徐章韬

（华中师范大学　数学与统计学学院，湖北　武汉　430079）

论基于样例学习理论的习题课教学设计

徐章韬

（华中师范大学数学与统计学学院，湖北武汉430079）

样例的选择、组织、提炼、评价构成了习题课教学设计的4个主要环节.从正向思维、逆向思维和发散思维的角度，讨论了习题课中3种类型样例的配置.上述3种类型的样例把教学理念工程化了，具有可操作性的特点，有利于学生思维的培养.在这个过程中的教师的教学能力也会得到增长.

样例；样例学习理论；习题课

1　引　言

样例又称例子或范例，是一种能够例说或表征较为抽象概念、原理的相对具体的实体，能够展示同一类事物性质的样本，或值得模仿的榜样[1].样例学习又称例中学，是学习者在对样例的研习中习得样例中蕴含的知识、技能的过程.有研究认为[2]，数学样例学习是学生在数学学习过程中获取认知技能的重要手段，数学样例提供了专家解答问题的方法，可供学习者模仿和学习；数学样例中蕴涵的数学思想方法使学生数学学习的过程变得容易；数学样例为数学学习提供的原理线索，有效地促进了学生数学学习迁移的发生；基于数学样例的数学学习，有效地减轻了学习者的认知负荷，提高了数学学习的效率.样例学习效应的研究表明，和学生单纯的问题解决学习（即做中学）相比，从样例中进行的学习不仅可以花费较少的时间而习得相关的知识技能，而且还有较好的迁移效果，并有助于减轻学习者学习时的认知负荷.在数学教学中，概念课[3～4]、命题课[5]的研究已经引起了学者们的关注，习题课是一种非常重要的课型，非常值得研究.基于样例学习理论，研究习题中的样例配置，探讨习题课的教学设计之道，是这里要解决的问题.

2　习题课的教学设计环节

习题课有4大目的——加深理解和掌握双基；培养和发展能力；查漏补缺；培养学习习惯，学会思考[6].为了达到这个目的，要注意精心选择好的习题作为样例.“好题”应具有以下“品质”：与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有自我生长的能力等；从培养思维能力的角度，则应有：问题是自然的，对学生的智力有适度的挑战性，题意明确、不纠缠于细枝末节，表述形式简洁、流畅、好懂等[7].然而每位教师对何为“好题”的理解是不一样的.这就需要教师对习题具有一定的鉴别和欣赏能力，围绕习题课的主旨，充分考虑样例的选择、组织、提炼、评价.这是习题课教学设计中要考虑的4个主要环节.

从问题出发，精心选择样例.问题是数学的心脏，以问题驱动，激发学生思考，寻找问题的解决之道，引出样例.对那些有数学天赋的学生，从培养创新人才出发，应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这4条主线，让他们有机会体会和认识一些数学本源性问题.在日常教学中，应以新知识为载体，让学生解决一些知识发展中的基本问题[8].这样的问题才是精心选择的样例.通过解剖“麻雀”的方式说明样例的特征，引导学生理解和掌握样例，让学生通过样例的学习，逐渐学会如何发现和提出问题、如何获得数学对象、如何构建研究线索以及掌握解决问题的基本方法等为目标，即要让学生通过解题逐步学会认识和解决问题的基本方法[8].

把样例编织成一个体系，在体系中进行有层次的训练.有了基本问题之后，通过变式，形成题组，能使学生在举一反三中获得基本的数学活动经验.通过变式，前后问题之间的关联性更加突出，个案的本质特征得到凸现，规律得到了明析.这有助于学生脱离孤立个案学习的弊端，形成进退有序的思维方式，进而把从个案中获得的经验迁移到群组的学习中，尝试寻找一般规律.学习需要一定的重复，但是这种重复更需要有一定的变化.把样例编织成体系，正是为了使学生在学习中不至于太过枯燥，使认知结构在有变化的重复之中形成牢固的结点.

引导学生提炼概括，总结一般规律.要在前两个阶段的基础上找出样例背后的规律性，使学生的认识能更加深入，能化实为虚，超越具体而走向一般.在习题课的教学中要渗透数学的思想和方法，彻底解决学生“懂而不会”的现象[9]让学生明白“问题之解何处来”[10]，实现教育数学的三大主张——从头脑中找概念，概念要形成方法，方法要形成模式.不要追求没有思想的技巧，要在吃透基本概念的基础之上，寻找自然而然的解法.

