熊腾飞

（韶关学院信息科学与工程学院，广东韶关512005）

关于近世代数教学的几点体会

熊腾飞

（韶关学院信息科学与工程学院，广东韶关512005）

近世代数是本科数学专业的一门重要基础课，许多学生在学习的过程中感觉难学难懂.为更好地引导学生学好近世代数，提高他们的数学素养，提高教学效果，从概念的讲解、如何上好习题课、培养学生发现问题的能力和良好的学习意志品质的角度出发，给出了一些在教学实践中行之有效的方法和技巧.

近世代数;教学;概念;群

近世代数是以代数系统为研究对象的一门学科，是专业基础课高等代数的直接后续课，是代数系列的主干课程，几乎所有本科院校数学与应用数学专业的学生都要学习该课程.本科阶段的近世代数课程，是学生进一步学习代数学的重要先行课，为有限群论、交换代数、模论等课程的学习打下必要的数学基础.在学习的过程中，学生掌握近世代数的基本知识、基本理论以及基本的计算、证明方法，可以很好地帮助他们提高数学素养，培养他们的逻辑推理、抽象思维能力.然而，近世代数课程的理论是相当抽象而且枯燥的，这使得许多学生在学习的过程越来越缺乏信心和兴趣，严重影响了学习效果.近年来，许多数学专业一线教育工作者对这门课程的教学进行了研究：他们论述了近世代数课程的意义、地位和作用，概括了近世代数课程的主要特点，阐述了各自在近世代数课程教学实践中几点有益的教学尝试，提出了近世代数课堂开拓学生思维以及培养他们解决问题能力的方法［1-9］，得出了一系列很好的成果，教学理论也越来越丰富.本文从近世代数课堂教学中概念的讲解、如何上好习题课、培养学生发现问题的能力和良好的学习意志品质的角度出发，总结了一些在教学实践中的行之有效的方法和技巧，旨在引导学生更加高效地投入到近世代数的学习当中，从而提高教学的效果.

1 近世代数概念的讲解

和本科阶段的其他数学学科一样，近世代数包含大量的概念，不仅如此，它的每个定义都拥有深刻的内涵，运用十分广泛.近世代数教材的传统结构框架是从公理体系出发，沿着“定义——假设——定理——证明——推论——例题”这一条演绎道路进行的［1］.在近世代数课堂上，能否把概念讲清楚、讲透彻，将极大地影响学生对一个甚至是几个章节所学知识的理解，因此，必须重视概念讲解的环节.然而，在教学实践中，有相当一部分学生对概念的理解仅仅停留在简单的记忆阶段，他们虽然能够熟练地背出相应的内容，但是却不懂得如何从概念出发，解决所遇到的问题，甚至是学习了后面章节的概念，就把前面所学的概念遗忘.因此，在讲解概念的过程中，必须注重讲解的方式和方法，引导学生深刻地理解所学内容，拓展他们的思维，培养他们自主解决问题的能力.

1.1 通过例子和反例相结合的方式讲解概念

近世代数中的绝大部分概念都是抽象难懂的，教师在讲课过程中，既要有意识地讲解一些典型的例子，又要适时举出若干反例.通过典型的例子，学生能够从感性出发，更好地理解概念的内涵；反例是从另外一个角度去考察所学的概念，举反例能够帮助学生更加全面地理解它们，帮助他们更加灵活地运用所学概念去解决遇到的问题.当学生接触到一些较为复杂的概念时，采用例子和反例相结合的方式来讲解，往往能获得不错的效果.

例如，在讲解群的概念时，给出群的定义以后，一方面列出整数加群、非零有理数乘群等典型例子，学生从这些具体的例子出发，逐条对照群的定义中所列出来的条件，能够有效地帮助他们理解各项条件，从而掌握群的概念；另一方面给出几个反例，比如全体有理数对于普通乘法、全体整数对于普通减法，通过这些反例，学生从另外一个角度考察群的概念，进一步理解群的各项条件的同时，也体会到了判断一个代数系统是否构成“群”的方法，有助于他们更加灵活地运用群的概念.

