陈　陌　杜　纲　支华炜

1.天津大学，天津，300072　　2.天津工业大学，天津，300384

基于模块属性组合的产品族主从关联设计

陈陌1杜纲1支华炜2

1.天津大学，天津，3000722.天津工业大学，天津，300384

可选模块需要在必选模块的基础上进行配置，同时最优的必选模块配置也是依赖于可选模块配置的。为解决产品设计中属于不同层次结构的两类模块设计问题，在主从模型中引入0-1变量，实现了对模块属性档级的选择，以制造商成本和客户效用的比值及产品族通用性指数作为上层目标，以产品可选属性效用最大化作为下层目标，实现了两类模块的优化组合。最后用自行车产品族案例验证了该方法的可行性和有效性。

产品族；模块；属性；主从；关联；双层规划；联合分析

0　引言

基于产品平台的产品族设计的研究按照产品特征实现方式的不同可以分为两种类型[1]：基于组件或模块变更的模块配置型产品族设计和基于参数尺度变化的参数伸缩型产品族设计。模块化更有利于生产定制产品和实现标准化，进而实现规模经济[2]，模块化已成为工程产品的主要发展趋势。模块化设计主要包括变量量化和组合选择两个阶段，分别是指通过产品原型来量化设计变量和通过开发产品原型来选择合适的产品组合。基于这两个阶段，目前的设计方法主要可以分为3类[3]：①在固定模块组合的情况下优化模块属性，可以减少设计变量，使问题易于求解；②优化模块组合；③同时优化模块属性和模块组合。祁国宁等[4]指出，产品族中往往涉及多类模块，主要包括基础模块、必选模块和可选模块，其中基础模块属于无条件选择的，而必选模块与可选模块是与客户需求有关的，因此，必选模块和可选模块是产品族设计中必须考虑的。

很多学者从不同角度对必选模块和可选模块进行了区分。Siddique等[5]引入这两类模块来扩展配置设计空间，更好地满足了产品族的功能需求。樊蓓蓓等[6]在分析网络模型相关参数的基础上，根据实例零部件数量和平均使用次数对这两类模块进行了区分。江伟光等[7]通过扩展与或树和装配有向图，并结合不同类型的节点来刻画可选模块与必选模块。Koschke等[8]从模型演化的角度提出了必选模块可以转化为可选模块、可选模块不能转化为必选模块的观点。但斌等[9]提出了维护推理算法，并结合替换、添加和移除的操作对这两类模块进行了维护。可见必选模块和可选模块在设计中无论是地位还是作用都是有区别的。

由于数学模型本身具有表达清晰、逻辑性强、结果具有可重复性等优点，利用数学模型来设计必选模块和可选模块也越来越受到重视。Jiao等[10]提出了客户与工程交互的产品组合优化方法，将产品族配置描述为模块属性的选择，从而运用0-1变量的组合规划模型，目标函数采用效用与成本之比的形式。王海军等[11]以定制产品能提供的性能和客户需求相关度最大为目标，给出了寻求最佳模块配置的方法。但上述方法大多只是对两类模块进行了数学符号的定义，而关于两类模块之间的关系却很少涉及，在理论研究和实际应用上均显得不足。

在实际工程中，必选模块决定了产品的主要性能，而可选模块设计需要在必选模块选定的基础上，基于成本和技术等约束，体现产品的个性化部分。显然，两类模块的组合配置属于不同层次的问题，其中任何一类模块的配置都会对另一类模块的配置结果产生影响。因此，设计一种能联合处理两类模块的设计模型是很有意义的。基于此，本文提出了一种Stackelberg主从对策模型来同时处理这两类模块的组合问题，该双层结构模型能很好地表示必选模块和可选模块之间的耦合关系。

1　问题描述

考虑产品族模块组合问题，其中产品由若干模块组成，每个模块可由若干种属性表征，每种属性又可分为若干个水平档级，如图1所示。则关于模块的研究就可以转化为关于属性和档级的研究。

图1　产品模块属性档级示意图

假设需要进行配置的模块属性共有K种，其中，必选模块是指必须按照一定的规则，选择一定数量的模块加入定制产品中，其下标集记为K+；而可选模块是指可以根据需要按照一定的规则，选择一定数量的模块加入定制产品中，其下标集记为K-，其中，K+与K-的元素数量之和为K。必选模块属性记为ak，k∈K+，每种属性ak分为Lk个水平档级，第k个属性的第l个档级用akl来表示；可选模块属性记为bk，k∈K-，第k个属性的第l个档级用bkl来表示。

2　优化模型

2.1决策变量

用yj表示第j种产品方案zj的选择变量，yj取值为0或1，yj=1表示选择了zj，yj=0表示未选择zj。产品方案决策向量记为Y，Y=(y1,y2,…,yJ)。产品j的属性档级选择向量记为Xj，它由必选属性和可选属性决策变量两部分组成，即

Xj=(Xj+,Xj-)

