田晓焕，柳淑学，李金宣，阳志文

（1.大连理工大学海岸与近海工程国家重点实验室，大连116024；2.交通运输部天津水运工程科学研究所，天津300456）

实验室水槽内基于二阶理论的波浪模拟

田晓焕1，柳淑学1，李金宣1，阳志文2

（1.大连理工大学海岸与近海工程国家重点实验室，大连116024；2.交通运输部天津水运工程科学研究所，天津300456）

实验室常用的一阶造波理论中的小振幅假设会在造波时生成附加的自由伪谐波，该波浪会影响造波的质量，而二阶造波方法可以通过附加造波板运动消除该自由伪谐波。文章基于Schäffer建立的二阶造波理论，建立了实验室水槽造波软件，针对规则波和不规则波，分别采用一阶和二阶理论进行推板造波实验，验证了二阶造波方法的有效性，二阶造波方法可有效抑制自由伪谐波，得到更精确的波形，并对采用二阶造波理论产生波浪时的问题进行了讨论。

二阶造波；约束谐波；自由谐波

对波浪相关问题的研究方法中，物理模拟方法以其能够真实、直观反映波浪特性的优点成为学者长久以来研究的重要手段［1］，其中，如何精确地生成波浪是关键的问题。目前实验室内最常用的造波理论是线性波浪理论，其最基本的假定是造波板做小振幅简谐运动。然而，实际的造波板运动幅值是有限的，这导致产生的波浪传播中出现了额外的、不期望的波浪非线性。在实验室中能够精确模拟波浪的这种非线性，对于需要产生对应于高阶精确波浪理论的波形，验证新的解析理论或者建立理论和更复杂自然现象的对应关系非常重要，因此需要进行二阶造波来修正。

二阶造波理论的发展可追溯到Stokes以波陡作小参量对规则波作摄动展开，发现了和频项。Fontanet［2］及Hudspeth和Sulisz［3］推导了规则波的二阶波理论；Moubayed和Williams［4］推广到双色波的造波板运动。不规则波相关研究中，Longuet⁃Higgins和Stewart［5-6］的推导包括了全部和频作用和窄频带限制下的差频作用；忽略一阶解中的衰减模态并做窄频带假设，Flick和Guza［7］给出一阶双色造波控制信号生成伪长波的近似理论；无窄频带假设下，Sand［8］计算了推板造波的二阶差频信号。Sand和Mansard［9-10］推导了对推板式和摇板式均适用的超谐波造波理论。Suh和Dalrymple［11］建立了用一阶造波控制信号产生二阶伪超谐和次谐波的部分理论。基于以上理论基础，Schäffer［12］推导出了目前较完整而有效的二阶造波理论，表达式简明紧凑，不假设窄频带，考虑了和频和差频作用，兼顾波浪的传播和衰减模态，同时适用于推板式、摇板式造波机。Schäffer［12］方法最主要的成果是以二阶传递函数的形式将一阶波浪和二阶造波板运动控制信号联系起来，获得精确到二阶的空间均匀波浪场所需的造波板运动，本文基于Schäffer［12］方法，建立了水槽的二阶造波软件，验证了二阶造波理论的有效性，并对采用二阶造波时的相关问题进行了分析和讨论。

1 二阶造波理论简介［12］

假设流体为无旋、无粘性、均匀和不可压缩的理想流体，则速度势满足经典波浪理论的控制方程，即满足Laplace方程、水底边界条件、运动学和动力学自由表面条件以及造波板边界条件等。图1为造波机产生波浪的坐标定义。图1中h、t、l分别为水深、时间和铰接中心到底部距离。

造波板的位置X=X(z,t)表示为

图1 坐标系定义图Fig.1Definition sketch of coordinate system

式中：X0(t)为造波机静水面处的位移；f(z)为造波机形状函数，表示为

式中：z=-（h+l）给出旋转中心；d为铰接中心高于底部的距离，即当铰高于底部时，d=-l＞0，铰低于或位于底部时，l≥0, d=0。这保证了在造波机类型不同时只需考虑连续的形状函数f(z)。对于推板式造波机，l=∞, d=0。

