□侯国兴

活用数学思想进行整式加减

□侯国兴

学习整式的加减，不但要熟练掌握运算法则，更要了解其中蕴涵的数学思想方法.下面对本章涉及的主要数学思想方法进行归纳、总结.

一、整体思想

所谓整体思想，就是在解决数学问题时，不是“一叶障目”，而是从大处着眼，由整体入手，通过观察和分析找出整体与局部的联系，从而在宏观上寻求解决问题途径的一种思维方法.

例1代数式3x2－4x－5的值为7，则的值为______.

分析：由条件可整体求得x2－x的值，问题则容易获解.

解：因为3x2－4x－5＝7，所以3x2－4x＝12，即x＝4，因此x－5＝4－5＝－1.

点评：此例若考虑由条件求出x的值，再代入x2x－5中计算是不明智的选择，且以七年级所学知识无法由3x2－4x－5＝7求出x的值.

二、方程思想

所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法.

例2如果3x2n-1ym与－5xmy3是同类项，则m和n的取值是（）.

A.3和－2B.－3和2

C.3和2D.－3和－2

分析：需根据同类项的定义构造关于m、n的方程，解方程求出m n的值.

解：由同类项的定义，得m＝且2n－1＝m，解得n＝2.因此m＝3，n＝2，选C.

点评：准确理解同类项的定义是解题的关键.在本章中，涉及求某多项式中待定系数的值或根据同类项的定义求某单项式中指数的取值，都需用到方程思想.

三、分类讨论思想

当被研究的问题包含多种情形，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情形来分别讨论，得出各种情形下相应的结论，这种处理问题的思维方法称之为分类思想.

例3 若多项式3xn+1－xn＋2xm-1是六次二项式，试求出2n2－3m＋1的值.

分析：欲求代数式2n2－3m＋1的值，要先根据条件求出m、n的值.而从表面上看所给的多项式3xn+1－xn＋2xm-1有三项，而已知它是六次二项式，这表明某两项是同类项，显然3xn+1与－xn不可能是同类项.至此，解题思路已明了.

解：由多项式3xn+1－xn＋2xm-1是六次二项式，有两种情况：

（1）若3xn+1与2xm-1都是六次，则n＋1＝6，m－1＝6，解得n＝5，m＝7.此时2n2－3m＋1＝2×52－3× 7＋1＝30；

（2）若3xn+1的次数是6，－xn与2xm-1的次数相同，则n＋1＝6，且n＝m－1，解得n＝5，m＝6.此时2n2－3m＋1＝2×52－3×6＋1＝33.

点评：抓住多项式有关概念的实质是解题的关键.不难看出，此题在用分类思想解答的同时，还用到了方程思想.

四、转化思想

在解题过程中，把生疏的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的问题，把一般问题转化为特殊问题，这种处理问题的思维方法称之为转化思想.

例4当a的取值使得代数式3－（a＋2）2的值最大时，代数式a3－2a2＋3的值为_______.

分析：本题解题的关键是理解“a的取值使得代数式3－（a＋2）2的值最大”的含义，即求使（a＋2）2最小的a的值.

解：要使代数式3－（a＋2）2的值最大，必须使（a＋2）2的值最小.因为（a＋2）2≥0，仅当a＝－2时，（a＋2）2的最小值为0.所以，当a＝－2时，3－（a＋2）2取得最大值3.从而a3－2a2＋3＝（－2）3－2×（－2）2＋3＝－13.

点评：此题的解答，很好地体现了由已知向未知的转化.求一个代数式的最大（小）值本已超出同学们所学知识范畴，但这里利用减数、被减数的关系以及非负数的性质讨论求解，相信同学们一定能够理解掌握.

在今后的学习中，同学们要注意数学思想方法的学习，只有真正领会并掌握数学解题的思想方法，才能成为解题的能手.