卢国胜

(中国人民解放军驻七二四厂军事代表室,沈阳 110045)



炮弹多维密集度指标与命中概率的关系研究

卢国胜

(中国人民解放军驻七二四厂军事代表室,沈阳 110045)

摘要:应用概率论正态分布函数N维分布理论，对炮弹密集度指标和实战中炮弹对目标作用效果的关系进行了研究。通过对密集度计算理论的梳理与指导，在一维、二维密集度计算模型的基础上，通过对三维正态积分计算的研究，创新并提出球概率误差计算模型，建立了炮弹多维密集度指标与命中概率的关系，完善了更接近实战要求的密集度指标体系。研究结果可指导各类炮弹在密集度指标方面的论证、设计、考核和使用。

关键词:炮弹;密集度指标;命中概率;球概率误差;关系研究

以同一门火炮按相同的诸元和操作条件射击同样的炮弹,由于各发炮弹在射击过程中各影响因素的差异,弹丸落点的散布不可避免,弹丸落点散布是弹药、火炮、射击操作和外界条件各种因素变化综合影响的结果。弹丸落在一定区域内的概率是计算炮弹作用效率的基础。目前我国在规定战术技术指标和验收指标时给出的基本都是中间误差,其指标值在炮兵射击时有实际意义。下面从概率论分析入手,研究密集度指标计算方法与命中概率的关系。

1炮弹密集度的随机分布

炮弹落点散布属于随机误差,炮弹射击后的落点散布符合正态分布。

正态分布的密度函数为

(1)

正态分布函数为

(2)

2密集度的二维正态分布

设X=(x1x2…xp),Y=(y1y2…yp)为随机向量,则有二维联合密度函数:

(3)

当X、Y相互独立时,且服从N(ui,σi)分布,则其联合密度函数为

(4)

其边缘密度函数分别为

(5)

(6)

式(5)和式(6)也就是相应一维随机变量的密度函数,则有相互独立的二维正态分布的联合分布函数:

(7)

3弹着点的三维正态分布

设U=(U1U2…Uq)T为随机向量,U1,U2,…,Uq相互独立且服从N(ui,σi)分布;设u为p维常数向量,A为p×q常数矩阵,则称X=AU+u的分布为p维正态分布,记为X~Np(u,AAT),其密度函数为[2-3]

u=(u1,u2,…,uq)T

(8)

式中:Σ=(σij)p×q为对称正定矩阵。

炸点密集度散布一般服从正态分布,并在各个方向上互不相关。可由n维分布规律进行以下推导[1,4]。

相互独立的三维正态分布的边际密度为

(9)

式中:σt为各维的散布方差,ut为各维的散布中心,xt为各维的落点变量,t分别代表x,y,z。

相互独立的三维正态分布的联合密度为

(10)

则有相互独立的三维正态分布的联合分布函数为

F(a1

(11)

4炮弹密集度单指标中间误差

对于正态分布随机变量来说,随机变量X的标准差σ表达了X取值与其数学期望的偏离程度,因此,标准差σ值可作为随机变量X取值分散程度的评定尺度。在炮兵技术中一直沿用中间误差作为炮弹落点的散布特征。其物理意义是以分布中心Xu为中点,作一个2E宽度的区间(u-E,u+E)为统计量界域,使50%的射弹落入该界域中,如图1所示。此区间的大小E被称为中间误差,又称区间(u-E,u+E)为半数必中区间。

图1　射界示意图

设随机变量X~N(u,σ),利用标准正态变量的分布函数Φ,可以计算当X∈(a1,a2)的概率P。

(12)

(13)

故得:

(14)

根据中间误差定义,则有:

(15)

式中:f(x)为正态分布密度函数。通过查标准正态分布表或解该方程,可得:

反查正态分布函数表得到:

E50=0.674 5σ

(16)

实验数据无偏中间误差计算式:

(17)

上述计算反映出密集度散布指标计算用中间误差公式时,当射击弹道与预定弹道一致时,其落入单指标E50的2倍值区域的命中率是50%。表1是命中概率对应的系数。

表1　区间命中概率对应的散布半值系数

当以分布中心u与标准偏差σ为参量时,正态分布量X∈(a1,a2)的概率为

(18)

当以分布中心u与中间误差E50为参量时,正态分布量X落入区间(a1,a2)内的概率为

(19)