假定ϕ=ϕ(x,z,t)、η=η(x,t)为速度势和波面，以波陡ε作摄动展开，对控制方程进行求解。上角标（1）、（2）分别代表一阶、二阶成分。求解一阶问题时，假设构成一阶谱的每个波浪成分的造波板位置表示为

式中：Xa为静水位处一阶造波板的复幅值；c.c.为前项的共轭复数；ω为圆频率；则可得一阶传递函数cj

式中：k为波数；下角标0代表波传播模态，j=1,2,...代表衰减模态；k0和kj(j=1,2,...)分别为色散方程ω2=gktanhkh的一个实数解和无穷个纯虚数解。

求解二阶问题时，将二阶速度势分为三部分，即

每一部分代表的边界值问题仍满足控制方程的一般形式。其中，ϕ(21)表示一阶波浪成分相互作用产生的约束波；ϕ(22)表示由于造波板离开平均位置以及ϕ(21)在造波机处不匹配边界条件产生的自由波；ϕ(23)表示由二阶造波板运动产生的自由波。若造波板信号只是基于一阶理论，该问题的解是ϕ(2)=ϕ(21)+ϕ(22)，ϕ(22)产生的伪谐波不能消除。Schäffer［12］二阶理论就是确定对应的造波机运动的二阶分量X(2)0(t)，产生二阶波面用于消除伪谐波即或

两个不同频率波的相互作用构成二阶谱的基础，相互作用项以超谐波（和频）和次谐波（差频）形式出现。假定二阶造波板位移为

ℱ±表示二阶传递函数，是该理论最重要的成果，表达式为

式中:A为波浪振幅；n和m代表不同的波成分；j和l是对应于频率ωn和ωm的累加项角标；“+”和“-”分别代表和频、差频是方程的解；-:∗代表对复数，和频项不变，差频项取共轭；lmjn表示对前项交换j和l、n和m；其他表达式参见Schäffer［12］。

2 应用范围分析

二阶Stokes波理论在浅水中失效，它对应的极限条件是超谐波幅值为波高的1/4。对于规则波，Schäffer［12］的二阶理论中引进了非线性参数S，表示为S=2H||G+，极限情况对应S=1。对于不规则波，将H作为特征波高，S仍可衡量非线性大小，即对应频率为(fp,fp)。

针对规则波，在满足S≤1条件下，为了直观了解造波产生的无因次约束超谐波波高（Hb/H）和无因次自由超谐波波高（Hf/H）的大小，图2给出了Hb/H、Hf/H随H/L和kh的变化。可以看出，kh一定时，随H/L增大，Hb/H和Hf/H呈线性增大；Hb/H随kh增大，先快速减小，在kh=4.5之后趋于常值，且H/L越大，趋于的常值越大；而Hf/H随kh增大，先快速减小，后缓慢增大，在kh=2.3附近取得最小值，且H/L越大，这个最小值也越大；此外，当H/L与kh相同时，Hb/H总是大于Hf/H。

图2 Hb/H、Hf/H随H/L、kh的变化Fig.2Hb/H and Hf/H vs H/L and kh

3 实验结果

3.1实验布置及波浪参数

实验在大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室大波流水槽进行，该水槽长69 m，宽2 m，深1.8 m，一端配有推板式造波机，另一端有斜坡式消浪装置。实验布置如图3，实验水深为0.7 m。为研究传播过程中波形的变化，沿程布置一系列浪高仪，浪高仪距造波板依次为5.5 m、11.5 m、19 m、26 m、33 m。

图3 实验布置图Fig.3Experimental arrangement

表1和表2为规则波浪、不规则波浪实验参数及观测波浪统计结果，分别以“R”和“IR”作为标识，每个组次都进行一阶和二阶造波实验。表1中除周期T、波高H之外，还给出表征波浪特性的其他参量，相对水深h/L表明实验组次包含了有限水深波和深水波，参数S表征非线性大小，并给出对应每个组次理论计算的复传递函数。表2中给出了谱峰频率fp、有效波高Hs、无因次水深kph和非线性参数S+。

表1 规则波实验组次及观测波浪统计结果（h=0.7 m）Tab.1Regular wave parameters and statistical results（h=0.7 m）