2.2目标及约束

2.2.1上层

模型的上层要对产品族必选属性的选择进行决策，实现整个产品族的综合利益最大化。综合考虑，上层构建为以下综合表达式：

(1)

式中，Uij为某细分市场消费者对产品的效用；Cj为产品成本；Qi为每个细分市场的规模；Pij为消费者对产品的选择情况，可用离散选择分析来进行估计[12]；λ为调节系数；Ig(Y,X)为产品族通用性指数。

假设第i细分市场的客户Si认为zj的效用为Uij，为便于度量，可将Uij分解为必选属性水平、可选属性水平及产品综合水平这3部分的效用，即

(2)

产品成本的计算是一项很复杂的工作，它需要对产品设计和流程控制有足够的了解，许多学者在这方面做了研究，大规模定制产品中成本优势体现在制造产品的效率上，而不仅仅体现在金额上，所以Jiao等[13]提出了一种生产能力指数方法。而有些很成熟的产品，由于接口高度的通用化，成本也可以采用线性累加的形式[14]。

通用性指数是评价产品族的一个很重要的指标，它可以通过考量组件或模块的异同度来辅助和支持产品族的设计。若通用性指数太高，则产品缺乏区分度，影响性能和市场表现；若通用性指数太低，则制造成本过高[15]。目前主要有6种通用性指数，它们从不同角度来评价产品族的通用性，各有优势和侧重点[16]。Martin等[17]提出了CI通用性指数，其特点是数据易于收集，结果具有可重复性，其缺点是未考虑成本因素。CI通用性指数可以与产品族的效用与成本比结合，作为优化目标的一部分，其一般定义为

(3)

其中，u表示产品族中独立模块的数量，pj表示产品j中模块的数量，vn表示产品族中产品的个数。结合上文关于决策变量的分析，独立模块u为

(4)

上层的约束条件一方面包括产品族的技术和数量要求，如根据细分市场需求预测的产品族中的产品数量要求和不同组合的区分性要求；另一方面包括产品对必选属性的限制性约束，要求对必选属性的档级至少必选其一，用择一性等式约束表示。

2.2.2下层

模型的下层要对产品族的可选属性进行决策，实现在上层的整体利益优化主导下每种定制产品的利益最大化。

2.3模型的建立

基于上述分析，可以建立产品族模块组合的主从关联模型：

(5)

式(5)属于一主J从非线性0-1整数双层规划问题，其中，J+为产品族中的产品数量。模型的上层优先决策产品必选属性的组合，然后以(Y,X+)传递到下层，下层的决策变量是X-，决定产品可选属性的组合，然后反映到上层。模型的最优解(Y*,X*)给出了产品族模块组合的设计方案。

3　模型的求解

3.1解法构建思路

双层规划是一类复杂优化问题，即使一个线性双层规划往往也是NP难问题，因此，双层规划相比单层规划具有更高的复杂度[18]。由于很多双层规划在诱导域中找到最优解是很困难的，故大多数处理方法都是转化型求解，即根据模型具体情况，选择合适的等价约束或条件来转化双层规划。

本文建立的是一主多从的非线性0-1整数规划，无法利用KKT条件对下层进行模型转化，又由于变量是0-1整数，故也无法利用工程中的响应曲面或有限元分析等方法拟合下层变量的表达式从而代入上层近似求解。因此，本文采用满意解法进行求解，虽然有时求出的满意解不在诱导域内，只在原问题的约束域中，但相比高成本获得最优解，用较低成本获得一个在接受范围内的满意解，在工程实践中是可行的。

3.2模型转化及相关性质

本文对原模型采用了变量化简、合并模型和移动约束三种手段，使得式(8)等价地转化为一主一从且上层无约束的模型，下面分别阐述这三种手段。

(1)变量化简。式(8)是模型的一般式，上层模型变量是所有必选属性的配置组合X+和产品选择向量Y，下层模型是基于每个必选属性组合给出的可选属性组合。最后从模型中可以得到哪些产品被选择组成产品族，从中可以发现每个Xj是与每个yj相对应的，当上层模型给出X+时，即使Xj+的排列顺序不一样，也不会对哪些产品被选择造成影响。因此在求解时，可以事先给定一组X+，这样上层模型的决策变量就变为Y，下层每个子模型的决策变量为Xj-，大大减少了计算量。

(3)移动约束。继续观察这个一主一从的模型，可以发现该模型还有一个特点，即下层变量仅在上层目标函数中出现，并未出现在上层约束中。下文将具有如此特点的双层模型称为BLPP。如果把BLPP的上层约束移到下层约束，称这样的双层模型为BLPP1。从双层规划解的定义出发，容易得出BLPP和BLPP1的最优解相同的结论。

3.3求解方法

式(5)可以转化为一主一从且上层无约束的模型。Emam等[20]针对此类情况给出了处理整数非线性双层优化的满意解法，本文应用该方法进行求解。该方法一共分为6步，通过计算得到上下层的隶属度函数，最终转化为单层问题。对于一个非线性的单层规划，可采用MATLAB中的fmincon函数或Lingo中的GlobalSlover进行计算。

