吴艳 杨有龙

摘要：讲授数学课时，准确而恰当地应用日常事例，可以起到讲解明了清晰、浅显易懂的教学效果。本文旨在探讨讲授数学课时的举例艺术，针对高等数学微积分教学中的集合、无限与有限等概念的讲授进行了举例分析。

关键词：微积分;数学教育;教学方法;高等教育

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2016）05-0137-02

一、引言

据光明日报2015年01月14日的报道，在日前举行的第十届“苏步青数学教育奖”颁奖仪式上，中科院院士、复旦大学数学科学院李大潜教授针对当前中学数学教学中存在的一些突出问题，提出了自己的见解。李大潜院士表示，我们往往把数学看成一堆定义、公式、定理及证明的堆积，千方百计地要把这些知识灌输到学生的头脑中去，却忘记了数学教育最根本的三件事：一是数学知识的来龙去脉;二是数学的精神实质和思想方法;三是数学的人文内涵。李院士说：“为什么有很多人觉得数学枯燥无味、过于抽象、高不可攀，因而望而生畏，甚至避之唯恐不及呢？我觉得数学教师有责任，我们数学家更有责任。”

课堂讲授是十分细致、十分复杂和需要超常的艺术才能完成的活动。教学中常见的一种现象是照搬讲稿，满口的科学名词和文绉绉的语句，使人感到干瘪、生硬。对于这样的讲授，或许指不出什么错误，但本身就失去了“享受知识传播”的意义。人常说：“话有三说，巧说为妙。”同一件事会因讲解者的言词和神态的不同而产生完全不同的效果，那么，怎样才能做到“巧说”呢？

微积分是理工科一年级大学生的必学内容，这些内容在中学有所接触，但仅仅是学习了一些皮毛或者最初始的概念和计算，如果大学的微积分课堂教学仅仅就事论事，很难在学生中产生课堂共鸣。美国数学家洪斯贝尔说：“把数学同音乐相比往往是很合适的，蹩脚的演奏会把迷人的乐曲搞得一团糟。同样，拘泥于合理程式的讲解，也会使许多光彩夺目的数学思想弄得黯然失色。”如何使用有趣而易于理解的实例将数学思想深入课堂就值得我们深思和研究，许多文献[1-8]研究和探讨了微积分的教学方法[1-7]和教材建设[8]，本文针对教学中的集合、有限、无限等有关概念进行举例和论述，以期达到抛砖引玉的目的。

二、看不懂的集合悖论

1903年，英国数学家罗素提出了一个著名悖论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。这里的语言听起来颇是拗口，学生理解起来需细细琢磨。通过询问N是否是它自身的成员引出矛盾。一方面如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员;另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的結论，学生对此不可思议。如果教师就这样照本宣讲，不仅自己讲起来太过制式化，很难引起学生的注意力，而且讲解过程很难与学生产生共鸣。

假设教师首先讲解罗素给出的通俗例子，即俗称的“理发师悖论”：有一天，萨维尔村理发师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问理发师：“你的头发由谁理呢？”这名理发师该怎么回答？是哑口无言吗？让学生分析这个例子：如果理发师给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人;但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此这个理发师不能自己给自己理发。如果由另外一个人给他理发，该理发师就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己给自己理发。由此可见，不管怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。

通过理发师悖论的自然铺垫，可抽象出M与N集合：M表示萨维尔村自我理发的人的集合;N表示萨维尔村所有不自己理发的人的集合。那么理发师属于那一个集合？若理发师属于M，意味着他给自己理发，根据“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发”，则知道他不给自己理发，即理发师属于N。同理若理发师属于N，意味着他不给自己理发，根据“村里所有不自己理发的人都由我给他们理发，我也只给这些人理发”，则知道他要给自己理发，即理发师属于M。因此无论哪种情形，都有理发师属于M也属于N的矛盾结果。

由此教师还可让学生模仿举例，给出提出自己的悖论，达到举一反三的结果。事实上，在当时罗素悖论以其简单明了震惊了整个数学界，它的提出，造成了数学发展史上的第三次数学危机，同时也加快了人们将集合论公理化的进程。

三、有限与无限

学习高等数学首先要接触无限与有限的概念，而它们在性质上有很大的差异，不能用有限的眼光看无限的问题。为了阐述无限与有限的差异。可举这样的例子：操场上有一排中学生，如果知道任意两个男生之间有女生，而且任意两个女生之间有男生。那么，或者男女人数相等，或者至多相差一个。这是再明显不过的事实。但是，在无限范围内却不成立。例如任意两个无理数之间都有有理数，任意两个有理数之间也有无理数，但是，无理数却比有理数多得多。这样一讲，学生对无限与有限的概念，在性质上的差异有了感性与理性上的深刻认识。