表2 不规则波实验组次（h=0.7 m）Tab.2Irregular wave parameters（h=0.7 m）

图4 一阶造波和二阶造波理论产生的沿程波形叠加图Fig.4Superimposed figures of time series of elevation measured at different position in the flume using first⁃order and second⁃order control signal

3.2规则波实验结果分析

前述表1中同时列出了采用一阶和二阶造波理论产生波浪各测点实测波浪的平均波高，可以看出，多数情况下实测波高比理论波高略小，可能是因为未考虑造波系统除水力传递函数外的其他传递函数及能量损失等因素。

图4为对应R1组次水槽中分别采用一阶造波理论和二阶造波理论时沿程4个浪高仪处实测的波形经相位调整后的叠加图。可以看出，采用一阶造波理论时，波浪在传播过程中，波形发生了较大变化，而采用二阶造波理论时，波形更加稳定，这是因为一阶造波除了自然产生的约束超谐波，还会产生自由超谐波，两个波传播速度不同，互相干扰，致使波形在传播过程中发生变化，而二阶造波会一定程度地修正这个问题。理论上二阶造波得到的波形沿程应一致，实验中得到的波形沿程仍具有一定的差别，可能是由于水槽末端消能器对于长波有一定的反射以及沿程能量损耗等原因引起。

为了进一步分析二阶造波理论的有效性，对于各测点实测波浪进行了谐波分析，图5为分析一阶和二阶造波生成的波浪所得超谐波波高和理论值的比较。从图5中可以看出，一阶造波实测波浪的超谐波波高值基本都分布于两条理论计算曲线之间，二阶造波实测的超谐波波高值基本都分布于两条理论计算直线之间，说明二阶造波比一阶造波实测的超谐波波高更接近常量，所以二阶造波能给出更为稳定的波形。此外，对照图2的分析结果，Hf/H随kh增大，在kh=2.3附近取得最小值，之后缓慢增大，故实验波浪R6（kh=2.02）中自由超谐波成分较小，一阶和二阶造波实验结果相近。

注：曲线和直线为对应于表1中理论波高和实测值均值的一阶理论和二阶理论计算结果，图中x为距造波板距离。图5 一、二阶造波生成波浪中分离超谐波波高的与理论值的比较Fig.5Comparison of wave heights of isolated superharmonic in first⁃order and second⁃order wave generation and theoretical value

图6给出了一阶造波和二阶造波生成波浪与理论计算波浪的无因次频谱比较。为便于观察，图6中纵坐标采用对数坐标，EH代表平均波高。可以看出，从基频到二倍频，二阶造波生成波谱与理论波谱基本一致，而一阶造波生成波谱与理论波谱相差较大，故从能量分布角度，二阶造波亦更优。

图6 实测波浪频谱与理论计算波浪频谱的比较Fig.6Comparison of the measured wave spectra and the theoretical spectra

图7 造波板位移时间序列Fig.7Time series of wave board displacement

3.3不规则波实验结果分析

作为示例，图7给出了IR1组次实验波浪的造波板位移时间序列，图中X、X（1）、X（2）+及X（2）-分别代表造波板总位移、位移一阶成分、位移二阶和频及差频成分。可以看出，相比于一阶成分，二阶和频成分量级非常小，但二阶差频成分量级较大，使得在很多时刻总位移X明显增大。所以，实现伪长波的修正要增加造波板冲程，这减小了特定设备能够生成的最大有效波高范围，是二阶造波应用的一个限制，针对这种情况，考虑到深水波需要对伪长波的修正较少，可在相对深的水中生成波浪，然后让其在水槽中变浅获得需要的波浪，来减少附加的造波板冲程。

由图7的位移计算可知，对于不规则波，二阶造波对于差频部分的修正尤为重要。为了更清晰地说明二阶造波对于差频部分的修正效果，图8给出一阶造波、二阶造波实测波列及理论计算波列以0.5倍峰频进行低通滤波所得低频长波的比较。可以看出，二阶造波结果与理论结果更接近，但两者并非完全吻合，可能是由不可避免的消能器对长波的反射等原因导致。当用一阶造波时，实测波列与理论波列也具有相似性，这是因为无论是一阶还是二阶造波，都会生成相同的约束长波，两种方法的差异只在于一阶造波生成了额外的自由伪谐波。