1.2 结合学习过的内容讲解概念

近世代数每一章都有很多概念需要学习，这些概念往往又是有着紧密联系的，随着课程的推进，学生很可能会把前面学习过的概念遗忘，使他们对新的概念的理解产生影响.在讲解概念的过程中，把一些学习过并且联系紧密的内容提取出来跟当前所讲解的概念作对照，既能促进学生复习学过的知识，也有利于学生掌握新的概念，达到温故而知新的效果.

例如，在介绍环的定义时，首先要用到加群的概念，而加群实际上就是一个交换群，只不过是对代数运算的称呼和符号做了改变.在讲解加群的概念时，可以把先前学习过的群的性质拿出来跟加群做个对比，如表1所示.

表1 群和加群

通过表1可以清楚地看到一般的群与加群的联系与区别.学生在回忆起前者的性质的同时，也能从这些性质出发，迅速掌握加群的内涵，以便进一步学习环的定义.

1.3 通过过渡语言引出概念

在近世代数的课堂上，经常会遇到一些比较抽象的概念，学生理解起来比较困难，适时介绍一下这些概念的主要作用，往往可以吸引学生的听课注意力，调节课堂气氛，也可以使他们加深对所学概念的印象.例如，在介绍群的同构的概念时，可以采用过渡语言如下：群该群的一个最关键的要素，运算把集合中的元素很好地联系了起来.在群论当中，经常把“一样”的群分为一类去研究，那么对于群G1和群G2，怎么样才能认为这两个群是“一样”的呢？显然，如果仅仅在集合G1和集合G2之间存在一个双射f，那是完全不够的，还要考虑这个f和两个群的运算之间存在什么关系.

随后，教师给出群的同构的详细定义，学生经过前面简要的铺垫，大致明白了群的同构所起的作用，会对群的同构的概念产生较深的印象，也能够吸引学生进一步学习接下来的内容.

2 提高习题课的课堂效果

习题课是任何数学课程的一个重要环节，而提升学生动手解题能力，是习题课的一个重要目标.在习题课上，不能一味地教师讲，学生听，而要注意留给学生充分的思考以及动手解题的时间.有的学生在课堂上能够听懂所讲的知识，但是在考试时却无法准确地答题，这往往是平时动手解题较少造成的.因此，教师是习题课上，应及时提醒学生动手解题，而不要仅仅局限于听老师讲解，以达到练习的目的.

另一方面，一些学生在解答近世代数的题目时缺乏积极性，事实上，如果在习题课上布置一些开放性的题目，即列出若干命题，让学生自行判断对与错，对的予以证明，错的找出反例，往往能够激发学生的思考热情.

例如，给出题目：

(1)设K是群H的正规子群，H是群G的正规子群，则H是否G的正规子群？

(2)设f是群G到群G的一个同态映射，且H≤G，H≤G，若H◁G，则是否f-1(H)◁G？

以上两个题目，(1)的答案为“否”，(2)的答案为“是”，在做出判断以后，要求学生分别给出反例和证明，不确定的命题能够激发学生的学习热情，使他们真正参与到习题课中来，避免仅仅只是听教师讲解或者上课走神.

3 利用课堂教学培养学生的创新能力

能否发现和能发现多少有价值的问题是衡量一个人创新能力高低的重要标杆.学习近世代数课程，不能仅仅局限于掌握相关知识和解题方法，更要通过这门课程培养学生的创新能力，而这要以善于发现好的问题为前提.学生在学习近世代数时会遇到有很多定理、命题，在讲解某些结论的过程中，可以不必在第一时间把所有内容都展示给学生，而是从较为简单的特殊情况出发，引导学生通过观察，提出一般情况下的结论，然后再指导他们对得出的结论加以分析并判断对错.

例如，在介绍左陪集和右陪集的关系时，可以先从具体的例子出发：令G=S3,H={((1),(1,2)}≤G，写出子群H的所有左陪集和右陪集.