4　案例研究

4.1问题描述

自行车是典型的模块化产品，随着接口之间标准化程度越来越高，可以认为自行车是由模块属性中各个档级组合而成的。假设必选属性K+有6种，分别为车架部件、外胎、脚蹬部件、前叉与前轴、链条、飞轮；可选属性K-有2种，分别为水壶支架和车灯。各属性的档级详见表1，一共可以组成64种产品(由必选属性决定)。假设成本、客户和市场等所需信息均可获得，产品数量限制为J+=3。

表1　自行车属性档级表

4.2模型的建立

计算时首先利用SPSS软件对这些组合进行正交分析，正交分析的目的是产生一个具有代表性的产品集合，这样受访者就可以对较少数量的产品进行评价，提高了判断的准确性和有效性，正交后的集合包含16个产品。然后进行数据收集，分群也是联合分析的重要一环，唯有同一类集群消费者的效用才能进行加总，否则就会出现偏好值正负相互抵消的情形。最后基于这些数据进行聚类分析，把这些受访者分为家用型及锻炼型两个组群，结果见表2。

表2　基于联合分析的属性档级效用值

在不影响模型本质特性情况下作适当简化，两个市场的规模Qi均取为适当固定值，如1000；Pij设为等概率，取值为1；另外取π1j=6.602，π2j=-0.481，J+=3和λ=2。下层共有J个模型，其目标是产品可选属性部分效用的极大化，约束分为成本约束和技术约束。成本约束是可选属性组合的成本不超过产品必选属性成本与比例系数αj的乘积，即

4.3模型计算

通过简化变量、合并下层子模型和移动上层约束至下层等手段，可以得到本文需要求解的一主一从模型，按照文献[20]中的步骤进行计算，最后结果见表3。

表3　计算结果

4.4结果分析

本文提出了产品族模块组合的主从关联设计方法，与以往同类研究相比有多项优势和特色，自行车产品族的设计结果也证明了本文方法的合理性和有效性。

把产品族中的三个产品(y27、y59、y63)编号为1、2、3；再在结果中找出在两个市场中总效用最大的产品(y48)和总成本最低的产品(y57)，编号为4和5。以这5个产品编号为横坐标，以产品总效用、成本、效用与成本比为纵坐标，如图2所示。从图2中可以看出，虽然产品4的总效用较高，但由于其成本过高，所以其效用与成本比没有优势。同理，产品5虽然成本较低，但由于其总效用较低，也没有优势。用产品4或5中任何一个产品替代产品1、2、3中的某一个进入产品族，也不会提升产品族通用性指数(Ig=0.83)，故可以看出，产品1、2、3最终被选择是有依据的。

图2　产品性能比较图

5　结论与展望

产品族设计中关于模块组合的问题属于多年来广受关注的重要研究课题，本文创新点在于，认为必选模块和可选模块之间不仅相互关联，而且存在一种主从关系。本文采用一种双层规划模型，以制造商成本与客户效用比值以及产品族通用性指数为上层目标，以产品可选属性效用最大化为下层目标，进行两类模块和属性的优化组合。另外，对“效用”进行了详细阐述，进行了有益的探索，具有理论意义和应用参考价值。

这种双层决策框架还可以应用在很多产品族设计问题中，比如可以以平台设计为主者，定制化设计为从者；或者以模块设计为主者，参数设计为从者。双层模型的求解也是今后研究的重点，因为在工程和实际问题中，经常会出现共享变量或目标约束等没有表达式的情形，结合数值或模拟方法进行求解将是双层模块研究的一个重点。

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(编辑陈勇)

Leader-follower Joint Design of Product Family Based on Module Attribute Combination

Chen Mo1Du Gang1Zhi Huawei2

1.Tianjin University,Tianjin,300072 2.Tianjin Polytechnic University,Tianjin,300384

Optional modules were always enacted within mandatory modules, and meanwhile an optimal mandatory modules configuration depended on how optional modules were to be chosen. For solving how to design two types of modules in different level, a bilevel mixed 0-1 nonlinear programming model was developed, comprising an upper-level optimization problem and a lower-level optimization problem. The upper level seeks for maximizing the shared surplus and commonality index of an entire product family. The lower level seeks for maximizing the utility of optional attributes. At last, through the case of bicycle product family, the feasibility and effectiveness of the model were validated.

product family; module; attribute; leader-follower; joint; bilevel programming; conjoint analysis

2013-08-22

国家自然科学基金资助项目(71071104)

TP391.7DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.01.005

陈陌，男，1985年生。天津大学管理与经济学部博士研究生。主要研究方向为产品设计与优化。杜纲，女，1954年生。天津大学管理与经济学部教授、博士研究生导师。支华炜，男，1983年生。天津工业大学管理学院讲师、博士。