引导学生进行价值思索.数学之用究竟何在？虽然华罗庚先生有精彩名言“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学”，但大多数人对数学之用还是不甚了解.数学之用不仅仅在于她是自然科学、社会科学的“皇后”，更在于她能把人的心灵引领向上，脱离各种俗念.在这个阶段，要引导学生从关注具体的数学内容转向关注自身的精神世界，使他们在获得知识的同时，能关注知识背后的经验、价值观资源，并转化为自己的认知和经验，指导自己的行为.要树立“大学科”的观念，让学生在学习数学过程中的思维过程、方法策略内化为学生走向社会，解决具体问题的基本素质、基本态度及基本思想[11].

如此，习题课的教学设计就从单纯的知识教育走向了蕴知识、能力、经验、价值观资源、个性品质塑造于一体的素质教育了.

3　教学设计环节中的样例配置

数学教学研究不能理念化，要能开得出解决具体问题的处方”.上面从理论上阐述了习题课教学设计的4个环节，要把上述理念转化具体可操作的教学行为，还需要善于配置习题，选好样例，使理念走向工程化的教学实践之中.从训练思维的角度而言，在习题课中要围绕一个中心，遵循由浅入深，由简到繁，由表及里的原则，从正向思维、逆向思维、发散思维的角度配置习题，使这些习题构成一个系列，形成样例，使之既能体现学生思维的多向性，也能训练学生架设由已知，经可知，达未知的桥梁，创造新的思路和解法的能力，提高问题解决的科学性和艺术性，增强问题解决的意识和本领.

3.1配置正向思维的样例

根据安德森的ACT-R理论，在样例学习的最初阶段，应该为学生呈现一些典型的样例，当他们掌握了相应的陈述性知识之后，再让学生进行大量的练习，从而帮助他们将陈述性知识转化为程序性知识，形成问题解决的技能.正向思维的样例，大都是概念、定理、公式和法则的直接应用，不算太难，有助于陈述性知识向程序性知识的转化，有助于问题解决技能的形成.

配置正向思维的样例，其操作要点在于“揉”，体现思维的循序渐进性.在配置正向思维的样例时，要注意新旧知识的交叉渗透，就像滚雪球一样，重在一个“揉”字，使学生在不同的情境中，不同的变式中，看到其“形”虽不同，然其“实”一样，让学生明白问题解决的基本之法和一般套路，注重从基本出发，目标指向问题解决思路的获得.如：在一元二次不等式的解法中，可以配置如下样例：

①是单纯地解一元二次不等式，②、③是一元二次不等式和绝对值不等式的交叉渗透，其解法是由绝对值定义去掉绝对值符号这个“紧箍咒”，其中反映的学习方法是要求教师能在不同的情境中引导学生不断地复习、巩固已学的知识，掌握其精神实质；反映的基本套路是，讲退策，退到基本情形！俗话说得好，“挨一拳，得一着；挨十拳，变诸葛”，单个的、孤立的习题并不能成为样例，有机联系、拾级而上的习题组才构成一个样例.

配置正向思维的样例，其操作要点还在于“拓”，体现思维的广阔性.根据样例学习的相似性理论，样例学习是通过对多个相似的样例进行总结并归纳出原理而实现的.因此，在样例学习过程中，至少要呈现两个或多个样例[12].学科的基本思考法，问题解决的一般思考法，要通过不同主题、不同情形的样例反复向学生渗透，提高学生的迁移能力和认知能力.如，单调性、奇偶性是函数的重要性质，其正向思维的题型大致有：① 证明函数的单调性（或奇偶性）；② 判断函数的单调性（或奇偶性）；③ 讨论函数的单调性（或奇偶性）.不管具体的习题以什么函数为背景或由什么函数复合而成，大都是依据定义作答，这就是通法.教师在讲解具体的样例后，要总结规律，不能就题论题，要使学生有发展的余地.还可以举一些有关单调性与奇偶性综合应用的例子，把单调性与奇偶性有机地“揉”在一起.问题解决的基本思路还是回到定义上去！不妨把眼光放远大一点，不再局限于一类题型，一个样例，而是要习得上述样例中的精神实质，就可以把上述样例看作样例空间中的一个点，通过类似样例的学习来归结经验.如，在讲解二次函数在闭区间上的最值时，正向思维的题型有3类：① 定直线（对称轴）动区间型；② 动直线定区间型；③ 动直线动区间型.解决这3类问题的关键是考察对称轴与闭区间的相对位置关系——对称轴是穿过闭区间，还是在闭区间的左侧或右侧.讲清楚了第①类问题后，可请学生自行完成第②、③类问题.最后还要注意规律的总结.二次函数在闭区间上一定有最值，而且最值在3点（区间的左端点、右端点、抛物线的顶点处）中的某两点处取得.还可以进行探究性学习，讨论当区间不闭时，上述结论是否成立.一石激起千层浪，势必激起同学们强烈的探索激情.样例学习本身是一种认知过程，需要运用头脑中已有的知识来理解、同化、归纳、概括样例内部所蕴含的图式或规则[1]，样例的变异性对学习者学习迁移的影响与迁移程度有关[13].吃透上述样例中蕴含的问题解决方法，对考察一般函数在闭区间上的最值问题，有强烈的借鉴作用.对称轴其实是过极点的、与水平轴重直的直线，考察对称轴与闭区间的相对位置关系，其实就是考察极值点与闭区间的相对位置关系.处理二次函数的有关技法可以迁移到一般的函数极值问题上，体现了样例对学生迁移心理的正向促进作用.数学教学通过事先设计的样例，将问题的初始状态、中间状态、目标状态，以及从一个状态转换成另一种状态的过程均呈现给问题解决者，问题解决者从样例中归纳出隐含的抽象知识，从而获取认知技能.归结不同主题、不同情形样例中的精神实质，才能“厚书读薄”.

