2015年高考数学（新课标全国卷Ⅱ）试卷解读

2015-12-02哈尔滨市第九中学

黑龙江教育(教育与教学) 2015年9期

关键词：题型坐标系试卷

◎哈尔滨市第九中学戴鑫

◎哈尔滨市第九中学戴鑫

2015年的高考已经进入了新课标教材的第六个年头.每逢高考结束便是各高中教师分析高考试题，总结复习经验，并为新一届高三学生复习提出建议的时候.下面简单阐述一下本人对本年度数学（新课标全国卷Ⅱ）的理解.

一、试卷整体评价

1.知识点覆盖比较全面

三角12分，数列10分，函数与导数27分，立体几何22分，解析几何22分，统计与概率17分，集合、复数、算法、向量、线性规划、二项式定理各5分，与2013和2014两年相比，局部略有调整，总体知识主干不变，重点突出.

2.整体难度较2013、2014两年有所下降

选择题12个，填空题4个，解答题6个（其中一个为三选一的选修题）.选择填空部分难度低于2013年，与2014年基本持平.解答题部分比2013、2014两年均略简单.

二、试卷题目特点

1.注重基础知识，贴近教材

今年高考试卷的第1～8，13，14题，这10个题目均为基础知识考查题，难度与课后习题A组类似，是教学中知识点的直接考查，而且题目背景极其贴近教材内容.

例如：8.下边程序框图的算法思路源于我国数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a、b，分别为14、18，则输出的a=（）.

A.0 B.2 C.4D.14

本题即为必修三教材第36页的算法案例，其作用是求两个数的最大公因数.

2.整理题型，重视基本方法

试卷第9，11，12，15，16，17，20（1），21题，这8个题目体现了教师和学生对经典题型和方法的掌握情况.

例如：9.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）.

A.36πB.64πC.144πD.256π

该题是立体几何中关于多面体外接球的经典补形题型之一.对于墙角类型具有三垂直的三棱锥的补形动作为以三垂直的顶点为顶点，三条互相垂直的棱分别为长宽高构造长方体或正方体，此长方体或正方体的体对角线即为其外接球直径.

例如：16.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，则Sn=．

该题考查an与Sn之间的关系.解决此类题型一般有两个方法：方法一，保留Sn.为以-1为首项，-1为公差的等差数列，所以，故

例如：20.已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

该题值得一提的是：点差法.设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以

甚至连今年的压轴题21题导数，都是对典型题型和基本方法的考查.

例如：21.设函数f（x）=emx+x2-mx.

（1）证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围．

（1）是平日练习中利用导数处理函数单调性的方法.（2）的条件即是f（x）在[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于e-1.结合（1）的结论很快就可以解决（2）.

这些题目所考查的手法都应该是老师带领学生在高三复习阶段反复练习的重点，可见高考题目对经典题型和基本方法多么重视.

3.重视数学能力培养

（1）空间想象能力

自从在立体几何中引入空间直角坐标系以来，立体几何从特别注意考查学生空间想象能力的方向转变成了计算题，使得学生在平时的训练中多重视计算，空间想象力越来越弱.但今年的选择题9和解答题19（1）改变了我们以上看法.

与球有关的问题大多需要学生有良好的空间想象力，手绘直观图，并在大脑中产生球的图形，再加上点C在球面上运动的最值问题，使得选择题9更具特色.

例如：19.如右上图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）.

该题打破了以往高考试题中立体几何解答题第一问证明的模式，要求学生绘制直观图中的截面，这是新课标高考的首次尝试.

两个题目的难度虽不大，但考查学生空间想象力的目的达到了，也改变了教师带领学生复习立体几何的常规，最重要的是将立体几何学科的特点凸显出来.

（2）数据处理能力

例如：3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）.

A.逐年比较：2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C.2006年以来我国二氧化硫年排放量显减少趋势

D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.

数据处理能力体现在会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断.2014年的第19题也考查了对大量数据的处理和预测的内容.连续两年出现统计类的问题提示我们应该将统计中的数据处理问题和基本操作方法整理到复习的方案中.

4.突出数学知识的应用和创新

试卷中第3，10，18，19，20（2）题给我留下了非常深刻的印象，这些题目使得我们重新思考学习数学知识的意义，掌握数学知识的作用.让我们看到了数学不仅仅是抽象的推理、论证、计算，它有很强的应用价值，它来源于我们的生活，并能很好地指导我们的生活；它富于探索，富于挑战，富于创新，使得数学具有了神秘的色彩，它吸引着一代又一代无数的天才前赴后继，为攀登数学的高峰不懈地努力着.

5.选修试题稳中求变

每年的三选一试题都是10分，是六个解答题中分值最低的一个，这也决定了它的难度应该是最低的一个，难度适中学生才不会在考场上发生心理突变.22题平面几何选讲变化不大，但23题坐标系与参数方程和24题不等式选讲确有很多新意.

例如：23.坐标系与参数方程

（Ⅱ）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

该题最突出的部分便是其第（2）问，学生解决这一类问题往往都选择转化成直角坐标系的定式思维，表面上感觉易于上手操作，但今年的题目在极坐标系下更为简单.可见出题人的用意是需要学生在适当的状况下选择适当的坐标系（直角坐标系或极坐标系），在同一坐标系下再选取适当的方程（直角坐标系下的普通方程或参数方程）.

例如：24.不等式选讲

设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：

该题的亮点也是在第（2）问，考查了充要条件的双向性（充分性和必要性）.学生在证明的时候必须体现以上两个方面，是以往试题只考查单向证明的一个创新.