5密集度圆概率误差

对目标以二维密集度要求时,其命中区域的概率可以通过二维联合分布计算。

由式(7),二维正态分布的概率分布由其联合分布函数确定:

(20)

相互独立的二维正态分布量落入矩形区域的概率为

(21)

圆概率误差:若独立的二维正态随机变量(X,Y)为圆散布,则当(X,Y)落在以分布中心(a,b)为中心的圆内的概率为1/2时,称此圆域为半数必中圆。圆的半径为圆中间误差,记为ER50。

如图2所示,散布中心为(a,b),圆半径为R,则积分可转化为极坐标形式。

图2　圆形散布区域

(22)

对式(7)进行坐标系转换,由雅可比替换可得:

F(a1

F(X∈a+Rcosθ,Y∈b+Rsinθ)=

F(0

替代W,令概率等于1/2,则:

(23)

计算式(23),得圆中间散布ER50为

ER50=1.177 4σ=1.745 6E50

(24)

式中:E50为X与Y的公共中间误差。

对于独立的二维正态随机变量(X,Y),当Ex≈Ey时,可近似地认为椭圆散布的(X,Y)也服从圆散布,在面积相等的意义下把(X,Y)的半数必中椭圆等效为半数必中圆,则有:

πE2=πExEy

所以，

因而:

(25)

表2　圆命中概率对应的散布半径系数

6密集度球概率误差

三维正态分布的概率分布由其联合分布函数确定:

(26)

可以推出,相互独立的三维正态分布量落入立方体区域内的概率为

(27)

球中间误差:若独立的三维正态随机变量(X,Y,Z)为球散布,则当(X,Y,Z)落在以分布中心(a,b,c)为中心的圆球内的概率为1/2时,称此球域为半数必中圆球。球的半径为球中间误差,记为EDR50。

(28)

式(28)描述的是散布中心为(a,b,c),半径为R时球的极坐标转换式,则三重球积分可转化为极坐标系形式。对式(11)进行坐标系转换,由雅可比替换可得:

F(a1

F(X∈a+Rsinθcosφ,Y∈b+Rsinθsinφ,Z∈c+Rcosθ)=

F(0

(29)

(30)

当分布概率等于1/2时,W=1.183 0,计算球中间误差散布EDR50:

EDR50=1.538 2σ=2.280 5E50

(31)

或者把(X,Y,Z)的半数必中椭球在体积相等的意义下等效为半数必中圆球,则有:

πE3=πExEyEz

所以,

得到:

(32)

表3　球命中概率对应的散布半径系数

7结束语

炮弹密集度指标是以命中概率需求给出的,在一维、二维、三维不同指标体系中计算方法有所不同。当以1/2命中概率要求给出密集度指标时,一维指标是标准偏差的0.674 5倍,称中间误差E50;二维指标是标准偏差的1.177 4倍,称圆中间误差ER50;三维指标是标准偏差的1.538 2倍,称球中间误差EDR50。也可以在不同命中率要求下,给出不同倍数关系的密集度指标值,可参见表1~表3。

参考文献

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MAZhen-hua.Probabilityandstatisticsandstochasticprocess.Beijing:TsinghuaUniversityPress,2005.(inChinese)

Research on Relationship Between Multidimensional Dispersion

Index of Projectile and Hitting Probability

LU Guo-sheng

(The PLA Military Representative Office Stationed in the No.724 Factory,Shenyang 110045,China)

Abstract:The relationship between the projectile dispersion index and projectile-to-target action in the actual battle was researched by applying N-dimensional distribution theory of normal dispersion function of probability theory. The theory of dispersion calculation was deduced based on the calculation model of one-dimension and two-dimension dispersion.The calculation model of spherical error probability was proposed by researching normal distribution of three-dimension dispersion.The relationship between the multidimensional dispersion index of projectile and hitting probability was built,and the dispersion index system approaching to the requirements of actual battle was consummated.This research can instruct the demonstration,designing,checking and using of various projectiles on dispersion index.

Key words:projectile;dispersion index;hitting probability;spherical error probability;relationship research

中图分类号:TJ410.1

文献标识码:A

文章编号:1004-499X(2015)04-0059-05

作者简介:卢国胜(1958- ),男,高级工程师,研究方向为炮弹产品质量监督和验收方法。E-mail:947200245@qq.com。

收稿日期:2015-06-15