朱纯强 张欣杰 张善廷

（山东科技大学，测绘科学与工程学院，山东 青岛266590）

1 引言

GPS是一种空间定位技术，其应用完全不同于传统的用于分别观测地面水平位置和高程的方法，可以确定出一个物体的三维位置［1］。但GPS确定的高程的参考物质是一个固定的椭球，即所谓的水平高，而不是我们在实际工程中所表述的正高或正常高。这需要我们在平时工作中把测量得到的绝对标高转换为相对标高，即将观测的水平高通过计算得出正高或正常高［2］。

随着GPS定位技术的应用越来越广泛，导致GPS高程拟合受到了工程测量人员的广泛关注。其拟合的原理就是通过已知点所具有的高程异常值ξ及其拥有的位置关系得出函数模型，通过内插法可以得出其他GPS定位点的高程异常值。具体的方法有平面拟合法、移动多项式法、多面函数法等［3］，但是在实际应用中每一种高程拟合方面都是基于数学模型建立起来的，并且都具有其各自独有的适用范围和特有的优点和缺陷，所以根据观测地区的范围及地形，可以采用不同的GPS高程拟合方法以达到提高测量精度的目的。

2 GPS高程拟合方法

2.1 等值线内插法

高程异常值的确定最早采用的方法是等值线内插法是最早，这种方法是是最直接的计算方法。其思想是通过画出高程异常值的等高线图，其次采用内插法来确定未确定点的高程异常值。

具体方法是，在观测范围内选择布置均匀的GPS点，使用GPS测量方法得到固定点的大地高，再利用我们通常使用的水准测量的方法来测定已选点的正常高，根据公式ξ=H-h求出位置点的高程异常值，使用合适的比例，将已测量点绘制在图纸内，并且表示出高程异常值，再计算等高距，最终画出高程异常值的等高线图。从等高线图上就可以通过内插法得出未知点的高程异常值，接着利用ξ=H-h求出位置测点的正常高。这种方法通常是在地势平整的地方使用，高程精度可达到厘米级。然而对测区地形不平整，起起伏伏，较为复杂的地区，采用等值线内插法得出的高程异常值差距比较大。

这种方法有一定的局限性，其精度主要取决于两个方面，分别是测量范围内GPS点的分布均匀程度和密实程度以及对于获取大地高、正常高的精确度［5］。如果测量范围内GPS点的分布密度比较大，那么内插得出的正常高的精度就相对较高。如何提高已知点高程的异常值的精确性的前提是选择更高等级的GPS测量和正常水准测量，进而才能采用内插法得出位置点高精度的高程异常值。

2.2 曲线拟合法

有时候，GPS点的布置属于线性分布，可通过下述的曲线拟合的方法对GPS高程进行拟合，从而求出未知点的高程异常值。其基本思想是选择合适的、呈线性分布的GPS点，通过曲线拟合的方法，得出类似大地水准面的曲线，再采用内插法得出未知点的高程异常值，从而得到未知点的正常高。

2.2.1 多项式曲线拟合

地面任意一点A（x，y）的高程异常值ξ与平面坐标的关系：

其中f（x）为高程异常值ξ的趋势线，v为误差。

设

当有n个已知点时，上式可写成矩阵形式

其中

对于所有的已知点，均可以写出以上的方程，据最小二乘的定理，在 ∑v2=min的条件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型转换参数，再迭代回公式便可计算出未知点的高程异常值。

2.2.2 三次样条曲线拟合

对于测量距离较大，已知点比较多的测量区域，适宜采用三次样条曲线拟合方法［6］。三次样条曲线的可以拟合成连续函数，把测线分成多个线段，并且将每段假设为三次多项式函数，然后将这些多项式函数组成三次样条函数。为了保证计算的准确程度，在实际应用中要求得出的曲线函数在连接点处连续，且函数的一阶导数和二阶导数全部在连接点处连续。如此才能保证在分段之后得出的三次样条函数在后期运算中能够得出准确的高程异常值。

