谭秋月，孙平安，林姝妤

（1.武夷学院数学与计算机系，福建武夷山354300；2.厦门大学数学科学学院，福建厦门361000）

Wendt操作对纽结和链环影响的若干规律

谭秋月1，孙平安1，林姝妤2

（1.武夷学院数学与计算机系，福建武夷山354300；2.厦门大学数学科学学院，福建厦门361000）

主要研究在纽结和链环投影图上做一次Wendt操作对纽结和链环的影响，以及其与解结数和交叉指标的关系.定义了与纽结解结数密切相关的一个概念—纽结投影图的拟解结数和2分支链环投影图的拟分拆数，分别计算了纽结表中交叉指标不超过9的纽结和交叉指标不超过8的2分支链环的拟解结数和拟分拆数，并总结了若干经验规律.

纽结；链环；Wendt操作；结数；交叉指标

1 Wendt操作说明

借助于计算机，有人已经对不超过16个交叉点的素纽结的投影图做了完整的同痕分类，对于纽结不计走向与镜像的差别，有下面的表1：

表1 素纽结交叉指标与个数关系

对于两个分支链环，有下面的表2：

表2 两个分支链环交叉指标与个数关系

笔者使用的纽结表和链环表出自Colin C.Adams主编的《The Knot Book》附录中的表.对素纽结表中的投影图做Wendt操作，首先在给定的纽结投影图K（c（K）=n）的交叉点标号，按交叉点个数标上1，2，…，n，然后依照标号依次做Wendt操作.如图1，我们给纽结表中纽结62投影图标上1，2，…，6，我们发现在标号1做Wendt操作，再经过一系列Reidemeister变化，纽结62将转变成31，同理，在标号2做Wendt操作和一系列Reidemeister变化，纽结62也将转变成31，而在标号3做Wendt操作和一系列Reidemeister变化，纽结62将转变成平凡纽结，在标号4，5，6做Wendt操作和一系列Reidemeister变化，纽结62将转变成41.

同样的，对两个分支链环投影图表中的投影图做Wendt操作，首先在给定的链环投影图=的交叉点标号，按交叉点个数标上1，2，…，然后依照标号依次做Wendt操作.如图2，我们给链环投影图的交叉点标上1，2，…，8，我们发现在标号1，2，4，5，6做Wendt操作，再经过一系列Reidemeister变化，链环将转变成，同理，在标号3，7做交叉点做Wendt操作和一系列Reidemeister变化，链环也将转变成，而在标号8做Wendt操作和一系列Reidemeister变化，链环将转变成

2 拟解结数和拟分拆数

定义1对纽结表中的投影图K，先选定其中一个交叉点做Wendt操作，接着做一系列初等变换得到纽结表中的一个新投影图K1，重复以上操作，直到得到平凡纽结投影图.将上述过程所需要的Wendt操作的个数的最小值称为的拟解结数，记为Qu（K）[1].

显然u（K）≤Qu（K）.

例如：纽结62的拟解结数为1，因为只需要做一次Wendt操作就可以使纽结62转变成平凡纽结.

在表3，列出了交叉点数少于10的素纽结的解结数及拟解结数.发现交叉点数少于10的素纽结的解结数和拟解结数都相等[2].

一个纽结的解结数也不一定会在它的最少交叉点投影图上找到，下面是同一个纽结108的（图3）两个投影图，一个为最小投影图，另一个则不是，但是左图解结数为3，右图解结数为2.

定义2对2个分支的链环L，给定它的一个投影图，在其部分交叉点上做Wendt操作，总能使得到的新投影图成为L1（可能需要初等变换）分离的[3].考虑L的所有投影图，能实现上述目的的最少交叉点数称为L的分拆数，记为v（L）.

类似纽结的拟解结数，对2分支链环定义拟分拆数.

定义3对链环表中有2个分支的投影图L，我们先选定其中一个交叉点做Wendt操作，接着做一系列初等变换得到链环表中的一个新投影图L1，重复以上操作，直到得到可分离的链环.将上述过程所需要的Wendt操作的个数的最小值称为L的拟分拆数，记为Qv（L）[4].

表4中列出了交叉点数少于9的两个分支链环的拟分拆数.

