寇爱军

二次函数的性质及判别式性质的应用，在初中只是用来判别方程根的情况以及求最值，在高中的数学中其应用则更为广泛，尤以解析几何中的应用较多。

1.求距离的最值问题，可利用二次函数求最值的性质去作，也可以利用直线与曲线相切时判别式等于零来求。以下用例题说明。

例1.已知点A（0，4），P是抛物线y=x2+1上任意一点，则PA的最小值为_______。

若设点P坐标为（x，y），由两点间距离公式及二次函数性质可得解法1：

PA=，

将y=x2+1代入得PA===

则由二次函数性质，得PA最小值为。

2.从另一方面思考，采用数形结合的思想方法，求PA最小值可看作以点A为圆心的圆，该圆与抛物线相切时的圆的半径，由此可得解法2：

设以A为圆心的圆方程为x2+（y-4）2=r2，与y=x2+1联立，消去x得：

y2-7y+15-r2=0

∵圆与抛物线相切，∴？驻=49-4（15-r2）=0（用到了判别式的性质）

得4r2=11，∴r=，即PA的最小值。

3.还有一些问题，表面上看是求函数的最值，但也可用同样的方法解决。

例2.点P（x，y）在直线x+y-4=0上，则x2+y2的最小值是________。

若用二次函数性质可得解法1：由x+y-4=0得y=4-x，代入x2+y2，得x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，則由二次函数性质可得x2+y2的最小值为8。

4.若采用数形结合的思想方法，求x2+y2的最小值可看作是以原点为圆心的圆，该圆与直线x+y-4=0相切时的半径，有解法2：

设以原点为圆心的圆的方程为x2+y2=r2，将y=4-x代入，消去y得：

2x2-8x+16-r2=0，∵直线与圆相切，

∴？驻=64-8（16-r2）=0

得r2=8，即x2+y2的最小值为8。

参考文献：

兰诗全.换元法的解题功能[J].中学数学研究，2013（7）.

？誗编辑 杨兆东