王永锋

摘 要：函数与方程思想是一种重要的数学思想，在高考中所占的比例一直很大，很多函数的问题用方程解决，很多方程的问题利用相应函数的有关性质来解决，都可以达到化繁为简的目的。

关键词：高中数学;函数与方程;相互转化

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间又有着密切的联系。对于函数y=f（x），当y=0时，就得到相应的方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程f（x）-y=0，函数y=f（x）的圖象与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的实数根。方程f（x）=0的实数根就是函数y=f（x）的零点。因此，方程思想与函数思想可以相互转化，以下结合具体例题谈谈本人对这一部分内容的理解。

一、函数问题转化为方程问题求解

例1.如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数a，b的值。

解析：函数的定义域为R，由函数的最大值为4可知，存在实数x使得=4，即方程4x2-ax+4-b=0有实数根，所以？驻1=a2-16（4-b）≥0，又因为4是函数的最大值，所以对任意的x，≤4恒成立，即4x2-ax+4-b≥0恒成立，所以？驻2=a2-16（4-b）≥0，所以 a2-16（4-b）=0①。由函数的最小值是-1可知，存在实数x使得=-1，即方程x2+ax+b+1=0有实根，所以？驻2=a2-4（b+1）≥0，又因为-1是函数的最小值，所以对任意的x，≥-1恒成立，即x2+ax+b+1≥0恒成立，所以？驻2=a2-4（b+1）≤0，所以a2-4（b+1）=0②，由①②解得a=4b=3或a=-4b=3。

二、方程问题转化为函数问题求解

例2.若a>2，求方程x3-ax2+1=0在（0，2）的实根个数。

解析：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=x2-2ax=x（x-2a），∵02，

∴f'（x）<0，∴f（x）在（0，2）上是减函数，又∵f（0）=1>0，f（2）=-4a+1=-4a<0，所以f（x）在（0，2）上只有一个零点。所以方程x3-ax2+1=0在（0，2）只有一个实根。

评析：本题是一道求方程根的问题，我们构造函数，考虑这个函数的零点的个数，应用导数的方法判断这个函数在（0，2）上的单调性，并结合零点存在性定理，便可得出结论。

三、方程思想与函数思想综合应用

例3.若抛物线y=-2x2+kx-3和端点分别为A（0，4），B（4，0）的线段AB有两个不同的交点，求实数k的取值范围。

解析：线段AB的方程为+=1（0≤x≤4），即y=4-x（0≤x≤4）

将上式代入y=-2x2+kx-3得2x2-（k+1）x+7=0（0≤x≤4）

令f（x）=2x2-（k+1）x+7，因为抛物线与线段AB有两个不同的交点。

所以方程2x2-（k+1）x+7=0在[0，4]上有两个不等的实数根。

所以应该有？驻=（k+1）2-4×2×7>00<<4f（0）=7>0f（4）=32-4（k+1）+7≥0

解得2-1

故k的取值范围是（2-1，]。

评析：本题先将函数图象有交点问题转化为方程有解的问题，再将方程有解的问题转化为二次函数根的分布问题，结合图象，从判别式、对称轴、函数值的大小等方面考虑使结论成立的所有约束条件，建立不等式再求解得到所求范围。本题在求解过程中遵循了“函数→方程→函数”的转化过程，由此可见，方程与函数联系紧密，做题时注意两者的灵活转化。

总之，函数与方程的思想是重要的数学思想，应用非常广泛，主要依据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，遇到题目时，注意转化角度，改变思维，可以使复杂问题简单化。

参考文献：

[1]罗建宇.函数与方程的思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2008（2）.

[2]王太青.函数与方程思想解题的体会[J].沧州师范专科学校学报，2009（3）.

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