在列出子群H的所有左陪集和右陪集后，学生经过观察，很容易就得出结论：在一般情况下，子群H的右陪集并不等于H的左陪集.此时，教师可以趁势提问：“虽然一个子群的右陪集一般不等于左陪集，但是它们之间有没有什么联系？”同时，再给出的几个不同的具体例子，让学生去观察，引导学生得出结论：一个子群H的右陪集的个数和左陪集的个数相等，它们或者都是无限大，或者都有限且相等.

接下来就是指导学生对以上结论进行证明.

经过以上教学过程，既能使学生对结论本身有一个较深刻地认识，又能让他们体会到学习近世代数的乐趣，同时也令他们实践了“发现问题”的一种方法，从而提升他们的创新能力，对有意于将来从事理论研究工作的学生起到一定的示范作用.

4 适时鼓励学生，培养学生良好的学习意志品质

德国教育家第斯多惠说过：“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”［2］.有的学生在遇到问题时，第一反应就是怀疑自己的学习能力，而不是迎难而上，刻苦专研，解决问题，时间久了就会失去学习的动机，这需要教师适时予以鼓励.实际上，想要学好任何一门课程从来就不是一件轻松的事，在学习过程中，总会遇到各式各样的困难，学习近世代数更是如此.近世代数是一门历史悠久的学科，在其理论发展的过程中，无数数学家为此倾注了大量的心血，而有的问题是经历了相当漫长的时间才得以解决.例如，有限单群分类定理，历经数十年，前后有100多位数学家参与论证，整个结果由500多篇论文组成，才于1980年完成.教师可以告诉学生，在学习上遇到困难是再正常不过的事，同时通过一些前辈数学家不懈努力的例子，激励学生通过自己的努力解决问题，保持学习热情.培养百折不挠、勇于克服困难的学习意志品质，对学生的学习有着重要的促进作用.

5 结语

在近世代数教学过程中，必须重视对基本概念的讲解，掌握基本概念是学生学好该课程的前提条件；应该充分利用习题课，使学生能够熟练、灵活地运用所学知识去解决遇到的问题；开设近世代数课程，不仅仅为了学习知识本身，教师可以在教学过程中培养学生发现问题的能力，为他们创新能力的提高打下基础;当学生在学习上的遇到困难时，应适时予以鼓励.总之，要上好近世代数课程，必须勤于思考，用心对待.

［1］王晓,汪小黎.近世代数课程教学的改革与实践[J].课程教育研究,2014(34):140.

［2］张振亮.互动式教学法在近世代数教学中的应用[J].兰州教育学院学报,2015,31(6):106-107.

［3］夏静波,邹庭荣,张四兰.“近世代数”的教学技巧[J].大学数学,2009,25(1):5-8.

［4］袁玉卓,王骁力.关于近世代数课程教学的一些建议[J].南阳师范学院学报,2012,11(9):90-92.

［5］张慧.《近世代数》课程教学及教学案例分析[J].当代教育理论与实践,2016,8(1):34-36.

［6］胡江胜.关于近世代数教学的几点思考[J].江苏理工学院学报,2015,21(4):88-90.

［7］程晓亮.高师院校近世代数课程教学策略[J].德州学院学报,2015,31(4):92-94.

［8］陶司兴.抽象代数课程教学方法研究与实践[J].赤峰学院学报（自然科学版）,2016,32(2):239-240.

［9］韩荣梅.关于近世代数课程如何培养学生解决问题的能力[J].科技信息,2014(4):75.

Some Experiences of Teaching Modern Algebra

XIONG Teng-fei
（Institute of Information Science and Engineering,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

Modern algebra is an important basic course of undergraduate's specialized Mathematics,and many students feel difficult to understand in their learning.In order to instruct students learning modern algebra well, improve their mathematical literacy and the teaching effect,some effective methods and techniques in teaching practice are given from the explanation of concepts,exercise teaching,cultivating students'ability to fine questions and the excellent study will quality.

morden algebra;teaching;concept;group

G642.1

A

1007-5348（2016）12-0084-04

（责任编辑：邵晓军）

2016-07-20

熊腾飞(1985-)，男，广东韶关人，韶关学院信息科学与工程学院讲师，硕士；研究方向：环论、代数图论.