刘彩云,郭尊光,曲良辉

（1.太原工业学院理学系,山西太原030008；2.中原工学院理学院,河南郑州450007）

一类具有可调参数的分段线性插值函数及性质研究

刘彩云1,郭尊光1,曲良辉2

（1.太原工业学院理学系,山西太原030008；2.中原工学院理学院,河南郑州450007）

在插值条件确定的情况下,如何灵活修改曲线形状是产品设计中的一个重要课题.文章构造了一种仅基于函数值,且带一个可调参数的分段线性插值函数,并讨论了其相关性质.研究结果表明,插值函数在给定区间上一致收敛于被插函数f（x）；同时,根据实际设计需要,通过选取适宜的参数,可使该曲线C1连续且与原数据具有相同的凸性,以及可实现对曲线形状进行局部调控的目的.

线性插值函数；可调参数；一致收敛；C1连续性；凸性

0 引言

随着产品设计的日益复杂,研究人员已经在用于几何造型的控制设计方面研究了较多样条函数［1,2］,如分段线性插值、三次样条插值、B样条插值等多项式插值,但它们都是确定性插值,即在插值条件确定的情况下,无法对插值函数作整体或局部修改.于是,带可调参数的有理插值样条函数以及它们在形状控制中的应用成为了研究的焦点［3－5］.文献［6］研究了一种带有三个参数的有理三次插值样条；文献［7］构造了一种基于函数值与导数值,又带有一个参数的有理四次样条函数.但在实际应用中,有时导数值是很难求得或带有参数较多时不便计算.因此,为适应工业设计的需要,研究仅基于函数值,但能灵活调控曲线形状的有理样条函数则成为计算机辅助几何设计中一个重要的研究课题.

本文构造了一种仅基于函数值,且带一个可调参数的分段线性插值函数,该函数不仅一致收敛于被插函数f（x）,而且选取适当的可调参数,可使该插值函数在相应区间上C1连续并且与原数据有相同的单调性和凸凹性.最后,数值算例表明,该插值函数计算简便,控制灵活,逼近效果较好.

1 带可调参数的分段线性插值函数的构造

1.1 分段线性插值函数

设f（x）在离散节点x0＜x1＜1……＜xn上对应的函数值为f0,f1,f2,……,fn,用过插值节点的折线段近似表示该离散数据变化趋势的函数为分段线性插值函数.因此,小区间［xk,xk＋1］上分段线性插值函数为

1.2 带可调参数的分段线性插值函数

用分段线性插值函数Ih（x）近似代替被插函数f（x）,虽然当步长h→0时,Ih（x）一致收敛于f（x）,但在插值节点处不可导；同时,当插值节点确定之后,插值函数的形状也随之确定,无法做局部或整体修改.为使在插值条件确定的情况下,仍能相对灵活的控制插值曲线的形状,本文对分段线性插值函数做了修正,引入可调参数,由于可调参数的存在,通过适当选取参数的取值,就可对插值曲线作整体或局部修改,以适应实际问题的需要.

设函数f（x）在离散节点x0＜x1＜……＜xn上对应的函数值为f0,f1,f2……,fn,记hk＝xk＋1－xk,为正的可调参数,将［xk,xk＋1］上带可调参数的分段线性插值函数定义为如下形式：

出现乌冰时，如乌冰面积不超过50%，或乌冰层浇薄（1cm左右），可以不破冰。如果乌冰面积较大、较厚时要打碎并捞出乌冰，使越冬池重结明冰。

容易验证,该函数满足插值条件Lk（x）＝fkk＝0,1,2,……,n,并且当λk＝1时,Lk（x）即为分段线性插值函数Ih（x）.

2 带可调参数的分段线性插值函数的性质

定理1（一致收敛性）

设f（x）∈C［a,b］,则h→0时,Lk（k）在［a,b］上一致收敛于f（x）.

