白阿拉坦高娃

赤峰学院数学与统计学院，内蒙古　赤峰　024000



关于子群和不变子群的几个重要命题

白阿拉坦高娃*

赤峰学院数学与统计学院，内蒙古赤峰024000

摘要：本文首先讨论了子群、不变子群的交集、并集、乘积是否依然是子群、不变子群；其次讨论了子群与不变子群乘积是否是子群、不变子群等。

关键词：子群；不变子群；交集；并集；乘积

一、基本概念

下面是文中主要用的几个概念

定义1.1[1]一个群G的一个子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的乘法来说做成一个群。

定理1.2[1]H是群G的一个子群⟺ (i)a,b∈H ⟹ab∈H

(ii)a∈H ⟹a-1∈H

⟺(iii)a,b∈H ⟹ab-1∈H

定义1.3[1]一个群G的一个子群N叫做一个不变子群,假如对于G的每一个元a来说，都有

Na=aN

定理1.4[1]N是群G的一个不变子群⟺ a∈G,n∈N ⟹aNa-1=N

⟺ a∈G,n∈N⟹ana-1∈N

二、重要命题

(一)关于子群、不变子群的交集、并集、乘积

命题2.1.1群 的两个子群H1和H2的交集H1∩H2也是群G的子群.

证：令e是G的单位元.那么e∈H1,e∈H2,因而e∈H1∩H2≠Φ.对于∀a,b∈H1∩H2，有a,b∈H2,H2.由H1和H2是G的子群,所以ab-1∈H1,ab-1∈H2，即ab-1∈H1∩H2.故H1∩H2是G的子群。

命题2.1.2假定H和N是群G的两个子群.那么HN是G的子群当且仅当HN=NH

证:"必要性"∀a∈HN来说，由HN是G的子群，可得

a-1∈HN，∃h ∈H,n∈N,使得a-1=hn

a=(a-1)-1=(hn)-1=n-1h-1∈NH

因为H,N是G的子群，从h ∈H,n ∈N得h-1∈H n-1∈N,那么

HN⊂NH

另外

∀a∈NH,∃h∈H,n∈N,使得a=nh

a-1=(nh)-1=h-1n-1∈NH

又HN是G的子群，那么

(a-1)-1=a∈HN

则

HN⊃NH

即

HN=NH

"充分性"：∀a,b∈NH来说,∃h1,h2∈H,n1,n2∈N，使得

a=h1n1,b=h2n2

那么

ab-1=(h1n1)(h2n2)-1=h1(n1n2-1)h2-1

=h1nh2-1(n=n1n2-1∈N)

=h1h2-1n′(由HN=NH可知，nh2-1=h2-1n′ )

=hn′∈HN(h=h1h2-1∈h)

所以HN是G的子群.

命题2.1.3设H和N是群G的两个不变子群，则HN是G的不变子群，且H∩N是G的不变子群.

证：(1)由于H和N都不为空,所以HN也不空.设a∈HN,b∈.那么

a=h1n1,b=h2n2(h1,h2∈H,n1,n2∈N)

ab-1=h1n1n2-1h2-1=h1n′h2-1(n′=n1n2-1)

由于N是一个不变子群,有

Nh2-1=h2-1N,n′h2-1=h2-1n(n∈N)

由是得

ab-1=(h1h2-1)n∈HN

故HN是G的一个子群.

对于∀a∈G,n∈HN,∃h1∈H,n1∈N,使得n=h1n,

a-1na=a-1(h1n1)a

(2)证：令N1和N2是群G的两个不变子群,那么N1∩N2是G的一个子群(由命题2.1.1).令a∈G,n∈N1∩N2,那么n∈N1,n∈N2.但N1和N2是不变子群,所以ana-1∈N1,ana-1∈N2,因而ana-1∈N1∩N2.于是由定理1.4,N1∩N2是一个不变子群.

(二)关于子群与不变子群的乘积

命题2.2.1设H是群G的子群，N是G的不变子群，则HN是G的子群，且H∩N是H的不变子群.

证:(1)对于∀a,b∈HN来说,∃h1,h2∈H,n1,n2∈N,使得a=h1n1,b=h2n2,那么

ab-1=(h1n1)(h2n2)-1=(h1n1)(n2-1h2-1)=h1(n1n2-1)h2-1

因为N是子群,有n1n2-1∈N,H是子群,有h1h2-1∈H,再由N是不变子群,有

(n1n2-1)h2-1∈Nh2-1=h2-1N

∃n3, ∈N使得 (n1n2-1)h2-1=h2-1n3

ab-1=(h1h2-1)n3∈HN

即HN是G的子群.

(2) 对于∀h∈H, ∀a∈H ∩N,有a∈H,a∈N,由H是子群,得h-1∈H,那么h-1an∈H,又有N是不变子群,h-1ah∈N,

即

h-1ah∈H∩N.

那么H∩N是H的不变子群.

命题2.2.2设H和N是群G的两个不变子群，则HN是G的不变子群.

证：由于H和N都不为空,所以HN也不空.设a∈NH,b∈NH.那么

a=h1n1,b=h2n2(h1,h2∈H,n1,n2∈N)

ab-1=h1n1n2-1h2-1=n1n′h2-1(n′=n1n2-1)

由于N是一个不变子群,有

Nh2-1=h2-1N,n′h2-1=h2-1n(n∈N)

由是得

ab-1=(h1h2-1)n∈HN

故HN是G的一个子群.

对于 ,∀ a∈G,n∈HN, ∃h1∈H,n1∃N,使得n=h1n1

a-1na=a-1=(h1n1)a

(三)从属关系

命题2.3.1设H是群G的一个子群，N是G的一个不变子群，且N是H的子群，那么N是H的不变子群.

证明：对于∀h∈H⊂G，∀n∈N，

因为N又是G的不变子群，所以∀a⊂G来说， ∀ana-1∈N

那么

∀hnh-1∈N

即N是H的一个不变子群.

三、关于子群与不变子群的一些反例

例3.1群G的两个子群的并集未必是群G的子群.例如

G=S3={(1), (12), (13), (23), (123), (132)}

的两个子群

H1={(1), (12)}和H2={(1)，(13) }

但H1∪H2={(1)，(12)，(13)}不是S3的子群，因为

(12)(13)-1=(123)∉H1∪H2

例3.2群G的两个子群的乘积未必是群G的子群.例如

G=S3={(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}

的两个子群

H1={(1)，(12)}和H2{(1)，(13)}

但H1H2={(1)，(12)，(13)，(123)}不是S3的子群，因为

(123) (123)= (132) ∉H1,H2

例3.3假定N是群G的不变子群，N1是N的不变子群，那么N1未必是G的不变子群.例如令G=S4,

N={(1) ,(12) (34), (13) (24), (14) (23)}

N1={(1), (12) (34)}

显然N是S4的一个不变子群.由N是交换群,N1当然是N的一个不变子群.但N1不是S4的一个不变子群.因为(13)[(12) (34)](13)-1=(14) (23) ∉N1

[参考文献]

[1]张禾瑞.近世代数基础(修订本)M.北京：高等教育出版社，1978

[2]杨子胥.近世代数(2版)M.北京：高等教育出版社，2003.12

[3]胡冠章.应用近世代数M.北京：清华大学出版社，1999

中图分类号：O153

文献标识码：A

文章编号：1006-0049-(2016)13-0127-02

*白阿拉坦高娃，女，1983年7月17日，内蒙古通辽市科左中旗人，讲师，硕士学位，主要研究方向：微分方程数值解。期刊邮寄地址：内蒙古赤峰市红山区赤峰学院学生工作处 洪锁柱收 13948166016