王何慧，尹兰，张海

（安庆师范大学数学与计算科学学院安徽安庆246133）

周期分段函数的不定积分求解

王何慧，尹兰，张海*

（安庆师范大学数学与计算科学学院安徽安庆246133）

本文讨论了一类周期分段函数的不定积分求解，利用变上限积分和定积分的几何意义得出该类不定积分的一般求解公式，并给出实例说明所得结果。

不定积分；周期分段函数；变上限积分

在大学数学分析中出现过许多分段函数求其不定积分[1]，通常方法是分段求其不定积分，然后利用不定积分的连续性求出各段参数之间的关系[2]。但对那些周期分段函数，若按该方法在一个周期内求解，所求得的结果往往不能保证所求得的原函数在周期的端点或者分段点都连续，如华东师范大学《数学分析》（第四版）教材出现这样的一道习题：求│sin x│d x[3]。众多参考文献所给的答案大同小异[4-5]，其主要过程均为

由于│sin x│在(-∞,+∞)上连续，故其原函数在(-∞,+∞)上连续可微。因此，此过程给出的结果虽然在x=（2k+1）π，k∈Z处满足连续可微，但在x=2kπ，k∈Z处间断。

不妨取C=0，由（1）式，可知：

为│sin x│d x的一个原函数。但

故F(x)不连续，因此该题的求解是值得商榷的。

那么，对于该题或这类问题应该怎么求解呢？本文将这类不定积分的求解先把不定积分转化为变上限定积分，再结合定积分的几何意义进行求解。

例如上例中的│sin x│d x可采用如下方法进行求解：

由微积分学基本定理[3]得

由定积分的几何意义知，定积分为积分函数

下面给出一个具体的例子。

例求f（x）d x，其中f（x）是x到最近整数的距离[6]。

解在[-2,2]区间绘制函数f（x）的图像如图3所示。

图3

令F（x）=f（x）d x，下面类比上述方法，求F（x）。

（1）当x≥0时，

这与利用本文命题所得结果一致。

[1]马保国,王延军.分段函数、函数的可积性与原函数存在性[J].大学数学,2009,25(2):200-203.

[2]黄锡年.在被积函数连续的区间上计算不定积分[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2003,20(2):96-97.

[3]华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.

[4]郭政,高理峰.考拉进阶大学教材全解数学分析[M].延吉:延边大学出版社,2013.

[5]陈建莉,柳卫东.分段函数不定积分求法探讨[J].高等数学研究,2008,11(6):40-43.

[6]复旦大学数学系.数学分析(上)[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

Solving the Indefinite Integralof Periodic Piecewise Functions

WANG He-hui，YIN Lan，ZHANG Hai
（School ofMathematicsand Computation Science，Anqing Normal University，Anqing，Anhui246133，China）

This article discusses a class of periodic piecewise indefinite integral.The general solving formula of indefinite integral is obtained by using variable upper limit integration and the geometricmeaning of the definite integral,and an example is given to illustrate the result.

indefinite integral；periodic piecewise functions；variable upper limit integration

O172

A

1007-4260(2016)04-0005-03

时间：2017-1-3 17:19

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20170103.1719.002.html

2016-04-20

王何慧，男，安徽界首人，安庆师范大学数学与计算科学学院学生，研究方向为数学与应用数学。E-mail:2723763641@qq.com

张海，男，安徽桐城人，博士，安庆师范大学数学与计算科学学院教授，研究方向为分数阶微分方程。E-mail:zhanghai0121@163.com

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.04.002