黄育红，马　杰，张慕华，王恒通，杨宗立

(陕西师范大学，陕西 西安　710119)



基于MATLAB的二元线性回归在小孔流速实验中的应用

黄育红，马杰，张慕华，王恒通，杨宗立

(陕西师范大学，陕西 西安710119)

摘 要：利用MATLAB软件对相关物理量进行二元线性回归拟合，求出了拟合曲线的待定参数和置信区间，拟合曲线与实验测试数据点符合较好。总结出小孔流速的经验公式，并对减少实验误差的途径进行了讨论。

关键词：小孔流速；二元线性回归；MATLAB；回归模型；残差及置信区间

水是最常见、最简单的流体之一。由于水的粘滞系数较小[1]，常温(10 ℃)时仅为1.307 mPa·s且不易压缩，因此常被视为理想流。

1986年，蔡一坤等人[2]通过实验的方法得到小孔流速与同高度自由落体速度一样的结论；无独有偶，1995年，金进生等人利用伯努利方程和流体运动的连续性方程推导出了上面的结论，并得出了小孔的流量率和液位下降的时间，即对圆筒形容器来说，液面下降时间跟液面高度成幂函数关系。

前人对小孔流速的研究都是从某一方面出发，综合考虑孔径的大小和液面高度对流水时间影响的文章未见报道，且都没有总结出流水时间t关于孔径d、水高h的经验公式。此外，二元线性回归是大学物理实验中必须熟练掌握的知识，而小孔流速实验可以很好地体现二元线性回归在处理数据中的实际应用。文章选取6个底部开有不同直径小孔的圆筒容器，系统地研究了小孔出口处的流水时间与孔径、水高的关系。利用MATLAB软件对相关物理量进行二元线性回归拟合，拟合出了流水时间t与孔径d、水高h的经验公式，求出了拟合曲线的待定参数和置信区间，拟合曲线与实验测试数据点符合较好。最后讨论了减小实验误差的方法。

1实验过程及数据的MATLAB处理

文章主要利用MATLAB的编程和图形绘制功能对容器排水时间进行系统研究。其中函数库中的cftool在线性回归拟合中独具优势，可以方便地进行曲线拟合，并得到拟合曲线。同时编写MATLAB语句，可分析拟合结果的方差、剔除实验坏值，得出置信区间等。通过R-square和RMSE(方均根)等参数评定拟合结果的优劣和拟合度的高低，R-square越接近1，RMSE越小，拟合度越高，拟合结果越可信[6-7]。

选取6个规格相同的柱状圆筒，其底部分别开有大小不同的圆孔，利用游标卡尺对圆孔直径进行测量，得到直径的平均值及标准偏差。每次实验向6个圆筒里注入相同高度的水，6次实验向筒内依次注入不同高度的水，利用秒表测量在不同孔径、不同水面高度情况下的流水时间。利用MATLAB分别绘制流水时间和水高的图像(孔径一定)，以及流水时间和孔径的图像(水高一定)。利用MATLAB的cftool命令对相关物理量的变化关系进行二元线性回归拟合，并给出残差及置信区间，得到流水时间t关于孔径d、水高h的经验公式。

1.1孔径d的测量

表1　圆孔直径d的实验测量值及标准偏差

1.2不同孔径、不同水高时流水时间t的测量

为测量不同孔径、不同水高时圆筒对应的流水时间，我们设计6组实验，每组实验均向6个底部开有不同尺寸的圆孔的圆筒内同时注入等高度的水，6组实验向圆筒注入水的高度依次为10 cm，15 cm，20 cm，25 cm，30 cm，40 cm。用秒表测量水从圆筒内流完所用的时间t。圆孔直径d、水面高度h和对应的流水时间t列于表2。