总之，配置正面思维的样例，不能就题论题，堆砌习题，要围绕一个中心配置习题，要注重通法和基本套路，注重规律的总结；要注意样例内特征及样例间特征，在不同的情境中反复渗透，使学生的迁移能力和认知能力得到提升.

3.2配置逆向思维的样例

样例学习的解释性理论认为，样例学习是通过对一个或几个样例进行解释而实现的.笛卡尔说：“我所解决的每一个问题，都将成为一个范例，用以解决其他问题.”如何对贮存在记忆中的样例进行深刻的解读，获得深刻的见解，对学生迁移能力的形成具有重要意义.

配置逆向思维的样例，其操作要点在于“化逆为正”，体现思维的灵活转换性.任何事物都有两面性，正面和反面相辅相成.配置了正向思维的题型，还要从逆向思维的角度加深对通法，对规律的理解.通常，逆向思维的难度大于正向思维的难度，然学生只有既能正向思维，又能逆向思维，才能达到了一定的熟练程度.如，解一元二次不等式，即是已知参数（系数）的值，求解集，属正向思维的题型；反过来，已知解集，如何确定参数（系数）的值？更进一步，已知相应方程根的取值范围，如何确定参数（系数）的取值范围（即一元二次方程的实根分布问题）？如，已知参数的值，确定函数的单调性，属正向思维的题型；反过来，已知函数的单调性，试确定函数中有关参数的值.如，已知函数在闭区间上的最值，求有关参数的值，等等.这些都属于逆向思维的题型.如何解决这类题型，由于正向思维与逆向思维总是相对而言的，我们总是设法把逆向思维的题型转化、化归到有关定义、通法上去.解题不过是矛盾的相互转化，把逆向思维的题型看作、组织成正向思维的题型，迁移借用有关的解题方法即可.这就不是在同一层次上重复了，而是一种螺旋上升.正逆原本是相对而言的，把“逆”解读成“正”，需要跳出思维固着性的圈子，需要有大的图式观.基于此，把逆向思维的样例看作、组织成正向思维的样例，学生在正向思维活动中获得的数学活动经验得以迁移到逆向思维活动中，不仅会正向思考问题，也会从反方向思考问题，思维能力得到提升，思维品质得到优化；教师的备课水平、组织教学的能力也得到了提升.

配置逆向思维的样例是数学内在矛盾运动的表现，是一种另类的数学思想方法的普及，有助于发展学生思维的灵活性.数学中充满了思维互逆的矛盾.如，积分和微分是一对矛盾，指数函数与对数函数也是一对矛盾，虚与实的矛盾，曲与直的矛盾.在习题课的样例配置中，要以精当的习题表现这种矛盾，这也是另类的数学思想方法的普及.例如，在公式的复习中，教师启发学生从微分的角度推导三角公式，从逆向思维的角度，也可以启发学生从积分的角度推导三角公式.教师可以让学生把指数当作基本出发点，推导对数的基本性质，从逆向思维的角度而言，也可以让学生把对数当作基本出发点，推导指数的基本性质.在习题课的教学中，教师可以尝试做点改革，在配置了正向思维的样例之后，试着让学生自己编制一些逆向思维的习题，精选其中的一些习题当作样例.这样，若学生既会解题，又会编题，他们的思维就具有相当的灵活性了.