图1 纽结62每个交叉点经过一次Wendt操作的结果

图2 链环每个交叉点经过一次Wendt操作的结果

表3 纽结、纽结解结数及拟解结数

表4 链环和链环拟分拆数

以下是与拟分拆数有关的公开问题：

一个交错链环投影图，做一次Wendt操作，在什么条件下得到的投影图将是可分离的，见文献[5].

3 经验规律

规律1在交叉点数少于10的纽结中，我们发现：非交错纽结K的两个交叉点数相同的投影图的每个交叉点上做一次Wendt操作得到的纽结集合不见得会相同，但交错纽结的两个叉点数相同的投影图的每个交叉点上做一次Wendt操作得到的纽结集合则相同[6].

第一行表格与第二行表格分别是纽结943的两个不同投影图，只需做一次R3变化，其交叉点均为9，在9个交叉点上分别做一次Wendt操作，再经过一系列Reidemeister变化，得到的9个纽结是不同的.例如图4.

下面来说明下这两个纽结投影图（图6）是同痕的，注意到红色椭圆区域内tangle是一模一样的的，我们只需说明两个纽结投影图去掉红色区域剩下的部分可以在4条端点固定情况下互相转换即可[7].

把红色部分去掉所得的图7，将其形变为下图8：易看出以上2个只要沿水平线拧360度即可互相得到.由此可以这样说明因此两个814投影图是相同的纽结.

规律2在笔者采取的表中交叉点数少于10的交错纽结投影中，发现对其一个交叉点做Wendt操作，若得到的纽结仍然为交错纽结，则其交叉指标至少减少2.若不是，则不然.对交叉点数少于9的2个分支链环，此结论也成立.

若经过Wendt操作得到的纽结为非交错纽结，则存在减少1的情况.如图9.

规律3若纽结对应的Conway符号为m，n，其中m，n必有一个为偶数，m若为偶数，则其对应的解结数若，n均为偶数，则其对应的解结数如表5.

同样要证≤容易，但是要证明≥就比较难.

表5 Conway符号m，n与解结数之间关系

图4 非交错纽结943两个不同投影图每个交叉点经过一次Wendt操作的结果

图5 交错纽结814两个不同投影图每个交叉点经过一次Wendt操作转变结果

图6 纽结814的两个投影图

图7 纽结814的两个投影图

图8 纽结814的两个投影图

图9 交错纽结933每个交叉点经过一次Wendt操作的结果

[1]BOLLOBASB.ModernGraphTheory[M].Berlin:Springer，1998.

[2]KAWAMURAT.TheUnknottingNumberof10139and10152are4[J].OsakaJ.Math.，1998，（35）：539-546.

[3]STOIMENOW A.Polynomial Values，the Linking form and Unknotting Numbers[J].Mathematical Research Letters，2004，32（4）：139-141.

[4]JungHoonLee.CriticalHeegaardSurfacesObtainedbyAmalgamation[J].TopologyanditsApplications，2013，160（1）：135-138.

[5]ADAMSCC.TheKnotBook[M].AmericanMathematicalSociety，2004：143.

[6]姜伯驹.绳圈的数学[M].长沙：湖南教育出版社，1991：5-24.

[7]REIDEMEISTERK.ElementareBegrundungderKnotentheorie[J].Abh.Math.Sem.Unic.Hamburg.，1926，（5）：24-32.

（责任编辑 李健飞）

Some Results of the Unknotting Number and Crossing Number Based on Wendt Operation

TAN Qiu-yue1，SUN Ping-an1，LIN Shu-yu2
（1.Department of Mathematics&Computer，Wuyi College，Wuyishan，Fujian 354300，China；2.School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen，Fujian 361000，China）

This paper studies the effect of a single Wendt's operation on knot and link diagrams and its relation with the unknotting number and the crossing number.It introduces two notions for link diagrams，namely Quasi-unknotting number and Quasi-splitting number，calculates these two numbers for knots with crossing number no more than 9 and 2-comonent links with crossing number no more than 8，respectively，and finds some empirical regularities.

knot link；Wendt's operation；unknotting number；crossing number

O157.5

：A

：1673-1972（2015）06-0061-06

2015-07-13

福建省青年教师专项(JA1551)；福建省教育厅科技项目（JK2012056）；武夷学院青年教师专项(xq201110)

谭秋月（1980-），女，陕西杨凌人，讲师，主要从事图论、离散数学研究.