表2　不同孔径、不同水高的圆筒对应的流水时间的测量

1.3利用MATLAB软件绘制变量变化关系图

利用MATLAB软件，分别绘出孔径d一定时，流水时间t关于水高h的图像(h-t图线)和水高h一定时，流水时间t关于孔径d的图像(d-t图线)。图1为流水时间随水面高度的变化图，其中实心菱形为实验测量点，实线为MATLAB拟合曲线，红色线条表示筒径为7.59 mm时流水时间随水面高度的变化情况，其它彩色线条分别代表筒径为11.52 mm，14.94 mm，19.11 mm，19.53 mm和23.25 mm时流水时间随水面高度的变化情况。图2为流水时间随圆孔直径的变化图，其中实心菱形为实验测量点，实线为MATLAB拟合曲线，红色线条表示水面高度为10 cm时流水时间随孔径的变化情况，其它彩色线条分别代表水面高度为15 cm，20 cm，25 cm，30 cm和40 cm时流水时间随孔径的变化情况。从图1和图2中均可以看出，当圆筒底部的孔径d不变时，h越大，t越大，即水面越高，流水时间越长，当水面高度h不变时，d越大，t越小，即孔径越大，流水时间越短。

图1　流水时间t随水高h的变化

图2　流水时间t随孔径d的变化

1.4小孔水流时间随水高和孔径变化的函数模型

利用MATLAB的cftool命令对圆筒流水时间关于不同孔径、不同水高的函数关系进行拟合。分别采用MATLAB中常见的7种函数模型对小孔流速问题进行拟合，通过R-square和RMSE(方均根)等参数评定拟合结果的优劣和拟合度的高低，R-square越接近1，RMSE越小，拟合度越高，拟合结果越可信。其中Power、Exponential和Polynomial模型拟合函数得出的R-square和RMSE值较为理想。利用上述三种模型拟合流水时间t随不同水面高度h变化的函数曲线，拟合评定参数R-square和RMSE值如图3所示。其中绿线、蓝线和红线分别代表Power、Exponential和Polynomial模型下拟和函数对应的R-square和RMSE值。

图3　三种模型下拟合h-t函数对应的评定参数

利用Power、Exponential和Polynomial模型拟合流水时间t随不同圆孔直径d变化的函数曲线，拟合评定参数R-square和RMSE值如图4所示。

图4　三种模型下拟合d-t函数对应的评定参数

其中绿线、蓝线和红线分别代表Power、Exponential和Polynomial模型下拟和函数对应的R-square和RMSE值。从图3和图4中均可以看出，Power模型拟合出的R-Square值最接近于1，且相应的RMSE值最小，因此Power模型是拟合小孔流速问题最佳的选择，水流时间随圆孔直径和高度的变化关系t=f(h,d)可写为函数t=khαdβ的形式，其中k、α、β为待定参数。

1.5利用MATLAB拟合函数表达式

利用MATLAB函数库中的cftool工具确定水流时间随圆孔直径和高度的变化关系t=khαdβ中的待定参数，拟合得出的函数关系列于表3。为了方便处理数据，对函数t=khαdβ进行线性化，两边取对数得到lnt=lnk+αlnh+βlnd，其中lnd，lnh的相关数值见表3，对表2中列出的圆筒水流时间t随不同孔径d、不同水面高度h的测量值取对数，得到lnt的数值列于表4。

表3　拟合水流时间与高度和孔径的函数及相关参数

表4　不同高度、不同孔径对应流水时间的对数值

根据表3和表4的数据，编写如下的MATLAB程序[4]，拟合出最佳直线，求出待定参数，拟合出的相关物理量及评定参数列于表5。

MATLAB程序：

n=36；m=2;

Ltime=[2.511.66 1.27 1.15 0.83 0.42 2.81 1.921.52 1.46 1.11 0.72 3.00 2.11 1.72

1.661.29 1.19 3.15 2.26 1.88 1.79 1.74 1.34 3.26 2.38 1.98 1.88 1.83 1.45

3.452.55 2.16 2.08 2.06 1.64];

Ldiameter=[2.032.44 2.70 2.95 2.97 3.15 2.032.44 2.70 2.95 2.97 3.15 2.032.442.70 2.95 2.97 3.15 2.03 2.442.70 2.95 2.97 3.15 2.03 2.442.70 2.952.97 3.15 2.03 2.44 2.70 2.952.97 3.15];

Llength=[2.30 2.30 2.30 2.30 2.30 2.30 2.71 2.71 2.71 2.71 2.71 2.71 3.00 3.00 3.003.00 3.00 3.00 3.22 3.22 3.22 3.22 3.22 3.22 3.40 3.40 3.40 3.40 3.40 3.403.69 3.69 3.69 3.69 3.69 3.69];

A=[ones(n,1),Ldiameter ',Llength'];

[b,bint,r,rint,s]=regress(Ltime',A);

ssquare=sum(r.^2)/(n-m-1);

b,bint,s,ssquare

rcoplot(r,rint)