3.3配置发散思维的样例

学会发散思维，是样例配置的应用之一.哲学家哥德曾风趣地说：“经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另一只眼睛看到纸面背后的话.”数学概念、公式不拓展、不提升，认识就只能囿于纸面上，局限于一个特定的情境，不能力透纸背.要达到“闻一知十”，就要学会有效的迁移类比，学会做数学的一些“基本套路”.类比迁移是一个结构映射的过程，只映射内在关系而不是映射具体的属性.结构是数学的重要特征，通过发散性样例的学习，能把表面上看似来源不同而实则同源同构问题的实质吃透，提高在知识丰富领域的问题解决能力.

配置发散思维的样例，其操作要点之一是可以从结构入手，体现思维的概括性.从数学教学的角度而言，以变量代换法为基础的变式是拓展、提升数学公式、法则的应用范围，化简习题繁难度的常用手法之一，是数学结构化思想的教学表达.教学内容上数学思想和方法的反映，决定了教师教学的高度和水平.如，对形如型的不等式而言，可分别拓展为经过这样的拓展后，一元二次不等式和含绝对值不等式有机地揉合起来了.如果进一步拓展为和则可用上述方法转化为一系列的普通不等式（组）.螺旋上升是教材编写的基本原则之一，同样的，数学教学也要有层次推进，要用一以贯之的思想线索把表面上形式不同的材料串起来.如，一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数是中学数学中的3个“二次”问题，剖析典型样例，看清问题的实质，对学生能力的培养非常有必要.一元二次不等式自身经过变量代换可拓展为具体的不等式：等习题.二次函数在闭区间上的最值问题，经变量代换可拓展为等复合函数在闭区间上的最值问题.配置这样的发散性样例，学生的抽象、概括能力得到了提升，对问题的认识也不再浮于表面，而是抓住了问题的本质.解决此类问题的通法是用换元法等手段把问题退到最基本、最简单的模型.正如华罗庚先生说：“要善于退，退到已经解决了的问题为止.”代数系统的基本通性就是其所具有的运算，这是普遍可用的“法宝”.保留运算律，以通性求通解是一种高明的代数思维.教学不是灌输，而是启迪，通过配置典型样例，可以让学生迅速领悟这些基本精神.如，解不等式是一个常规习题，保留对数的运算律不变，可拓展成：f(x)是定义在R+上的增函数，且① 求f(1)的值；② 若 f(6)=1，解不等式用这种方法，还可以编制一系列有关抽象函数的习题.习题课的教学不能就题论题，一题一法.说到底，数学习题是由数学家研究成果改造而来，隐隐约约反映了数学发明发现的一般规律；在习题课的教学中应努力把数学发明发现的规律明朗化、一般化，使学生明白数学研究的“基本套路”.其实，用类比法进行拓展、发散也是一种常见的科学发现的手法.在实际应用中，飞机的流线型造型就是类比鸟的体形而设计制作的.在数学中，离散的量可以与连续的量类比，一元可以和多元类比，低维可以和高维类比，等等.典型的、基本的、有目的重复的样例应能启发学生将相关的知识有机地组织在一起，形成连续的、结构化的知识体系，从而为知识的应用打下扎实的基础.

为思维而教是数学教学的重要使命之一.数学习题成千上万，从思维的角度可把习题大致分成上述3种题型.在习题课教学中，3种题型及样例的有机调配，有利于学生从整体上把握解题规律，迅速找到解题的切入口，提高学生的解题能力.经过长期有意识的训练，教师自身的教学能力也会不断地增长.

4　样例的教学意义

教学理论应能解释课堂教学中发生的现象，对教学实践有指导力.一节观摩课遵照“易建模，易解模”→“易建模，难解模”→“难建模，易解模”的思路展开.但研究者认为，这节课没有抓住“建立不等式模型解决实际问题”这个课题的要点.首先，解不等式模型不应该成为这节课的一个中心任务.这节课的中心主题应该是“建模”，而不是“解模”，一节课应围绕一个中心展开，而不是多中心的.其次，模型的复杂度应逐渐攀升.对建模而言，模型是用来描述世界，解释世界的，就这节课而言，其例题的选取、组织隐隐约约地遵循“用一个变量描述的现象”→“用两个变量描述的现象”→“用多个变量描述的现象”的思路展开.如果教师对此脉络有清晰的认识，那么对典型样例的配置就会结合学生的实际、课程标准的要求而仔细考虑.事实上，就这节课而言，第一、二两个例题坡度小，而第三个例题坡度太大，很多学生一脸茫然.课堂教学中的许多现象和问题，并不是理念更新后就一定能解决的，特别是在知识内容丰富的领域，更应注意对内容的深层次解读.在习题课样例配置中获得的经验，完全可以迁移到这堂课的教学中来.