设过n个已知点，ξi和xi在区间［xi，xi+1］（i=1，2，...，n-1）上有如下三次样条函数关系：

ζ（x）=ζ（xi）+ （x-xi）ζ（xi，xi+1）+ （xxi）（x-xi+1）ζ（x，xi，xi+1）式 中，x 为 未 知 点坐标：

ζ（xi，xi+1）为一阶差商，ζ（xi，xi+1）= （ζi+1-ζi）（xi+1-xi）；

ζ（x，xi，xi+1）为二阶差商，ζ（x，xi，xi+1）=1／6［ζ''（xi）+ζ''（x）+ζ''（xi+1）］；

ζ''（x）（i=1，2，...，n-1）满足系数矩阵为对称三角阵的线性方程组；

（xi-xi+1）ζ''（xi-1）+2（xi+1，xi-1）ζ''（xi）+（xi+1，xi）ζ''（xi+1）=6［ζ''（x，xi+1）-ζ（x，xi）］ζ（x0）=ζ''（xn）=0

用追赶法解上面方程组，可求出ζ''（xi）和ζ（xi，xi+1），而

这种方法有以下几个优点：计算简单，具有多项式的好处，弥补了多项式的不足。多项式的不足是单个多项式会有不灵活不稳定的现象。由于三次样条曲线的各种优点，使得在实际中遇到测线长已知点多的情况下采用此方法拟合高程。

2.3 曲面拟合

当GPS点的分布为面状分布时，适合采用曲面拟合法，由此拟合出的区域和大地水准面更加类似，然后通过计算该区域内的高程异常值，进而求出正常高。曲面拟合的主体原理和曲线拟合类似，不同是一个主要针对线状，一个主要针对面状。其操作顺序是利用测量范围内已知点的GPS大地高以及通过水准测量得出的正常高，利用公式求得已知点的高程异常值，然后采用已知点的坐标（x，y）和高程异常值ζ建设数学模型，并且通过拟合，得出最为接近于该测量范围内的类似大地水准面，最后内插出未知点的高程异常值ζ，最终求出未知点的正常高。

2.3.1 多项式曲面拟合

当GPS点布设成网状时，可以用数学多项式通过曲面拟合方法求出未知点的正常高h。地面任意一点A（x，y）的高程异常值与平面坐标的关系：

式中f（x，y）为高程异常ξ的趋势面，v为误差。

设

式中如果取x，y的一次项成为平面拟合，取两次项为二次曲面拟合，取三次项为三次曲面拟合，取四次项为四次曲面拟合，以此类推。

当有n个已知点时，上式也可写成矩阵形式

式中

对于每个已知点，都可以列出上述方程，根据最小二乘原理，在∑v2=min的条件下，B=（XTX）-1XTξ，可以求出模型转换参数，再带回公式可计算出未知点的高程异常值。

2.3.2 多面函数拟合

多面函数出发点是几何观念，从而使得由诸多数据点得出的一个平差的数学曲面的问题得到解决。其理论原理为：任一圆滑的数学表面总可以用一系列有规则的数学表面总和，以任意的精度逼近。

设GPS点的高程异常值ξ与x，y存在以下函数关系：

式中，核函数一般采用正双曲面函数：

Q（x，y，xj，yj）= ［（x-xj）2+ （y-yj）2+δ2］1／2

δ2为光滑因子，通常取一小正数或零，j=1，2，...，n为所选的节点号，共有n个节点。若有m个拟合点，则：

当m=n时，方程有唯一解，当m＞n时，可得误差方程：

其中

Qij= ［（xi-xj）2+ （yi-yj）2］1／2

其中i=1，2，...，m；j=1，2，...n

根据最小二乘原理，在∑v2=min条件下，A=（MTM）-1MTξ，可以求出模型转换参数，再带回公式可计算出未知点的高程异常值。

3 提高GPS高程拟合精度的方法

为了改善GPS高程拟合的精度，可以选择以下的方法。

（1）提高GPS在外作业的数据点采集质量的方法。选择合适的采集参数；采用适当的测点；保证监测采集质量。

（2）提高测点确定大地高的精度。提高局部GPS起算点坐标的精度，应尽可能的选择国家A、B级GPS点为局部GPS网的计算起点。

（3）提高转换参数的精度利用已有的VLBL、SLR站的地心坐标转换参数，或利用国家A、B级GPS网点来推算转换参数。

（4）提高拟合计算的精度。

①根据测量区域的情况，合理的分布已知点，并选取足够数量的已知点。

②根据不同的测量区域，选用适当的拟合模型。对高差较大（比如大于100m）的测量区域，通常要考虑地形的影响，对测量值进行改正。

③对具有不同趋势的大范围测量区域，可考虑分区计算的方法。

④计算时，坐标可以精确到1m或10m，但高程异常值应精确到mm。计算出结果后，由计算机画出测量范围内的高程异常值的等值线图，以更清楚的分析测量区域内高程异常值的变化情况，提高更高的拟合计算精度。