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《圆面积的拓展练习》设计与教学

2016-04-02徐英飞

小学教学设计(数学) 2016年11期
关键词:圆面积外切周长

徐英飞

【教学内容】

人教版六年级上册《圆的面积》之后的补增内容。

【课前设想】

六年级上册的小学数学作业本上有这样一道题:

如下图,点O为圆心,正方形OABC的面积是20cm2,求圆的面积。

学生第一次碰到它时,说是不会做,原因是因为不知道半径,于是我告诉学生“圆面积的计算公式是S=πr2,而r2就是正方形的面积,因此20cm2可以直接拿来用。可是过了一段时间,当学生再次碰到这道题目时,又不会了,问了原因,居然又是因为不知道半径,于是只好再讲一遍。但到期末时,在复习卷中又出现了这样的题目,结果又有好多学生不会了,问了原因,居然又是因为不知道半径,真是让人又气又急。

其实每次学生不会时,我都是讲解得很认真的,但却总是回到起点。于是我不得不进行反思:这道“大家都觉得困难且又反复出错”的题目,真的靠教师简单讲一下就能解决吗?如果能,为什么讲了那么多遍还是见不到效果?是学生的记性太差还是我的教学出了问题,想必肯定是后者。于是我冒出一个念头:类似于这样的题目,能不能让学生像新授课一样经历一个探究过程?

【教学过程】

一、旧知回顾

师:同学们,最近我们学习了有关圆的知识,你能回忆一下吗?

生:圆有圆心、直径、半径、周长、面积……

师:怎样计算圆的周长?字母公式是怎样的?

生:直径乘圆周率就是圆的周长,C=πd,C=2πr。

师:(课件出示:圆周长的一半)它的长度又该怎么算?

生:πr。

师:那么圆面积呢?

生:S=πr2。

师:这个公式又是怎么推导出来的?

生:把圆剪拼成一个近似的长方形,长方形的长等于圆的半周,也就是πr,宽是圆的半径,也就是r,所以圆面积S=πr×r,也就是 S=πr2。

二、简单练习

出示:已知 r=2cm,d=6cm,c=25.12cm,求圆的面积。

(学生自练,汇报,教师板书)

师:通过这道题,你明白了什么?

生:要求圆面积,必须得先知道半径。

三、任务挑战

出示:(如前图)已知正方形的面积是20平方厘米,圆面积是多少平方厘米?

师:我们把这样的正方形,称为小正方形,接下来请同学们独立解决。

教师巡视后板书:

20÷4=5(cm),3.14×52=78.5(cm2)。

师:你怎么看?

生:我认为是错的,他是把20平方厘米当小正方形的周长了;另外,5厘米也不是圆的半径,不然,小正方形的面积就是25平方厘米了。

师:如果允许你换个数字,你希望是多少?

生:4平方厘米,9平方厘米,16平方厘米,25平方厘米……

师:为什么?

生:因为这些数字可以分解成两个相同的数字相乘,这样就可以知道圆的半径了。

师:假设小正方形的面积是9平方厘米,那么圆面积是多少平方厘米?请独立完成。

教师巡视后板书:

方法一:9÷3=3(cm),3.14×3×3=28.26(cm2);

方法二:3.14×9=28.26(cm2)。

师:对于这两种方法,你怎么看?

生:我认为两种方法都是对的,方法一是先求出圆半径,然后再根据公式求出圆面积;方法二是把9直接拿来用了,因为小正方形的面积就是半径的平方。

师:你更喜欢哪一种?为什么?

生:更喜欢第二种,因为更简单。

师:我们再回到先前的挑战题,现在你是否会做了?

生:3.14×20=62.8(cm2)。

师:你们同意吗?为什么?

生:20平方厘米就是半径的平方,因此可以直接拿来用。

师:假设小正方形的面积是1cm2,那么圆面积是多少?

生:1×3.14=3.14(cm2)。

师:如果是2cm2呢?

生:2×3.14=6.26(cm2)。

师:你发现了什么?

生:圆面积是这个小正方形面积的π倍。

师:所以圆面积还可以怎么求?

生:先求出小正方形面积,再乘π。

师:哪个字母公式更符合?

生:S=πr2。

师:那么根据剪拼,公式应该是怎样的?

生:S=πr×r。

师:看样子,不同的思路,公式的写法也不一样。

师:到现在为止,你有什么新的收获?

生:要求圆面积,不是非得知道半径;计算圆面积,可以从转化成长方形开始,也可以从小正方形开始;同一个字母公式(π×r×r),不同拆分代表的意义不同。

师:现在有一个圆,半径是4cm,要求它的面积,你准备走哪条路径?请画一画,算一算。

生:3.14×42=3.14×16=50.24(cm2),先求小正方形面积,再求圆面积。

生:3.14×4×4=12.56×4=50.24(cm2),先求半周长,再求圆面积。

四、延伸拓展

1.小正方形的面积仍是20平方厘米,那么圆的外切大正方形的面积是多少平方厘米?

2.圆内接正方形的面积是40平方厘米,那么圆的面积是多少平方厘米?

3.已知正方形的面积是60平方厘米,你能求出跟它相关的圆的面积吗?

五、全课总结

【课后反思】

1.先方后圆,也是计算圆面积的一条好路径。

学生能够熟记公式S=πr2,但未必能理解公式的真正含义,所以遇到作业本中的那道习题就不会了。或许他们知道πr2是由πr×r简写得到的,也知道πr×r是通过把圆转化成长方形推导出来的,但从未想过S=πr2中的r2是代表什么意思。

这节课打破了学生固有的思维,从而走出了一条求圆面积的新路径。同样是三个字母相乘“π×r×r”,如果是分割成(πr)×r,那么就是“半周×半径”,如果是分割成π×r2,那么就是小正方形面积的π倍。所以先方后圆,也是求圆面积的一种好方法。

2.延伸拓展,轻松理解圆与外切(内接)正方形的关系。

探究圆与外切(内接)正方形的关系,虽不是学生必须掌握的知识,但在教材的第74页也出现了,它是通过计算来发现圆与外切正方形之间的关系,但过程是相当繁杂的。有了这节课,学生很轻松地就可以知道“圆外切正方形的面积与圆面积的比是4:π”。再比如圆内接正方形的面积与圆面积的关系,也只要稍微转化一下就可以知道两者之比是2:π。所以学好这节课,意义很大。

3.为数学知识拓展课,提供一点建议。

《浙江省教育厅办公室关于建设义务教育拓展性课程的指导意见》指出:拓展性课程可分成“知识拓展、体艺特长和实践活动”,小学主要开设体艺特长类和实践活动类课程,到了初中再增加知识拓展类课程。这就意味着小学主要是后两类,如果再细分到数学课程,那么只有“实践活动类”了。但笔者认为小学数学也需要有适当的知识拓展课程,因为当下,“例题简单而练习困难”是真实的现状,但当面对较难的练习题时,往往是教师自己讲一下,结果导致学生不懂或一知半解,等到下次再碰到这样的题目时又不会了。所以笔者很希望有这样的课,可以让学生对这样的难题好好探究一下。本文中说到的题目,就是非常好的例子,它以基本知识为主,又脱离奥数题,所以对于好中差学生都极为有利。

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