深入研究样例有助于教师把握数学学科的基本结构，为学生提供有生长力的知识.中国的“双基”教学理论，以及新近的“四基”教学理论都强调教给学生基本概念、基本规律和学科的基本结构.这就要求教师能从题海中遴选蕴含着本质因素、根本因素、基础因素的样例，使学生透过样例，掌握数学知识和数学科学方法.俗语说得好，“将帅必起于卒伍，宰相必起于州郡”，教师成长在出真知实践的课堂，绝不仅仅是听一两次洗脑式的报告而成就.题海式的大批量、低效训练等客观现实倒逼着有进取心的教师深入研究数学学科的基本结构，然后采取适切的方式把这些奠基性的要素传递给学生.样例学习中始终包含着一种内在的逻辑、一种内部的概念结构；学生习得的是一种能动、有生发性的知识，这在发散型样例的配置中看得很清楚.

深入研究样例有助于教师切实考察学情，培养学生的独立学习能力.样例设计的基础性原则要求样例承载的内容是打基础的东西，适应学生的智力发展水平，接近他们已有的数学活动经验和生活经验.这就要求教师在设计样例时，不能过难也不能过易，要对学生的数学发展水平、数学现实基础、现实数学基础能准确地评估.“上陡坎”、“深挖洞”是不足取的，要优先考察样例对学生发展的价值和意义，而不是比拼题目的繁难度.有了这样思考次序后，习题课的教育价值及表达方式将会有新的变化，就会引导学生在“最近发展区”内对样例的本质进行寻找和提问，并能独立解决之，这在正向思维的样例配置中已看得很清楚.

深入研究样例有助于教师深刻领悟“例中学”的真谛，引导学生选择合适的学习方式.“书中学”、“做中学”、“例中学”是3种不同的学习方式，“例中学”最为人们熟知，但熟知并不是真知.“例中学”的要义在于让学生获得本质的、结构的、原则性的、典型的、规律性的认识和关系，而不是获得这些知识.“例中学”要求教师将重点内容进行加深和强化，突出数学的核心思想和方法，而不在细枝末节上“兜圈子”，使之能在学生头脑中生根.每一个样例都有一定的代表性，都是反映整体的一个窗口，这个窗口的“视界”究竟能有多大，就要求学习者能主动地把自己置于不断受教育与培养的状态之中，努力寻求从个案样例到题组样例背后的真知灼见，这在上述样例配置的案例中，已看得很清楚了.

[1]邵光华.样例学习的理论与实践[M].杭州：浙江大学出版社，2013.

[2]马俊青.数学样例学习与学生数学知识形成关系的研究[J].数学教育学报，2009，18（4）：68-70.

[3]邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法，2009，（7）：47-51.

[4]徐文彬.数学概念的认识及其教学设计与课堂教学[J].课程·教材·教法，2010，（10）：39-44.

[5]徐章韬，陈林.数学命题的认识及其课堂教学设计[J].课程·教材·教法，2014，（11）：81-85.

[6]章建跃.做题目，为什么[J].中小学数学，2011，（6）：封底.

[7]章建跃.让学生解好题[J].中小学数学，2012，（10）：封底.

[8]章建跃.如何理解“解题教学”[J].中小学数学，2012，（11）：封底.

[9]徐章韬，陈传理.问题之解何处来[J].数学通报，2015，（1）：41-44.

[10] 张景中.什么是“教育数学”[J].高等数学研究，2004，（6）：2-11.

[11] 卜以楼.教育价值：数学教学的根本之所在[J].数学通报，2013，（1）：16-19.

[12]Reed S K Bolstad C R. Use of Examples and Procedures in Problem Solving [J]. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 1991, (17): 753-766.

[13] 宁宁，喻平.多重变异性数学样例对迁移影响的初步研究[J].数学教育学报，2010，19（6）：50-52.

Based on Sample Learning Theory to Discuss the Learning and Teaching of Exercises

XU Zhang-tao
(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

From the angle of the direct thinking, reverse thinking and divergent, discuses three types of exercises used in classroom. Based on sample learning theory, analyzes the values of the three types of samples. According to the case analysis and theoretical analysis, the selection, organization, refining and evaluation of samples make up of the main components of the learning and teaching of exercises. Teachers can improve their teaching ability in the process of arranging samples.

sample; sample learning theory; the learning and teaching of exercise

G420

A

1004–9894（2015）06–0035–05

[责任编校：周学智]

2015–10–19

华中师范大学中央高校基本科研业务费项目——基于学习理论的信息技术与学科教科书的整合（CCNU15A06015）；华中师范大学重大科研课题及创新示范基地培育项目——TPACK视角下卓越数字化教师的培养研究

徐章韬（1976—），男，湖北京山人，副教授，博士，主要从事教师知识研究．