□李其明

“无关”与“不含”型问题例析

□李其明

在整式加减这一章中，我们经常会遇到“无关”与“不含”这两类问题，下面分别介绍这两类题型的解法，供同学们参考.

一、“无关”型

所谓“无关”型问题，就是在整式加减的运算中，代数式的值与其中的所含字母或部分字母无关的问题.处理这类“无关”型的问题时，只要能灵活运用整式加减的运算法则，就能使问题正确获解.

例1有一道题“先化简，再求值：17x2－（8x2＋5x）－（4x2＋x－3）＋（－5x2＋6x－1）－3，其中x＝2009.”小芬做题时把“x＝2009”错抄成了“x＝2090”.但她计算的结果却是正确的，请你说明这是什么原因？

分析：本题可先将多项式去括号，合并同类项后，再看化简结果进行说理.如果化简后的多项式中不含x，说明合并同类项后结果与x无关.

解：17x2－（8x2＋5x）－（4x2＋x－3）＋（－5x2＋6x－1）－3

＝17x2－8x2－5x－4x2－x＋3－5x2＋6x－1－3

＝（17－8－4－5）x2＋（－5－1＋6）x＋（3－1－3）

＝－1.

由此可知，此多项式的值与字母x的取值无关.所以小芬将x＝2009错抄成x＝2090时，计算的结果不变.

点评：抄错未知数的取值但计算结果正确，通常情况下都说明其代数式的化简结果不含这个未知数.

例2李华老师给学生出了一道题：当a＝0.35，b＝－0.28时，求7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3ba2－10a3＋3的值.题目出完后小明说：“老师给的条件a＝0.35，b＝－0.28是多余的.”王光说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理？为什么？

分析：要判断谁说的有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小明说的有道理，否则，王光说的有道理.

解：7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3ba2－10a3＋3

＝（7＋3－10）a3＋（－6＋6）a3b＋（3－3）a2b＋3

＝3.

通过合并同类项可知，最后的结果为常数3，与a，b无关，所以小明说的有道理.

点评：处理代数式的值与字母取值无关的问题，一般是先将代数式化简，求出其结果，如果结果中不含有某个字母，那么就能说明这个代数式的值与这个字母无关.

二、“不含”型

例3 已知代数式（2mx2－x2＋3x＋1）－（5x2－4y2＋3x），是否存在m，使代数式不含x？若不存在，说明理由；若存在，求出m的值.

分析：本题实质是化简题，去括号、合并同类项是关键，只要含x的项的系数为零即可.

解：（2mx2－x2＋3x＋1）－（5x2－4y2＋3x）

＝2mx2－x2＋3x＋1－5x2＋4y2－3x

＝（2m－6）x2＋4y2＋1.

假设不含x，则2m－6＝0，所以m＝3，即存在m＝3使代数式不含x.

点评：解决这种“不含”问题，只要不含某未知数的项的系数为0即可.

巩固练习：

1.有这样一道题：计算（3x2－2x＋1）－2（x2－x）－x2的值，其中x＝－2.小明同学把“x＝－2”错抄成“x＝2”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由.

2.试说明无论x取怎样的值，多项式（8－7x－6x2＋x3）＋（x3＋5x2＋4x－1）－（－x2－3x＋2x3－3）的值与x无关.

参考答案：

1.原式＝3x2－2x＋1－2x2＋2x－x2＝1.故无论x为何值，原式的值恒等于1，所以小明把“x＝－2”错抄成“x＝2”也不影响计算的结果.

2.因为（8－7x－6x2＋x3）＋（x3＋5x2＋4x－1）－（－x2－3x＋2x3－3）＝8－7x－6x2＋x3＋x3＋5x2＋4x－1＋x2＋3x－2x3＋3＝10.所以无论x取何值，原式的值都等于10，所以多项式的值与x无关.