piecewise quadratic polynomials.By using first order Melnikov functions to this system, it is proved that 5 limit cycles can bifurcate from the period annulus.The result shows that piecewise quadratic polynomials perturbation quadratic differential system can have 3 more limits cycles than corresponding quadratic polynomials perturbation .

Key words:limit cycles; invariant curve; first order Melnikov functions; piecewise smooth systems.

中图分类号：0175.1

文献标识码：A

文章编号：1672-3600(2016)03-0017-05

作者简介:李志鹏(1988-), 男, 河南周口人,浙江师范大学硕士研究生.主要从事微分方程与动力系统的研究.

收稿日期：2015-11-26