刘 威

（黑龙江工程学院数学系，哈尔滨 150050）

在工业生产、经济管理中常常要解决在一定条件下怎么使投入最少、产出最多、效益最高、利润最大等问题，这类问题在高等数学中可归结为求出某一函数的最大值或最小值，因此，研究函数的最值问题及其应用尤其是在经济学中的应用有很重要的现实意义，本文主要介绍函数的最值在经济学中的应用。

一、微积分中的最值的一般的计算方法

微积分中有关函数最值的问题一般都通过极值来求得。先求驻点和不可导点，求区间端点及驻点和不可导点处的函数值，比较大小，哪个大哪个就是最大值，哪个小哪个就是最小值。在实际问题中常常会遇到一种特殊情况，一元连续函数若在区间(a，b)内有且仅有一个极值，则此极值就是最值（最大值或最小值）。多元函数的最值问题和一元函数类似。

二、最小成本问题

通常在实际问题中成本一般是产量q的函数：C=C(q)，求最小成本问题即是求的最小值问题，在实际应用中，经常会用平均成本达到最小来控制产量，所以常常是求平均成本的最小值问题。

例如，设某个企业每季度生产的某种产品q个单位时，其总成本函数是

1.求使平均成本最小的产量是多少；

2.求最小平均成本。

三、最大利润问题

在产量等于销量的情况下，利润等于总收入与总成本之差，即

若企业以最大利润为目标而控制产量，问题就是产量选择多少，使利润最大。为使总利润最大，令其一阶导数等于零，即L＇(q)=R＇(q)-C＇(q)=0

R＇(q)表示边际收益，C＇(q)表示边际成本，显然，为使总利润达到最大，还应有

例如，某厂每批生产A商品x台的费用为C(x)=6x+180（万元），得到的收入为R(x)=11x-0.01x2（万元），问每批生产多少台，才能使利润最大？

分析：设利润为L(x)，则

令 L＇(x)=0，解得 x=250（台），

由于 L＂(x)=-0.02<0

所以L(250)=445（万元）为极大值，也就是最大值。

四、最优价格问题

在生产和销售商品过程中，商品销售量、生产成本与销售价格是互相影响的，厂家如何选择合理的销售价格，才能获得最大利润，这个问题称为最优价格问题。

例如，某工厂生产两种产品，当产量分别为x1，x2时，其总成本函数为

而市场对这两种产品的需求函数为

p1，p2其中分别是这两种产品的价格。试问：工厂应怎样确定两种产品的价格才能使所获利润最大？

五、库存管理问题

不论是生产厂家还是商家，都要设置仓库来存储商品，因此，库存问题也是他们必须面对的问题。企业为了完成一定的生产任务，必须要保证生产正常进行所必需的材料。但是，在总需要量一定条件下，订购批量大、订购次数少，订购费用就小，而保管费用就要相应增加，因此，就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。在经济学上，把最优订货批量称为经济订购批量，在经济订购批量处，满足订购费用和保管费用一致，并使两者之和也就是总费用最少。

例如，某种材料一年需要量为24000个，每个价格为40元，年保管的费用为12%，每次订购的费用是64元，求最优订购批量、最少的总费用。

六、其他应用

由于经济问题的多样化，其解决方法并无严格固定的模式可循，只能是具体问题具体分析，最值问题在经济学的其他方面还有非常多的应用，如：复利问题、折旧问题等等，丰富的数学基础知识是解决问题的关键。

七、总结

文章列举了最值在实际问题中的一些应用，从经济学的利润最大、成本最低等方面分别举例叙述了最值问题在经济学中的应用。随着社会的不断发展和进步，最值问题在社会的各个方面都将会有更广泛的应用，还有待于进一步研究。

[1] 王利霞.函数最值在一些实际问题中的应用[J].科技信息，2010(9).

[2] 陈丽丽.函数极值在经济管理中的应用[J].科技资讯，2006(24).

[3] 李 胜.经济数学基础（第一版）[M].电子科技大学出版社，2002.