张宽桥,杨锁昌,王　刚

(军械工程学院 导弹工程系,石家庄 050003)



带落角约束的有限时间收敛末制导律研究

张宽桥,杨锁昌,王刚

(军械工程学院 导弹工程系,石家庄 050003)

摘要:针对导弹末制导过程中的终端落角约束的问题,基于滑模控制和有限时间控制理论,设计了一种有限时间收敛末制导律。利用终端滑模控制中滑模面上的跟踪误差能够有限时间收敛到0的特点,选取终端滑模面,引入落角约束项,采用有限时间稳定性理论对导引律的有限时间收敛特性进行了证明,并给出了收敛时间的数学表达式。将该末制导律与其他2种带落角约束的导引律进行了对比仿真。结果表明,利用该制导律,制导武器能以更高的命中精度和更小的落角偏差命中目标。

关键词:末制导律;落角约束;有限时间收敛;终端滑模控制

对于很多精确制导武器(如反坦克导弹、反舰导弹等)而言,单纯的提高命中精度已经不能满足现代化战争的需要。这些制导武器在精确命中目标的同时,还需要以一定的落角击中目标,进而更大地发挥出战斗部的毁伤效能。因此,对这些制导武器的导引律进行设计时,必须考虑落角约束问题。

目前,国内外许多学者针对不同的应用背景,基于不同的理论方法提出了多种带落角约束的导引律,如最优导引律[2-3]、改进的比例导引律[4-5]、几何曲线导引律[6-7]、变结构导引律[8-10]等。基于最优控制理论推导出的最优导引律,是迄今研究最广泛的一类,它可以根据不同性能指标设计出不同形式的导引律,在理想情况下具有最佳的制导性能,但是它依赖于各种假设和简化,鲁棒性较差;改进的比例导引律结构形式简单,对测距、测速等信息要求不高,易于工程实现,但其对导引信息的准确性要求较高,抗干扰能力差;几何曲线导引律无需测距信息,但依赖于各种假设和简化,制导精度不高。

由于变结构在滑动模态对干扰等具有不变性,且其控制算法较为简单,因此,滑模变结构控制也被广泛应用于导引律的设计中。通过在滑模面引入落角约束项,可以推导出具有落角约束的变结构导引律。文献基于变结构控制理论,提出了一种带落角约束的变结构制导律,并对弹目和距离变化率进行了估计。文献基于滑模控制算法,通过对视线角进行整形，设计了一种满足攻击时间和角度约束的制导律,但制导律形式较为复杂,需要大量的迭代运算,实时性差。上述变结构导引律均利用Lyapunov稳定性理论证明当时间趋于无穷时,制导系统状态趋近于0,能实现系统状态的有限时间收敛。文献[10]设计了一种有限时间收敛的制导律,保证了制导系统状态在有限时间内收敛到0。文献[11]选用终端滑模面取代传统的线性滑模面,设计了一种带落角约束的终端滑模控制末制导律,能够使期望落角在有限时间内达到,对外界干扰就有很强的鲁棒性。文献[12]对终端滑模控制与传统滑模控制方法进行了深入分析和研究,验证了终端滑模控制方法在收敛特性上的优越性。

本文基于终端滑模控制理论,采用自适应幂次趋近律结合非奇异终端滑模面设计了一种带落角约束的末制导律,同时利用有限时间控制理论对其有限时间收敛特性进行了分析,并求解了收敛时间,给出了具体的数学表达形式。针对滑模控制固有的抖振问题,采用饱和函数法和变开关系数法相结合的方法对抖振进行了有效的削弱。

1预备知识

考虑如下非线性系统:

(1)

式中:X∈Rn,f:U0×R→Rn在U0×R上连续,而U0是原点X=0的一个开邻域。

基于有限时间控制理论,有如下引理。

对上式进行积分求解可得:

V1-λ(X)≤V1-λ(X0)-c(1-λ)t∀0≤t≤TX(X0)

考虑到,当t≥TX(X0)时,V(X)=0,可以得到系统的有限收敛时间为

证明完毕。

2弹目相对运动模型

在进行导引律的设计前,需要建立弹目相对运动模型。首先,假设导弹和目标的运动为质点运动。然后,在惯性坐标系Oxy中,建立导弹和目标在纵向平面内的相对运动关系,如图1所示。图中,M为导弹,T为目标;vm为导弹的速度,θm为导弹的弹道倾角;vt为目标的速度,θt为目标的航迹倾角;r为弹目之间相对距离,q为弹目视线角,规定所有角度逆时针方向为正,反之为负。