图8 实验波列与理论波列低通滤波后无因次波高比较Fig.8Sample comparison of dimensional wave height of low⁃pass filtered measured and theoretical surface elevation

除了低频长波的比较，考虑到不规则波的群性特征，图9将实测波列及其滤波后的低频长波进行实时比较，可以看出二阶造波时会出现更明显、较准确的set⁃down长波随波高的周期性而变化的群性，波高较大处下沉较大，波高较小处下沉较小。

图9 实测波列与其低通滤波后波列比较Fig.9Sample comparison of measured and low⁃pass filtered surface elevation

图10为一阶造波和二阶造波，生成波浪与理论计算波浪的无因次频谱比较。图10中，左侧图是实测波列和理论波列的频谱比较，为便于观察，纵坐标取对数坐标；右侧图是实测波列和理论波列低通滤波后波列的频谱比较；因重点关注低频部分，图中省略了高频部分的频谱。可以看出，得到了与规则波频谱分析相似的结论，尽管三者频谱峰值分布相似，但二阶造波结果与理论结果更接近，这也从能量分布角度再一次证明了二阶方法的优越性。

图10 实测波浪频谱与理论计算波浪频谱的比较Fig.10Comparison of the measured wave spectra and the theoretical spectra

4 结论与讨论

本文基于Schäffer［12］方法，建立了水槽的二阶造波软件，采用规则波和不规则波，基于水槽波浪试验，验证了二阶造波理论的有效性，二阶造波方法在波浪推板造波实验中，可有效抑制自由伪谐波，得到更接近于理论的波形，并且可用于在一阶造波时预测自由伪谐波成分的大小。另外，针对规则波，约束超谐波和自由超谐波无因次波高随波陡和无因次水深变化的理论分析，可以为造波实验的参数选取提供参考。

需要说明的是，虽然采用二阶造波方法可以有效地抑制自由伪谐波的产生，但是在接近陡坡时，约束长波易发生反射及二次反射，此时它已不再是约束长波，而是以自由长波形式存在，会使实验受到干扰，实验波浪与理论结果仍会产生一定的差别，因此在实际应用时应注意水槽内消能器对于长波的反射问题；实验中有些来源于造波机自身系统的误差难以避免，如造波机低频运动时，造波板与水槽壁之间的缝隙可能会造成侧漏，高频运动时，造波板可能难以及时响应，且在本实验中，只考虑了水力传递函数而忽略了造波机械系统以及控制系统传递函数，也产生了一定的误差，这些误差可以采用实时修正的方法来避免；对于特定宽度的水槽，受造波板前横向波浪的干扰，特定周期波浪会引起水槽横向水体的共振，进而会增加伪谐波发展的可能，应用时应予以注意。

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Wave generation based on second⁃order theory in laboratory flume

TIAN Xiao⁃huan1,LIU Shu⁃xue1,LI Jin⁃xuan1,YANG Zhi⁃wen2
（1.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024, China;2.Tianjin Research Institute for Water Transport Engineering,M.O.T.,Tianjin 300456,China）

The small⁃amplitude assumption of first⁃order wavemaker theory in laboratory will generate addi⁃tional spurious free⁃wave which will affect the quality of the wave,while second⁃order wave generation is able to eliminate the spurious free⁃wave by attaching wave board movement.In this paper,wave generation software in labo⁃ratory flume was established based on the second⁃order wavemaker theory built by Schäffer.Using a piston⁃type wavemaker,a number of laboratory wave experiments for regular and irregular waves with first⁃order and second⁃or⁃der theory were conducted.The results verify the effectiveness of the second⁃order wave generation that it can sup⁃press spurious free⁃wave effectively and get a more accurate waveform.In addition,the problems in second⁃order wavemaker theory were discussed.

second⁃order wave generation;bound harmonic waves;free harmonic waves

TV 139.2

A

1005-8443（2016）02-0109-06

2015-09-15；

2015-11-18

国家自然科学基金（51579038，51490672）；国家重点基础研究发展（973）计划资助项目（2013CB036101，2011CB013703）

田晓焕(1990-)，女，黑龙江省庆安县人，硕士研究生，主要从事港口、海岸和近海工程研究。

Biography：TIAN Xiao⁃huan（1990-），female，master student.