程序中n为样本量，m为自变量数目，Ltime为lnt，Ldiameter为lnd，Llength为lnh，b表示回归系数，程序运行后给出的的b1、b2和b3分别代表lnk、β和α的数值，bint表示回归系数的置信区间，r表示残差，rint表示残差的置信区间，s用于检验回归模型的统计量，程序运行后有四个数值，分别为相关系数R2、F、F(1,n-2)分布中大于F值的概率P和残差的方差s2，R2和F的数值越大，P和残差的方差越小，说明回归方程越显著。

表5　MATLAB拟合出的参数值及置信区间

残差及置信区间如图5所示，每条红线长度表示的是置信区间，黑色小圆圈代表残差点，残差图中未出现异常点。从图中可以看出，本次实验数据较好，没有坏值，拟合出的结果较为可信。从而不同圆孔直径排水时间t关于水高h及孔径d的经验公式为t=e3.831 7h0.747 1d-1.568 5。

图5　残差及置信区间图

2实验结果的讨论分析

利用计算机软件MATLAB处理极其繁杂的二元线性回归问题，可使过程简单清晰，结论更加明确，使物理问题更加直观和形象。幂函数Power模型可较好地拟合出流水时间关于孔径d、水面高度h的变化关系。

从拟合函数t=e3.831 7h0.747 1d-1.568 5可以看出，孔径不变时，水面越高，流水时间越长；水面高度不变时，孔径越大，流水时间越短。但由于水不是理想的流体，实验者在实验测量过程及数据采集时会不可避免地引入误差，实验者应尽可能地减小误差以获得更加准确的结果。实验中应尽量地准确读数，可以采用多次测量取均值的办法减小孔径测量的误差，并利用不确定度评定测量结果的准确度。用秒表测量流水时间时，实验者及时迅速地操作秒表可减少误差。此外，从实验曲线上可以看出，选取柱形圆筒的孔径应尽量不大于23.25 mm，因为孔径越大，流水速率越快，时间的测量就越不准确。

文章将理论模拟和实验相结合，充分体现了MATLAB软件在数值处理方面的优势，利用软件进行图像绘制和函数拟合，使得物理规律清晰，物理结论可视化效果加强。

参考文献：

[1]徐建峰，李荣胜，周静，等．用布里渊散射测量水的粘滞系数[J]．光学学报，2001,9(21):1112-1115.

[2]蔡一坤，张建恒．测小孔流速实验[J]．物理实验，1986,6(6):244-246.

[3]金进生，周祖利．小孔流速和流量率分析[J]．杭州大学学报，1995(22):90-9.

[4]徐金明.MATLAB实用教程[M]．北京：清华大学出版社，2005:2-3.

[5]钞曦旭，杨万民，唐纯青．MATLAB及其在大学物理中的应用[M]．西安：陕西师范大学出版社，2006.

[6]黄薇.用Matlab比较双缝干涉和双缝衍射[J].大学物理实验，2015(1)：4-5.

[7]郑君刚.大学物理实验数据处理的Matlab应用[J].大学物理实验，2015(2)：12-13.

The Application of Binary Linear Regression in the Experiment of Keyhole Flow Velocity Based on MATLAB

HUANG Yu-hong,MA Jie,ZHANG Mu-hua,WANG Heng-tong,YANG Zong-li

(Shaanxi Normal University,Shanxi Xi’an 710119)

Abstract：The relationships between water velocity at the exit of the keyhole and diameter as well as height of the water in the vessel have been systematically investigated.Dualistic linear regression fittings are also performed referring to the related physical quantities.The corresponding undetermined parameters and the confidence interval of the fitted curves are determined.The fitting curves are in good agreement with the experimental data.Furthermore,the empirical formula of the keyhole flow velocity is obtained and the method of reducing experimental errors is discussed.

Key words：keyhole flow velocity；dualistic linear regression；MATLAB；regression model；residual error and confidence interval

中图分类号：O 4-39

文献标志码：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.001.024

文章编号：1007-2934(2016)01-0094-04

基金项目：国家自然科学基金(No.51302162)；陕西省自然科学基金(2014JQ1016)；陕西师范大学中央高校基本科研业务费专项资金资助(No.GK261001150)

收稿日期：2015-07-31