图1　弹目相对运动关系

弹目相对运动方程为

(2)

求导得:

并且:

式中:amr,amq分别为导弹加速度在弹目视线方向上和在垂直于弹目视线方向上的分量；atr,atq分别为目标加速度在弹目视线方向上和在垂直于弹目视线方向上的分量。

结合式(2),可得:

由上式可得弹目相对运动方程为

(3)

结合式(3)可得制导系统状态方程为

(4)

3有限时间收敛末制导律

3.1末制导律的设计

首先,选取终端滑模面切换函数为

(5)

式中:k>0,0<η<1。上式切换函数第1项趋近于0,能够满足命中目标的要求,第2项趋近于0,即q→qd满足落角约束的要求。在制导的初始阶段,弹目相对距离r(t)较大,切换函数的第1项起主要作用,导引导弹飞向目标,在制导的末段,r(t)逐渐趋近于0,第2项起主要作用,控制导弹以期望的落角命中目标。

选取自适应幂次趋近律:

(6)

式中:ε>0,0<α<1。

可以得到:

由于在制导过程中r(t)>0,α>0,则:

从而能够满足滑模到达条件,即系统状态能够到达滑模面。

由式(5)可得:

将式(4)和式(6)代入其中,得:

整理后,可得制导律的形式:

ε|s|αsgn(s)]

(7)

3.2有限时间收敛特性分析

对于末制导律(7),有如下结论。

证明对于系统(4)，其运动状态可分为2个阶段:

①滑模到达阶段,系统状态从初始状态向滑模面运动,到达滑模面的过程。

②沿滑模面运动阶段,系统状态到达滑模面后,沿着滑模面继续运动,最后到达平衡点的过程。

(8)

由Lyapunov稳定性理论可知,制导系统是渐进稳定的,即t→∞时,s→0。

对于式(8),变换后可得:

由引理1得,系统状态收敛到滑模面的时间满足:

(9)

即系统状态从初始状态出发,在T1时间内运动至滑模面上。

对沿滑模面运动阶段进行分析,此时系统状态满足:

(10)

由Lyapunov稳定性理论可知,系统(10)是渐进稳定的,即t→∞时,x1→0。由于x1=q(t)-qd,则:

表明弹目视线角最终能够收敛到期望落角,所设计导引律理论上能够满足落角约束要求。

(11)

综合以上分析可知,制导系统是有限时间收敛的,且弹目视线角收敛到期望落角。制导系统收敛时间可以由如下数学形式估计:

证明完毕。

由式(9)可以看出,系统状态到达滑模面的时间与ε成反比,即ε越大,则时间越短;由式(11)可以看出,系统状态到达滑模面后,收敛到平衡点(原点)的时间与k和(1-η)成反比。因此,可以通过调节参数ε、k和η对系统收敛速度和时间进行控制。

有限时间收敛的制导律(7)是一种滑模变结构制导律,具有很好的快速收敛特性和鲁棒性,实现了有限时间稳定,并且具有很好的抗干扰能力。但是变结构控制的强鲁棒性是以控制量的高频抖振换来的,抖振现象是变结构控制固有的,它不仅降低了制导系统的控制精度,还会破坏系统性能,最终导致脱靶量的增大,因此,需要对抖振进行削弱[14]。常用的方法有饱和函数法、变开关系数法、双曲线函数法等,这里将饱和函数法和变开关系数法进行结合,实现对抖振的削弱。首先,用一个饱和函数sat(s)代替符号函数sgn(s),饱和函数的具体形式为

式中:δ>0是一个微小量,一般称为边界层,也称为消颤因子[15]。

其次,采用变开关系数法对开关项系数ε的形式进行改进,使ε的值随着r的减小而逐渐变小,从而达到减少到滑模面的时间以及控制抖振幅度的目的。为使制导律的形式简便,选取r的一次函数对ε的形式进行改进,即:

ε=ar+b

式中:a>0,b>0,其具体取值与ε的上下限有关。当r接近于0时,根据ε的下限可确定b的值,在末制导初始阶段,根据ε的上限和r的值确定a的值。

4仿真分析

为了对比分析所设计制导律的制导效果,全面考察制导律 的性能,在仿真实例中还引入了文献提出的带落角约束的偏置比例导引律(BPNG)和文献提出的带落角约束的变结构导引律(VSG),并进行了对比仿真。2种导引律的表达形式分别为

式中:K为比例系数,tgo为剩余飞行时间,k1、k2、k3为制导参数,且均大于0。VSG选取的滑模面函数为s1=k1x2+(k2vmx1/r)。

下面将根据目标不同的运动状态,分为2个场景进行仿真分析。

1)场景1——打击固定目标。

仿真实验结果如表1和图2~图5所示。表1中,Δ为脱靶量,qf为终端落角,tf为制导时间。

表1　场景1仿真实验结果

图2　场景1弹道曲线

图3　场景1弹道倾角曲线

图4　场景1视线角曲线

图5　场景1弹目视线角速率曲线

2)场景2——打击运动目标。

目标以-10m/s的初始速度和-1m/s2的加速度沿x轴方向加速运动。

仿真实验结果如表2和图6~图9所示。

表2　场景2仿真实验结果

图6　场景2弹道曲线

图8　场景2视线角曲线

图9　场景2视线角速率曲线

通过分析表1和表2可以看出,在2种仿真场景下,BPNG的脱靶量最大,VSG次之,FTCG最小。在落角控制方面,打击固定目标时,3种制导律都表现出了良好的效果,基本都能达到期望落角,FTCG更为接近期望落角;在打击机动目标时,FTCG能够达到期望的落角,BPNG和VSG则有2°左右的偏差。因此,在落角控制方面,本文所提的导引律要优于其他2种制导律,并且在制导时间上,FTCG所用时间也最短。

从图2和图6可以看出,3种制导律的弹道都比较平滑,且都是通过增加弹道的弧度来实现增大落角的目的,由于FTCG的弹道相对较低,路径较短,进而使得其制导时间相对较短。从图3~图5和图7~图9可以看出,由于FTCG的有限时间收敛特性,无论是固定机动目标还是机动目标,FTCG都能较快地达到期望落角,尤其在打击固定目标时,能够在命中目标前弹道倾角和弹目视线角都收敛到期望落角,并且弹目视线角速率也收敛到0,使得导弹在末端有一段近乎直线飞行的轨迹，可大大提高导弹在制导末端的飞行稳定性。

由图5和图9可以看出,FTCG的视线角速率在制导末端能够有效地收敛到0,使得导弹在末段能够以平行接近法飞向目标,能够有效减小末端导弹的过载,增强鲁棒性;VSG和BPN在制导末端弹目视线角速率没有收敛到0,并且由于落角还没有收敛到期望值,导致视线角变化较大,使得视线角速率在末端变化较为剧烈;同时,FTCG采用饱和函数法和变开关系数法对抖振进行了有效的削弱,使得其在末端没有出现抖振现象,但VSG没有很好地对抖振进行削弱,因而弹目视线角速率在末端出现了明显的高频抖振。

综上所述,仿真实验验证了本文所提带落角约束的有限时间收敛末制导律在提高导弹命中精度和控制落角方面的有效性,对比仿真结果表明,无论打击固定目标还是运动目标,该制导律都具有更好的制导性能和鲁棒性。

5结束语

本文对导弹末制导中的落角约束问题进行了研究,基于滑模控制和有限时间控制理论,提出了一种带落角约束的有限时间收敛末制导律,对其稳定性和有限时间收敛特性进行分析,并对抖振现象进行了有效抑制。通过对比仿真实验,验证了所提制导律的有效性和优越性。本文所设计的制导律结构形式较为简单,且具有较强的鲁棒性,易于工程实践,具有很好的工程应用价值。但由于制导参数对导引律的性能影响较大,如何选取最佳的制导参数将是下一步研究的重点问题。

参考文献

蔡洪,胡正东,曹渊.具有终端角度约束的导引律综述.宇航学报,2010,31(2):315-323.

CAI Hong,HU Zheng-dong,CAO Yuan.A survey of guidance law with terminal impact angle constraints.Journal of Astronautics,2010,31(2):315-323.(in Chinese)

JEON I S,LEE J I.Optimality of proportional navigation based on nonlinear formulation.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2010,46(4):2 051-2 055.

