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平均数和方差的变化规律

2016-03-28邹兴平

初中生天地 2016年17期
关键词:兴平另一组引例

□邹兴平



平均数和方差的变化规律

□邹兴平

一般地,设n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,则方差方差反映了一组数据的波动性的大小,方差越大,波动性越大.

当一组数据的每一个数据都发生规律性的变化时,如同时扩大(或缩小)到原来的a倍,或同时增加(减少)b,它们的方差或平均数会有什么样的变化呢?

引例已知一组数据x1,x2,…,xn的平均数为方差为s2,把每个数据先乘以a,再减去b,得到一组新的数据ax1-b,ax2-b,…,axn-b,这两组数据的平均数相同吗?方差呢?

分析:观察两组数据可知,第二组数据是第一组数据规律性变化后的结果,求第二组数据的方差或平均数时,应借助于第一组数据的方差或平均数.

在新数据中,令y1=ax1-b,y2= ax2-b,…,yn=axn-b,

综上所述,我们可以得到这样一个规律:若数据x1,x2,…,xn的平均数为方差为s2,则新数据ax1+ b,ax2+ b,…,axn+ b的平均数为方差为a2s2.

例1(2015·遵义)如果一组数据x1,x2,…,xn的方差是4,则另一组数据x1+3,x2+3,…,xn+3的方差是().

A. 4 B. 7 C. 8 D. 19

解析:根据题意得:数据x1,x2,…,xn的平均数设为a,则数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数为a+3,根据方差公式a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2]=4,则 +(xn-a)2]=4.故选A.

例2已知一组数据x1,x2,…,xn的平均数为5,方差为4,把每个数据先乘以3,再减去2,得到一组新的数据3x1-2,3x2-2,…,3xn-2,这两组数据的平均数相同吗?方差呢?

在新数据中,令y1=3x1-2,y2= 3x2-2,…,yn=3xn-2,

所以题中两组数据的平均数、方差均不同,新数据的平均数为3× 5-2=13,方差为32×4=36.

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