则（2）式可表示为

定理2（C1连续性）

若带可调参数的分段线性插值函数中的可调参数λk满足λkλk－1Δk－1＝Δk条件,则插值函数Lk（x）＝在［a,b］上C1连续,其中

证明：讨论在点xk处的连续性

因此,若使L′k（x）在点xk处的连续,需满足条件L′k＋（xk）＝L′k－（xk）

定理3（凸凹性）

设f（x）在离散节点x0＜x1＜……＜xn上对应的函数值为f0,f1,f2,……,fn,若使（2）式定义的插值函数与原数据具有相同的单调性与凸凹性,则可调参数应满足如下条件：

1）若fi满足0＜Δ0＜Δ1＜……＜Δn－1,则λk＞1；

2）若fi满足0＜Δn－1＜……＜Δ1＜Δ0,则0＜λk＜1；

3）若fi满足0＞Δn－1＞……＞Δ1＞Δ0,则0＜λk＜1；

4）若fi满足0＞Δ0＞Δ1＞……＞Δn－1,则λk＞1；

利用一元函数单调性及凸凹性的判别方法,上述定理极易证得.

3 数值算例

例：设f（x）＝cosx,x∈［π,1.4π］,步长h＝0.3,试用带可调参数的分段线性插值函数模拟该函数,并对其进行分析见图1至图4.

图1 三种函数图的比较

图2 三种函数图像在局部小区间内的放大图

图3λk对插值曲线凸凹性的影响

图4 误差分析图

4 结论

从数值算例中可以看出,带可调参数的分段线性插值函数在离散节点处与相应的离散数据完全吻合,这恰好与满足插值条件的理论知识一致［8,9］.当可调参数选取合适的值时,该插值函数在给定区间上连续光滑,与已知函数具有一致的单调性和凸凹性,同时误差较小,控制在10－3的范围内；从图2中可知,如果选取适宜的可调参数,则带可调参数的分段线性插值函数比分段线性插值函数的逼近效果好；从图3中可得,当插值条件确定的情况下,选取不同的可调参数λk（从左上开始λk分别为1.1,11,110）,得到的插值函数凸凹程度完全不同,因此,根据产品设计要求,可以通过在不同的小区间内选择合适的参数来满足设计需求,这也正是带可调参数的分段线性插值比确定性插值的优越之处.最好,数值算例表明该方法计算简便,控制灵活,极易满足实际问题的需求.

参考文献：

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［2］Girvan M,Newman M E J.Community structure in social and biological networks［J］.Proceed－ings of National Academy of Science,2002,99（3）：7821－7826

［3］Zulfiqar Habiba,Muhammad Sarfrazb,Manabu Sakai.Rational cubic spline interpolation with shape control［J］.Computers ＆Graphics,2005,29（1）：594－605

［4］Sarfraza M,Malik Zawwar Hussainb.Data visualization using rational spline interpolation［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics,2006,189（4）：513－525

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［6］Abbas M,Majid A A,Ali JM.Montonicity－preservingC2rational cublic spline for monotone data［J］.Applied Mathematics and Computation,2012,219（6）：2885－2895

［7］Samsul Ariffin Abdul Karim and Kong Voon Pang.Point control of the curves using rational quartic spline［J］.Applied Mathematical Sciences,2014,8（42）：2067－2086

［8］邓四清,方 逵.一种有理二次插值函数的凸性分析［J］.计算机工程与应用,2008,44（3）：45－56

［9］刘 植,肖 凯,江 平.一类四次有理插值样条的点控制［J］.计算数学,2016,38（1）：56－64

A Piecewise Linear Rational Interpolating Function with Adjustable Parameter and the Study of Properties

LIU Caiyun1,GUO Zunguang1,QU Lianghui2
（1.Department of Science,Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008；2.Department of Science,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou 450007,China）

How to modify the shape of the curve is an important issue in design of the product when the interpolating conditions are determined.A piecewise linear interpolating function based on function values with one parameter is constructed and some properties of the interpolating function are studied.Result show that the function converges to f（x）uniformly and the interpolating curve isC1－continuity,convexity preserving and modifying the local shape of an interpolating curve by simple selecting suitable parameter according to the practical design requirements.

linear interpolating function；adjustable parameter；uniform convergence；C1－continuity；convexity

1672－2027（2016）04－0013－04

O241

A

2016－08－27

刘彩云（1982－）,女,山西忻州人,硕士,太原工业学院理学系讲师,主要从事微分方程数值解研究.