TAUB I,SHIMA T.Intercept angle missile guidance under time varying acceleration bounds.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2013,36(1):83-96.

LEE C H,KIM T H,TAHK M J.Interception angle control guidance using proportional navigation with error feedback.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2013,36(1):1-6.

高峰,唐胜景,师娇,等.一种基于落角约束的偏置比例制导律.北京理工大学学报,2014,34(3):277-282.

GAO Feng,TANG Sheng-jing,SHI Jiao,et al.A bias proportional navigation guidance law based on terminal impact angle constraint.Transactions of Beijing Institute of Technology,2014,34(3):277-282.(in Chinese)

MANCHESTER I R,SAVKIN A V.Circular navigation guidance law for precision missile/target engagements.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(2):314-320.

胡锡精,黄雪梅.具有碰撞角约束的三维圆轨迹制导律.航空学报,2012,33(3):508-519.

HU Xi-jing,HUANG Xue-mei.Three-dimensional circular guidance law with impact angle constraints.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2012,33(3):508-519.(in Chinese)

吴鹏,杨明.带终端攻击角度约束的变结构制导律.固体火箭技术,2008,31(2):116-120.

WU Peng,YANG Ming.Variable structure guidance law with terminal attack angle constraint.Journal of Solid Rocket Technology,2008,31(2):116-120.(in Chinese)

HARL N,BALAKRISHNAN S N.Impact time and angle guidance with sliding mode control.IEEE Transactions on Control Systems Technology,2012,20(6):1 436-1 449.

[10] ZHOU D,SUN S,TEO K L.Guidance law with finite time convergence.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2009,32(6):1 838-1 846.

[11] KUMAR S R,RAO S,GHOSE D.Nonsingular terminal sliding mode guidance with impact angle constraints.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2014 37(4):1 114-1 130.

[12] 穆朝絮,余星火,孙长银.非奇异终端滑模控制系统相轨迹和暂态分析.自动化学报,2013,39(6):902-908.

MU Chao-xu,YU Xing-huo,SUN Chang-yin.Phase trajectory and transient analysis for nonsingular terminal sliding mode control systems.Acta Automatica Sinica,2013,39(6):902-908.(in Chinese)

[13] HONG Y G.Finite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems.Systems & Control Letters,2002,46(4):231-236.

[14] LEVANT A.Chattering analysis.IEEE Transactions on Automatic Control,2010,55(6):1 380-1 389.

[15] 佘文学,周军,周凤岐.一种考虑自动驾驶仪动态特性的自适应变结构制导律.宇航学报,2003,24(3):245-249.

SHE Wen-xue,ZHOU Jun,ZHOU Feng-qi.An adaptive variable structure guidance law considering missile’s dynamics of autopilot.Journal of Astronautics,2003,24(3):245-249.(in Chinese)

ResearchofFinite-timeConvergenceTerminalGuidanceLaw

WithImpactAngleConstraint

ZHANGKuan-qiao,YANGSuo-chang,WANGGang

(DepartmentofMissileEngineering,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003,China)

Abstract:Aiming at the requirements of the terminal impact-angle constraint during the terminal guidance phase of missile,a finite-time convergence terminal guidance law was designed based on the advanced theories of sliding mode control and finite-time control.Considering the specialty that the tracking error on the sliding surface can converge to zero in finite time by using the terminal sliding mode control,the terminal sliding mode surface was selected as the impact angle constraint.The finite-time stabilization-theory was used to analyze the guidance law and prove the finite time convergence feature of the guidance system,and the mathematics expression of the convergence time was given.This proposed guidance-law was compared with another two guidance laws with impact angle constraint.The result shows that the guided missile can hit the target with higher hit-accuracy and less impact-angle error by the proposed guidance.

Key words:terminal guidance law;impact angle constraint;finite-time convergence;terminal sliding mode control

中图分类号:TJ765.2

文献标识码:A

文章编号:1004-499X(2015)04-0030-07

作者简介:张宽桥(1992- ),男,硕士研究生,研究方向为精确制导理论与技术。E-mail:zkuanqiao@163.com。

收稿日期:2015-06-25