简单地说，有限个元素组成有限集合;无限个元素组成无限集合。然而学生如何理解有限集合与无限集合的本质区别？可举这样的例子：（有限情况）假设某酒店有n间房，每间房可刚好接待住宿一人，某天来了n个人，每人刚好分配一间房住宿。显然此时若再多来一人，酒店也无能为力。（无限情况）假设某酒店有无限间房，分别表示为1，2，3，…，n，…，每间房可刚好接待住宿一人，某天来了无限个人，分别表示为r1，r2，r3，…，rn，…，每人刚好分配一间房住宿，即rn住进第n间房。那么此时若再多来一人s1，酒店也无能为力吗？聪明的同学在老师提示下，很快就有了答案：让rn住进第rn+1间房，空出来的第一间房就满足了s1的住宿需求。若此时不是来一人，而是来了无限个人s1，s2，s3，…，sn，…，酒店还能提供房源吗？显然可让rn住进第2n间房，空出来的奇数间房就满足了需求，即可让sn住进第2n-1间房。教师从这个例子出发就可引入有限集合与无限集合的本质区别：有限集一定比他的真子集元素多;无限集存在真子集与其对等。

再例如著名的芝诺悖论，跑神阿基里斯和乌龟赛跑的故事，乌龟提前跑了100米距离，假设阿基里斯的速度是乌龟速度的10倍，这样当阿基里斯跑了100米时，到达了乌龟原来的出发点，而乌龟也向前跑了10米;当阿基里斯再向前跑10米时，乌龟也向前跑了1米，……，如果这样继续下去。可以看出，被追赶者总是在追赶者的前面了，因为追赶者必须首先到达被追赶者的原来位置，所以可以得出结论，阿基里斯永远追不上乌龟！

这个结论与我们生活中的实际情况明显相矛盾！甚至当时有人说，让芝诺站在豹子前面100米试试，豹子是否也追不上他？但当时的古希腊人却没有从理论上给出令人信服的解答。他们之所以被这个问题困惑了几千年，主要的原因是还没有完全了解到，虽然无限过程需要无限个时间段来计算，但这无限时间段的总和却可以是一个有限的数值，例如+++…+=1。通过这样的生动例子介绍，同学们就很快进入这种情景里，引人入胜，环环相扣，使学生对极限的学习有了强烈的欲望，并留下深刻的印象。

四、总结

课堂教学很重要的一点就是要有吸引力，能够将学生的眼睛、注意力、身心抓住，使得他们跟着教师的一言一行而动，老师的法宝就是用浅显易懂、生动形象的例子将难以理解的概念、性质、定理等内容进行引入、讲解，这样的例子往往令学生久久回味、很难忘掉[1-8]。日常生活中的事兒，看起来似乎平淡无奇，细想起来却常常可以发现其中蕴涵着深刻的道理。所以说生活给我们提供了丰富而有益的营养，等待我们去发现、去联想、去挖掘，留意生活中的现象，并把他们与教学联系起来，常常可以获得准确而浅显的比喻或实例。虽然讲授数学课时的举例艺术，只是讲授艺术这个浩瀚大海中的一朵小浪花，但我们授课时如果“举例”运用自如、恰如其分，也会起到意想不到的效果。

参考文献：

[1]姚允龙.高等数学与数学分析方法导论[M].上海：复旦大学出版社，1988.

[2]程淑芳.将数学背景融入微积分教学的实例[J].教育教学论坛，2014，（26）：110-111.

[3]杨有龙，吴艳.数学教学中的知识学习与能力培养[J].教学研究，2014，37（4）：62-65.

[4]罗敏娜.基于数学史背景的微积分教学[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2011，29（4）：578-580.

[5]孙文婧.高等数学中微积分教学方法的探究[J].吉林省教育学院学报，2014，30（1）：53-54.

[6]孙嘉欣.数学史在高等数学教学中渗透的研究[D].硕士论文，辽宁师范大学，2012.

[7]路易斯·伏利德勒，爱德华·沃尔夫.美国微积分教学改革的最新进展[J].高等数学研究，2012，15（1）：1-5.

[8]陆伟峰.中美微积分教材比较[J].数学学习与研究，2014，（17）：130-131.